一類含有參數(shù)的Euler和的閉形式

晉慧峰，張明學(xué)

（太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

關(guān)于古典Euler和以及推廣的Euler和的計(jì)算一直是人們關(guān)注的問題。在文獻(xiàn)［1］中，Borwein給出了如下結(jié)果：

之后，Philippe等人［2］利用留數(shù)定理考慮了更一般的Euler和

其中，整數(shù)p，q≥1，p＋q為奇數(shù)，然而對(duì)于下面交錯(cuò)Euler和的計(jì)算卻比較困難。David Bailey利用PSLQ方法得到如下結(jié)果

其中z是復(fù)平面單位圓上的復(fù)數(shù)。值得注意的是各種Euler和在量子力學(xué)中有著重要的應(yīng)用，因此本文的研究無論從理論還是應(yīng)用方面都是很有意義的。

1 主要定理

有關(guān)Euler和的計(jì)算，早些Euler采用的留數(shù)法仍然是最有效的方法之一，即下面的引理。

引理 （Cauchy，Lindel?f） 設(shè)ζ（s）是核函數(shù)，r（s）是有理函數(shù)且在無窮遠(yuǎn)處具有O（s－2）.那么，

其中：S是r（s）的極點(diǎn)；O是ξ（s）的極點(diǎn)且不含有r（s）的極點(diǎn)；Res（h（s））｜s＝λ表示h（s）在s＝λ處的留數(shù)。

我們引入的核函數(shù)

其中z是單位圓上的復(fù)數(shù)。Ψ（s，z）的極點(diǎn)是0，1，2，…，且在極點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)展開式

其中

是多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)。由（6）我們可以得到

和

最后我們還需要下面的展開

其中，ζ（n），η（n）＝ （1－21－n）ζ（n）分別是黎曼Zeta函數(shù)和η函數(shù)。

利用引理和（10）－（12）我們就得到了下面的兩個(gè)定理。

定理1 如果整數(shù)q≥2，那么

定理2 如果整數(shù)q≥2，p≥2，那么

定理1，2的證明 這兩個(gè)定理證明的關(guān)鍵是留數(shù)的計(jì)算，因此我們只證明式（18），其它證明完全類似。簡(jiǎn)單計(jì)算可知留數(shù)為

將式（7）和式（8）代入上式并利用引理可知（18）成立。

2 定理的應(yīng)用

本文的特點(diǎn)是由于我們引進(jìn)了含有參數(shù)的基本核函數(shù)式（5），把許多Euler和的計(jì)算問題統(tǒng)一起來討論，通過選取不同的參數(shù)z，得到各種擴(kuò)展的Euler和。為了說明我們給出結(jié)果的有效性，討論一些特殊參數(shù)z對(duì)應(yīng)的Euler和。讓式（13）—（19）中z＝1，就得到了通常Euler和的結(jié)果，這些結(jié)果可以見文獻(xiàn)［2，4］。不過我們將式（16）對(duì)應(yīng)的結(jié)果寫出來

其中，w＝p＋q是奇數(shù)。由于（20）式的右邊都是黎曼Zeta函數(shù)的代數(shù)和，我們把它稱為第一閉形式。例如（1）就是閉形式。如果Euler和能用多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)Lin（z）和特殊常數(shù)表示，我們把它稱為第二閉形式。例如（3）和（13）都是第二閉形式。對(duì)于許多積分和Euler和人們希望得到這兩種閉形式，這也是目前人們研究的一個(gè)熱點(diǎn)。特別當(dāng)z＝±1時(shí)，（13）就是第一閉形式，即

在式（14）中，讓z＝－1，我們有

將式（21）和式（24）代入到式（22）和式（23）中，我們得到

下面我們考慮一些新的Euler和，首先設(shè)整數(shù)P，Q是不可約的，那么

其中，ζ（q，a），η（q，a））是黎曼zeta函數(shù)和η函數(shù)的推廣，前者通常稱為Hurwitz Zeta函數(shù)，它們的定義是

在式（13）中讓z＝eQPπi（整數(shù)P，Q是不可約的），利用式（27）我們可以得到下面擴(kuò)展Euler和的恒等式。

1）當(dāng)P為偶數(shù)時(shí)，

2）當(dāng)P為奇數(shù)時(shí)，

完全類似地，從式（14）－式（19）也可以得到其他新的擴(kuò)展Euler和的恒等式。因篇幅所限，不再舉例。

3 結(jié)論

通過引進(jìn)含有參數(shù)的Euler和，將各種Euler和統(tǒng)一起來討論；通過適當(dāng)選取參數(shù)可以得到許多新的Euler和。本文應(yīng)用Cauchy和Linde?f定理仍然是解決Euler型和的重要手段之一，關(guān)鍵是核函數(shù)的構(gòu)造。我們引進(jìn)含有參數(shù)Z的基本函數(shù)Ψ（S，Z）是本文的另一創(chuàng)新點(diǎn)。由于合理地選取構(gòu)造核函數(shù)的基本函數(shù) ，因而解決了含有參數(shù)的線性和非線性Euler和的Zeta函數(shù)和Hurwitz Zeta函 數(shù)表示問題。

［1］ David Borwein，Jonathan M Borwein.On an Intriguing Integral and Some Series Related toζ（4）［J］.Proceedings of the A-merican Mathematical Society，1995，123（4）：1191-1198.

［2］ Philippe Flajolet，Bruno Salvy，Euler Sums and Contour Integral Representations［J］.Experimental Mathematics，1998，7（1）：15-35.

［3］ 商妮娜，秦惠增.一類擴(kuò)展Euler和的表示問題［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011（6）：730-741.

［4］ David Borwein，Jonathan M Borwein，Roland Girgensohn.Explicit Evaluation of Euler Sums［J］.Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，1995，38，277-294.