具脈沖和時(shí)滯影響的向量拋物型方程振動(dòng)性的新準(zhǔn)則*

羅李平，王艷群，宮兆剛

(衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 衡陽(yáng) 421002)

H-振動(dòng)的概念是研究向量微分方程的新的有力工具，文獻(xiàn)[1]在研究向量常微分方程時(shí)首次引入了H-振動(dòng)的概念，這里H是Rm中的單位向量。關(guān)于這一概念及其應(yīng)用，文獻(xiàn)[2]作了很好的闡述。近年來(lái)，關(guān)于具時(shí)滯影響的向量偏微分方程的H-振動(dòng)性研究已經(jīng)取得了一些很好的結(jié)果[3-5]，但關(guān)于具脈沖和時(shí)滯影響的向量偏微分方程的H-振動(dòng)性研究還相對(duì)較少[6-9]。本文的目的是討論一類具脈沖和時(shí)滯影響的向量拋物型偏微分方程，利用H-振動(dòng)的概念及內(nèi)積降維的方法，將多維振動(dòng)問(wèn)題化為一維脈沖微分不等式不存在最終正解的問(wèn)題，獲得了這類方程在Dirichlet邊值條件下所有解H-振動(dòng)的若干充分條件。

考慮如下的基于脈沖和時(shí)滯影響的向量拋物型偏微分方程

(1)

同時(shí)考慮Dirichlet邊值條件：

U(t,x)=0, (t,x)∈R+×?Ω,t≠tk

(2)

其中0是Rm中的零向量。

在本文中，我們總假設(shè)下列條件成立：

定義1 向量函數(shù)U(t,x)∈C2([t0,∞)×Ω,Rm)稱為邊值問(wèn)題(1)-(2)的解，若U(t,x)滿足：

(A)對(duì)固定的t,t≠tk,k=1,2,…,U(t,x)關(guān)于x二次可微；對(duì)t≠tk,k=1,2,…,x∈Ω,U(t,x)關(guān)于t一次可微，且滿足方程(1)；

(C)對(duì)t≠tk,k=1,2,…,x∈?Ω,U(t,x)滿足邊值條件(2)。

定義2 邊值問(wèn)題(1)-(2)的解U(t,x)稱為H-振動(dòng)的，若對(duì)Rm中的單位向量H及任意大的T≥0，存在一點(diǎn)(t0,x0)∈[T,∞)×Ω，使得內(nèi)積=0。

眾所周知[10]，Dirichlet特征值問(wèn)題

(3)

的第一特征值λ0>0，并且與λ0對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)φ(x)>0,x∈Ω。

為敘述方便，在本文中引入如下記號(hào)

UH(t,x)=，

其中H是Rm中的單位向量，表示Rm中向量U和V的內(nèi)積。

引理1 設(shè)H是Rm中的單位向量且U(t,x)是方程(1)的解。若UH(t,x)最終為正，則UH(t,x)是純量脈沖拋物型偏微分不等式

(4)

引理1的證明很簡(jiǎn)單，在此略去。

相應(yīng)于邊值條件(2)，考慮純量邊值條件：

UH(t,x)=0, (t,x)∈R+×?Ω,t≠tk

(2′)

利用引理1，容易得到

定理1 設(shè)H是Rm中的單位向量。若在邊值條件(2′)下純量脈沖拋物型偏微分不等式(4)無(wú)最終正解，則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解U(t,x)在G內(nèi)H-振動(dòng)。

定理2 設(shè)H是Rm中的單位向量。若脈沖微分不等式

(5)

無(wú)最終正解，則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解U(t,x)在G內(nèi)H-振動(dòng)，其中λ0由問(wèn)題(3)確定。

定理2的證明完全類似于文獻(xiàn)[7]中的定理2，在此略去。

下面我們?cè)谏鲜鲇懻摰幕A(chǔ)上，給出判別邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解H-振動(dòng)的進(jìn)一步結(jié)果。

定理3 設(shè)H是Rm中的單位向量。若

(i)存在一常數(shù)β>0，使得tk+1-tk≥β,k=1,2,…，且τ≥β；

證明由定理2知，只需要證明在定理3的條件下，脈沖微分不等式(5)無(wú)最終正解即可。

假設(shè)脈沖微分不等式(5)存在最終正解W(t)，t≥T+τ>0,T≥0。由(5)易知當(dāng)t≥T+τ,t≠tk時(shí)，W(t)在區(qū)間(tk,tk+1),k=1,2,…上非增且有

W′(t)+[λ0a(t)+P(t)]W(t)+

λ0b(t)W(t-τ)≤0,t≥T+τ,t≠tk

(6)

(7)

可得

y′(t)+λ0B(t)y(t-τ)≤0,t>T1+τ,t≠tk

(8)

由(7)-(8)兩式可知，y(t)是一個(gè)非增函數(shù)。

對(duì)t=tk，結(jié)合(5)中的脈沖條件，有

λ0a(ξ)+P(ξ)]dξ)≤

(1+bk)y(tk)

(9)

對(duì)(8)式從tk到tk+β積分，并注意到y(tǒng)(t)的非增性可得

(10)

由(9)-(10)兩式得

這與條件(ii)矛盾。證畢。

類似定理3的證明可得如下結(jié)論。

定理4 設(shè)H是Rm中的單位向量。若

(i)存在一常數(shù)β>0，使得tk+1-tk≥β,k=1,2,…，且β>τ；

則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解U(t,x)在G內(nèi)H-振動(dòng)，其中λ0由問(wèn)題(3)確定。

定理5 設(shè)H是Rm中的單位向量。若

(i)存在一常數(shù)β>0，使得tk+1-tk≥β,k=1,2,…，且β>τ；

(ii)存在某一常數(shù)α>0，使得0

則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解U(t,x)在G內(nèi)H-振動(dòng)，其中λ0由問(wèn)題(3)確定。

證明由定理2知，只需要證明在定理5的條件下，脈沖微分不等式(5)無(wú)最終正解即可。

假設(shè)脈沖微分不等式(5)存在最終正解W(t)，t≥T+τ>0,T≥0。則類似于定理3的證明可知，

則有

≥≥

(s-τ)ds≤0

于是有

≥(s-τ)ds≥

(11)

τ(s-τ)ds≤0

則有

(12)

于是，由(11)-(12)兩式有

從而有

≤≤M

因此，V(t)有上界。

對(duì)充分大的t，由(8)式可得

≤0

(13)

又由于

(14)

于是，由(13)-(14)兩式可得

≥

(15)

因此

這與條件(iii)矛盾。證畢。

由脈沖微分不等式(5)有

W′(t)+[λ0a(t)+P(t)]W(t)+

Q(t)W(t-σ)≤0,t≥T+τ,t≠tk

類似定理3-定理5的證明可得如下結(jié)論。限于篇幅，其證明在此略去。

定理6 設(shè)H是Rm中的單位向量。若

(i)存在一常數(shù)β>0，使得tk+1-tk≥β,k=1,2,…，且σ≥β；

定理7 設(shè)H是Rm中的單位向量。若

(i)存在一常數(shù)β>0，使得tk+1-tk≥β,k=1,2,…，且β>σ；

則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解U(t,x)在G內(nèi)H-振動(dòng)。

定理8 設(shè)H是Rm中的單位向量。若

(i)存在一常數(shù)β>0，使得tk+1-tk≥β,k=1,2,…，且β>σ；

(ii)存在某一常數(shù)α>0，使得0

則邊值問(wèn)題(1)-(2)的所有解U(t,x)在G內(nèi)H-振動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

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