姬偉杰 童創(chuàng)明，2

(1.空軍工程大學導彈學院，陜西 三原 713800；2.毫米波國家重點實驗室，江蘇 南京 210096)

引 言

目標與隨機地海面的復合電磁散射研究在軍用和民用領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，引起了國內(nèi)外學者的極大關(guān)注，但是大多數(shù)研究都側(cè)重于二維散射問題[1-6]。對于在實際中遇到的三維散射問題研究則比較少，而且大多采取解析法來求解以降低計算復雜度[6-7]。解析法對于粗糙面參數(shù)有嚴格的適用范圍，不能用于計算復雜參數(shù)粗糙面與目標的復合散射，同時不能得到交叉極化的結(jié)果。數(shù)值算法不受此限制，因此，研究求解實際地海面與目標復合散射的快速數(shù)值算法具有重要意義。

在二維粗糙面與目標的復合散射計算中，不僅要考慮目標與粗糙面自身的散射，還要考慮它們之間的相互作用，而其中粗糙面的未知量占絕大多數(shù)。因此，如何快速有效地計算粗糙面的電磁散射是一個重要的問題。以往的方法都是將目標與地海面當作整體來建模以及求解[8-11]，由于數(shù)值算法都要產(chǎn)生矩陣方程，這就導致矩陣數(shù)據(jù)量過大而不能快速求解。N.Dechamps 等提出了一種計算一維分層粗糙面的快速數(shù)值算法：層內(nèi)波傳播展開法[12](PILE)，將通過矩量法(MoM)得到的線性方程組求解分成四步來迭代求解：兩步用來求解單層粗糙面自身的散射；兩步用來求解上層粗糙面與下層粗糙面之間的相互作用。Kubicke G等進一步將其擴展應(yīng)用于計算粗糙海面上方金屬目標的復合電磁散射特性[13]。

推導了二維粗糙面上方目標復合散射的耦合積分方程組，將PILE算法擴展應(yīng)用于求解該積分方程組。PILE的優(yōu)點就是將目標與粗糙面的散射分開來考慮，因此，粗糙面的表面積分方程可以用已經(jīng)成熟的快速數(shù)值算法來求解，如稀疏矩陣平面迭代及規(guī)范網(wǎng)格法(SMFSIA/CAG)[14]，它所需內(nèi)存小、計算速度快，是一種計算二維導體粗糙面電磁散射的有效快速數(shù)值算法。而目標的未知量較小，其表面積分方程可以采用傳統(tǒng)的基于三角屋頂(RWG)基函數(shù)的MoM來求解[15]。

利用該算法計算了具有PM海浪譜的海洋粗糙面上方各種典型目標的復合雙站散射系數(shù)，通過與傳統(tǒng)MoM的結(jié)果相比較，驗證了算法的有效性，討論了算法的收斂性。計算了海面上導彈目標的雙站散射系數(shù)(BSC)。該算法提供了一種計算二維粗糙面上方目標復合電磁散射的有效途徑。

1.基礎(chǔ)理論

1.1 耦合積分方程組

圖1所示為二維隨機海洋粗糙面上方金屬目標的散射，ki與ks分別為入射與散射方向矢量，θi與φi為入射角，θs與φs為散射角，H為目標距離海面高度，粗糙面的高度函數(shù)z=ζ(x，y)，且〈ζ(x，y)〉=0.

圖1 海面上導體目標示意圖

當粗糙面上沒有目標時，滿足磁場邊界積分方程(MFIE)：

n′×Hs(r′)ds′

(1)

式中：Hinc(r)為入射磁場；n為粗糙面表面法向量；S指粗糙面表面；g(r，r′)=(r-r′)G(R)，

自由空間中的金屬目標滿足電場邊界積分方程(EFIE)

Hb(r′)))]g(r，r′)ds′

(2)

式中：Einc(r)為入射電場；nb為目標表面法向量；Sb指目標表面；k0為自由空間波常數(shù)； μ0為區(qū)域內(nèi)磁導率。

當目標與粗糙面同時存在時，必須考慮目標與粗糙面的相互作用，由等效電流原理，粗糙面對目標的散射貢獻為

(3)

式中：Js(r)=n×Hs(r)，表示粗糙面表面電流；ε0為區(qū)域內(nèi)介電常數(shù)。

目標對粗糙面的散射貢獻為

(4)

式中：Jb(r)=nb×Hb(r)，表示目標表面電流。

結(jié)合式(1)和(2)，可以得到目標與粗糙面的耦合積分方程組為

(5a)

(5b)

1.2 E-PILE+SMFIA/CAG算法

將式(5)看成一個整體，直接運用MoM可以得到如下線性方程組

ZI=V

(6)

式中：Z為總的阻抗矩陣，它既包括粗糙面的阻抗矩陣，又包括目標的阻抗矩陣，以及目標與粗糙面之間的相互作用阻抗矩陣，維數(shù)為2(N+M)×2(N+M)(N為粗糙面表面的未知量，M為目標表面的未知量)；I為所求未知向量為

(7)

上標T表示轉(zhuǎn)秩，Ir表示粗糙面的未知向量；V為激勵向量，包括目標的激勵向量Vo和粗糙面的激勵向量Vr為

(8)

為了有效地求解線性方程組，將阻抗矩陣Z分成四塊

(9)

式中：Zo表示目標自身的阻抗矩陣；Zr表示單層粗糙面自身的阻抗矩陣；Zo→r與Zr→o表示粗糙面與目標相互作用的阻抗矩陣。對阻抗矩陣Z求逆可得

(10)

式中：

T=(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1

(11a)

U=-(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1Zr→o(Zr)-1

(11b)

Q=-(Zr)-1Zo→r(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1

(11c)

W= (Zr)-1+(Zr)-1Zo→r(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1×

Zr→o(Zr)-1

(11d)

所求未知向量I為

(12)

結(jié)合式(8)和式(9)，可以得到粗糙面未知向量

Io=(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1(Vo-Zr→o(Zr)-1Vr)

= (I-(Zo)-1Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1(Zo)-1×

(Vo-Zr→o(Zr)-1Vr)

I為單位矩陣，定義特征矩陣為

Mc=(Zo)-1Zr→o(Zr)-1Zo→r

(13)

則由矩陣級數(shù)的求和理論，當Mc為收斂矩陣時，有

(14)

數(shù)值計算中，矩陣的階數(shù)必須適當?shù)慕財啵x截斷階數(shù)為pPILE，結(jié)合式(12)和(14)可得

(15)

式中：

(16)

1.3 錐形入射波與散射系數(shù)

為避免人為截斷粗糙面引起的邊緣效應(yīng)，采用錐形波入射[14]，限于篇幅，本文只考慮水平極化入射波情況，表達式為

ikzz)·ETE(kx，ky)h(-kz)

(17)

ikzz)·ETE(kx，ky)e(-kz)

(18)

exp(i(kixx+kiyy)(1+w))exp(-t)

(19)

其中

t=tx+ty=(x2+y2)/g2

g參數(shù)控制錐形入射波的寬度。

定義雙站散射系數(shù)

(20)

2.數(shù)值分析

2.1 算法的有效性與收斂性驗證

采用具有PM海浪譜的隨機粗糙面模擬實際海洋面[16]。PM譜是以風速為參量充分成長狀態(tài)的海浪頻譜，是由觀測得到的純經(jīng)驗譜，三維PM譜具有如下形式

(21)

定義迭代誤差

(22)

式中：Ztotal表示總的阻抗矩陣，它既包括粗糙面的阻抗矩陣，又包括目標的阻抗矩陣；p表示階數(shù)。

以海洋粗糙面上方的金屬球體(見圖2)為例，驗證算法的有效性。球體位于海面的正上方，球心距離海面高度為H，海面大小為Lx×Ly=10λ×10λ，風速U19.5=5 m/s，此時海面方差h=0.133 4 m.入射波波長取λ=1 m，入射角θi=30o，φi=0o，φv=0，錐形波參數(shù)g=Lx/3.海面剖分密度為每平方波長上64個采樣點，產(chǎn)生6 400個采樣點，12 800個未知數(shù)，強作用距離rd=2.5λ.如無特殊說明，文中所有結(jié)果均是對相同參數(shù)粗糙面實現(xiàn)10次取平均的結(jié)果。圖3所示為球體半徑取0.5λ，高度H=1.0λ，p取不同數(shù)值時實現(xiàn)一次的散射系數(shù)，同時給出了誤差大小，并與運用傳統(tǒng)MoM得到的結(jié)果進行了對比。由圖3可知，隨著p的增大，誤差迅速減小，當p=2時兩種方法結(jié)果完全吻合。

圖2 海面上方的金屬球體

驗證算法的收斂性。其他參數(shù)不變，目標分別取半徑為0.5λ的球體、圓柱(底面半徑為0.5λ，高為1λ)、邊長為1λ的立方體，目標表面剖分的三角面元個數(shù)分別為1 038、1 485和1 884，距離海面高度H=1.0λ，目標尺寸相對于粗糙面的尺寸比較小(約為1： 100)，近似等效于目標與無限大粗糙面之間的相互作用，此時，目標可認為是平面波入射。圖4所示為由式(22)計算相應(yīng)的迭代誤差隨階數(shù)p的變化結(jié)果，由圖可知，隨著階數(shù)p的增大，誤差成指數(shù)級衰減速度，且目標為球體時收斂速度最快，目標為立方體時收斂速度最慢，這是由于立方體目標體積較大，與海面相互作用較強造成的，但所有結(jié)果均滿足計算精度要求，證明了本文算法對任意形狀目標都具有良好的收斂性。計算所需時間見表1，可以發(fā)現(xiàn)，與MoM相比，E-PILE+SMFIA/CAG計算時間大大減少。

圖3 算法的驗證

圖4 迭代誤差變化趨勢

目標MoME-PILE+SMFIA/CAG球4 789784圓柱5 201856立方體6 6401 056

2.2 結(jié)果分析與討論

計算海面上方金屬球體的雙站散射系數(shù)，球體半徑R=0.5λ，高度H=1.0λ，收斂精度取τ≤1%(對應(yīng)pPILE=2)。圖5(a)給出了HH和VH極化散射系數(shù)隨方位角θs變化情況，圖中還給出了只有海面時的散射系數(shù)，海面上方有無目標時HH極化和VH極化散射系數(shù)在鏡面放射方向均有峰值，當海面上方有目標時，散射系數(shù)在除鏡面方向外的角度范圍內(nèi)明顯增大，尤其在后向散射方向更為明顯，同時由圖可知，VH極化散射系數(shù)要比HH極化散射系數(shù)小兩個數(shù)量級。HH和VH極化散射系數(shù)隨方位角φs的變化見圖5(b)(θs=θi=30°)，由圖可知，海面上有目標時，HH極化散射系數(shù)在20°～160°范圍內(nèi)增大，在90°～150°范圍內(nèi)變化最為明顯，VH極化散射系數(shù)在所有角度都增大。

(a) 散射系數(shù)隨高低角變化(φs=0°)

(b) 散射系數(shù)隨方位角變化(θs=30°)圖5 海面上球體散射系數(shù)

其他參數(shù)不變，令pPILE=4，圖6(a)和圖6(b)分別是海面上目標為圓柱和立方體時的散射系數(shù)，其中圓柱參數(shù)：底面半徑為0.5λ，高為1λ，立方體邊長為1λ.結(jié)合圖5(a)可知，當目標為立方體時散射系數(shù)最大，目標為圓柱時次之，當目標為球時散射系數(shù)最小，但都明顯強于無目標時海面的散射系數(shù)。這是由于立方體體積最大，與海面的相互作用較強。因此，當海面上方目標為立方體時散射系數(shù)變化最明顯，球體積最小，與海面的相互作用較?。划斈繕藶榍驎r散射系數(shù)變化最小。由此可知，海面上有目標時的散射系數(shù)明顯大于無目標時的散射系數(shù)，它們之間的差異正體現(xiàn)了目標與粗糙面的相互作用，并且它們之間的相互作用隨目標體積的增大而增強。同時由圖可知，當海面上方有目標時VH極化散射系數(shù)變化比HH極化散射系數(shù)變化明顯，這對地海面背景中目標的探測與識別具有一定的理論指導意義。

(a) 海面上方圓柱散射系數(shù)

(b) 海面上方立方體散射系數(shù)圖6 海面上目標散射系數(shù)

討論海面上方存在復雜目標的情況。海面上方目標為導彈模型(如圖1所示)，導彈模型見圖7，長度為4.9 m，彈體半徑為0.25 m，翼展為2 m.海面大小取Lx×Ly=40λ×40λ，剖分密度為每平方波長上64個采樣點，產(chǎn)生102 400個采樣點，204 800個未知數(shù)，為保證導彈與海面充分相互作用，取pPILE=5，其余參數(shù)不變。導彈距離海面高度分別取1λ、5λ和10λ，入射波從導彈頭部入射時散射系數(shù)如圖8(a)所示，此時入射角為φi=90°，入射波從導彈側(cè)面入射時(φi=0°)散射系數(shù)見圖8(b).由圖可知，隨著導彈距離海面高度增大，目標與海面之間相互作用減小，除鏡面方向外，在其余角度散射系數(shù)均逐漸變小。

圖7 導彈模型示意圖

(a) 入射波頭部入射(φi=90°)

(b) 入射波頭部入射(φi=0°)圖8 不同目標高度對應(yīng)的散射系數(shù)

研究海面上風速對散射系數(shù)的影響。其他參數(shù)不變，導彈距離海面高度為5λ，海面上19.5 m處風速分別取3 m/s、5 m/s和7 m/s，相應(yīng)的散射系數(shù)如圖9所示，其中圖9(a)是入射波從導彈頭部(φi=90°)入射的情況，圖9(b)是入射波從導彈側(cè)面(φi=0°)入射的情況。由圖可知，隨著海面上風速增大，海面粗糙度增大，鏡面散射逐漸減弱而漫散射增強，因此，鏡面方向散射系數(shù)減小，而其余角度散射系數(shù)均有所增強，VH極化表現(xiàn)的更為明顯。同時由圖可知，同圖8結(jié)果相似，入射波從側(cè)面入射時的散射系數(shù)明顯大于入射波從頭部入射時的情況，這是由于入射波從導彈側(cè)面入射時的雷達照射面積遠大于從頭部入射時的情況。

(a) 入射波頭部入射(φi=90°)

(b) 入射波側(cè)面入射(φi=0°)圖9 不同海面風速對應(yīng)的散射系數(shù)

3. 結(jié) 論

結(jié)合SMFIA/CAG與基于RWG基函數(shù)的MoM，運用迭代數(shù)值法快速計算了二維粗糙面上方三維金屬目標的復合散射系數(shù)。該算法基于物理散射機理，理論簡明，易于編程實現(xiàn)，并且不受粗糙面與目標參數(shù)限制，可以計算復雜目標與粗糙面的復合散射，是一種計算二維粗糙面上方目標的復合電磁散射的快速有效算法。

結(jié)合PM譜的海洋粗糙面，應(yīng)用該算法計算了海面上方典型目標的散射系數(shù)，驗證了算法的有效性，討論了算法的收斂性。結(jié)果表明：當海面上方有目標時散射系數(shù)明顯大于沒有目標時的情況。最后，運用該算法計算了海面上導彈目標的復合散射系數(shù)，并討論了目標高度以及海面上風速對散射系數(shù)的影響，結(jié)果表明：隨著目標高度增加，散射系數(shù)逐漸減小，隨著海面上風速增大，鏡面散射減小而漫反射增強。

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