基于三線DFT的航空電源頻率實(shí)時(shí)檢測算法

肖 鯤 王莉娜 M.Khurram Shahzad

（北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院 北京 100191）

1 引言

現(xiàn)代航空技術(shù)的總趨勢是發(fā)展多電和全電飛機(jī)。多電和全電飛機(jī)電源體制的主流趨勢是采用大容量變速變頻交流發(fā)電技術(shù)，產(chǎn)生360～800Hz變頻交流電[1]。靜態(tài)無功補(bǔ)償器、有源電力濾波器、背靠背變換器及矩陣變換器等系統(tǒng)的網(wǎng)側(cè)電路由可控功率器件組成，實(shí)時(shí)頻率信息是實(shí)現(xiàn)功率器件開關(guān)控制、參考坐標(biāo)變換、有功功率和無功功率計(jì)算的重要基準(zhǔn)。因此，為保證機(jī)載電氣設(shè)備正常工作，航空電源頻率的高精度與實(shí)時(shí)檢測至關(guān)重要。

目前，國內(nèi)外已提出多種頻率檢測算法檢測電力系統(tǒng)頻率。過零檢測法[2]的原理是通過檢測過零點(diǎn)的時(shí)間差來計(jì)算頻率，計(jì)算量小，方法簡單，但動(dòng)態(tài)性能較差，且對直流分量和噪聲干擾敏感，檢測的精度不佳。Prony檢測法[3,4]是使用指數(shù)函數(shù)的線性組合來描述等間距采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，缺點(diǎn)是算法所需的復(fù)數(shù)乘法和求解二元方程計(jì)算量大，硬件實(shí)現(xiàn)困難，且對信噪比的要求較高?？柭鼮V波法[5]對離散隨機(jī)動(dòng)態(tài)過程及其噪聲進(jìn)行變換，在協(xié)方差最小的原則下遞推估計(jì)狀態(tài)矢量，但由于受到算法飽和現(xiàn)象的限制，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，需重置協(xié)方差矩陣，算法較復(fù)雜。鎖相環(huán)（Phase Locked Loop,PLL）檢測法[6,7]通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)提取dq軸分量，以相位為反饋量對q軸分量進(jìn)行零值跟蹤，動(dòng)態(tài)性能較好，但是PI調(diào)節(jié)器需精心設(shè)計(jì)，且系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差易受所選參數(shù)影響。離散傅里葉變換（DFT）在頻率檢測中得到了廣泛應(yīng)用，但只能用于整數(shù)次諧波，由于采樣點(diǎn)數(shù)的限制，出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)[8]。另外，電力系統(tǒng)的頻率檢測法還有最小二乘法[9]、多信號(hào)分類（Multiple Signal Classification,MUSIC）算法[10]和自適應(yīng)陷波（Adaptive Notch Filter,ANF）算法[11]等。

本文推導(dǎo)了加漢寧窗后基波頻率與3條離散譜線幅值的數(shù)值關(guān)系，提出基于三線DFT的航空電源頻率檢測算法。該方法克服了DFT的柵欄效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)寬范圍連續(xù)頻率檢測。結(jié)合電力系統(tǒng)特點(diǎn)分析了無主瓣幅值頻譜泄露的參數(shù)選擇方法，并在雙級矩陣變換器實(shí)驗(yàn)樣機(jī)上實(shí)現(xiàn)該算法。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了算法的有效性。

2 三線DFT算法數(shù)學(xué)模型

圖1 時(shí)域信號(hào)傅里葉分析過程Fig.1 Process of Fourier analysis in time domain

設(shè)時(shí)域下連續(xù)信號(hào)為

式中，V為時(shí)域信號(hào)有效值；fF為基波頻率。

對連續(xù)時(shí)域信號(hào)離散化采樣，采樣時(shí)間間隔為Ts，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則離散序列為

對離散序列加窗，考慮窗函數(shù)的主瓣寬度和相對旁瓣幅值，選用漢寧窗

加窗后的離散信號(hào)為

對式（4）進(jìn)行DFT，得

圖2 加窗對幅度譜影響示意圖Fig.2 Sketch of amplitude spectrum after windowing

從圖2中可以看出，如果時(shí)域信號(hào)為fF、2fF、3fF等頻率分量的合成，其無限長序列的頻域分析結(jié)果應(yīng)為fF、2fF、3fF等頻率處的離散譜線，其余頻率處譜線幅值為零。但由于對無限長序列的截?cái)嗪图哟暗挠绊?，fF、2fF、3fF等頻率分量的主瓣幅值沿虛線擴(kuò)展（旁瓣幅值未畫出），其中基波頻率fF主瓣幅值沿虛線擴(kuò)展到離散頻率f0、f-1和f1上。如果能夠根據(jù)f0、f-1和f1三條離散譜線幅值確定主瓣中心位置，那么基波頻率fF即可得到。

式中，D[·]為中間函數(shù)

設(shè)a=A1/A0，b=A-1/A0，可以證明[12]

把式（7）代入fF=(k0+δ)df，得

傳統(tǒng)DFT只能得到N條離散譜線幅值，因存在柵欄效應(yīng)，無法得到離散譜線間的頻譜信息。如提高頻率分辨率則需相應(yīng)增加采樣點(diǎn)數(shù)，使DFT計(jì)算量大幅增加。

由式（8）可知，已知fF主瓣區(qū)域的3條離散譜線幅值，則可計(jì)算連續(xù)頻譜信息，得到基波頻率。該算法在保證加窗后各頻率分量主瓣互不重疊前提下，減少采樣點(diǎn)數(shù)N不影響對連續(xù)基波頻率的計(jì)算，計(jì)算量得以顯著減小。

3 頻率檢測算法與參數(shù)選擇

結(jié)合電力系統(tǒng)頻譜特點(diǎn)，把三線DFT算法應(yīng)用于航空電源頻率實(shí)時(shí)檢測。采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法計(jì)算3條離散譜線幅值，分析采樣參數(shù)和頻率初值取值方法，得到算法參數(shù)選擇步驟。

3.1 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法計(jì)算譜線幅值

設(shè)三相輸入電壓矢量為

為方便DFT，對其進(jìn)行克拉克變換，得兩相坐標(biāo)系下的電壓矢量為

式中，C為克拉克變換矩陣

兩相坐標(biāo)系下的電壓矢量vαβ(t) 亦可用復(fù)數(shù)表示

式中，V為矢量幅值；ej2πft為旋轉(zhuǎn)算子；Vej2πft表示矢量以ω=2πf的角速度在復(fù)平面旋轉(zhuǎn)。如對vαβ(t)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，乘以旋轉(zhuǎn)算子e-j2πft，在角速度為ω=2πf的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下觀察，vαβ(t)為靜止矢量，即直流量

實(shí)際的電源波形可分解為基波和m(m=2,3,…)次諧波的合成，基波和m次諧波分別以頻率f=fF和f=mfF在復(fù)平面上旋轉(zhuǎn)，可用復(fù)序列表示為

同上述，采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法，分別對加窗后序列vαβ[n]乘以旋轉(zhuǎn)算子e-j2πf0nTs、e-j2π(f0-df)nTs和e-j2π(f0+df)nTs，即在頻率分別為f、f和f的旋轉(zhuǎn)

0-11坐標(biāo)系上觀察，A0、A-1和A1應(yīng)為靜止譜線幅值，為直流量。由式（5）可知，當(dāng)k為零時(shí)，可得直流量

采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法求取離散譜線幅值，物理概念清晰，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)后只需執(zhí)行加法運(yùn)算。其優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在：一方面，直接進(jìn)行DFT時(shí)每次采樣需計(jì)算N次與旋轉(zhuǎn)算子的復(fù)數(shù)乘法，而旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法每次采樣只需計(jì)算1次復(fù)數(shù)乘法，后續(xù)計(jì)算可直接引用結(jié)果，計(jì)算量得到顯著減??；另一方面，直接進(jìn)行DFT，fF估計(jì)值只能取特定離散頻率kdf處，而旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法可根據(jù)對fF的估計(jì)值任選旋轉(zhuǎn)頻率，不受特定頻率限制。

3.2 參數(shù)選擇

三線DFT的頻率檢測算法，需選擇的參數(shù)有采樣時(shí)間間隔Ts、采樣點(diǎn)數(shù)N、頻率分辨率df及頻率估計(jì)初值f0。

Ts的取值參照乃奎斯特采樣定律。采樣時(shí)間間隔Ts=1/fs，其中fs為采樣頻率。根據(jù)乃奎斯特采樣定律，fs為信號(hào)頻率的兩倍以上，則不會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。一般的航空電力變換器控制器中，fs與脈寬調(diào)制（PWM）頻率（5～20kHz）一致，比基波頻率高一個(gè)數(shù)量級，滿足奎斯特采樣定律，fs取PWM頻率即可。

N的取值大小需謹(jǐn)慎權(quán)衡多方面因素：N的取值越大，窗函數(shù)的主瓣越窄，發(fā)生泄漏越弱，譜線幅值精度越高，但相應(yīng)的算法運(yùn)算量也越大，影響算法的實(shí)時(shí)性；相反，N的取值較小，窗函數(shù)的主瓣加寬，基波和諧波的譜線幅值可能相互發(fā)生泄漏，甚至無法分辨，但是算法的計(jì)算量會(huì)相應(yīng)減?。h寧窗的最大旁瓣幅值相對主瓣為－31dB，其幅值較小，文中忽略旁瓣的影響）。為使頻域下各譜線的主瓣互不重疊，主瓣寬度應(yīng)小于頻域下相鄰譜線頻率差值，即flobe＜ΔfT；對于漢寧窗，主瓣寬度flobe=4/(NTs)。電源系統(tǒng)中無偶次諧波，相鄰譜線頻率差為2倍的基波頻率，可得主瓣互不重疊的條件為

頻率分辨率df=1/(NTs)，由式（8）可知，df越大，算法的頻率檢測范圍越大。算法中假定f0是距fF最近的頻率值，可知頻率檢測范圍為

在滿足乃奎斯特采樣定律和不發(fā)生泄漏的前提下，N和Ts盡量取較小值，可得較大df值，使算法具有較大的頻率檢查范圍。

f0是距fF最近的離散頻率值，其對應(yīng)的譜線A0應(yīng)為三條譜線中最大。在航空電源系統(tǒng)中，f0的取值可根據(jù)過零點(diǎn)檢測大致估計(jì)其初值，如按旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法計(jì)算A0、A-1和A1后，A0不為最大值，可增加（A1最大）或減少（A-1最大）f0，進(jìn)行迭代計(jì)算，直至A0最大。由式（16）可知，改變f0的步長為df/2，迭代的頻率檢測范圍既不重復(fù)，又無遺漏，因此具有最高效率。

綜上所述，三線DFT的頻率檢測算法參數(shù)選擇步驟如下：

（1）由控制器的采樣頻率fs確定Ts=1/fs，fs一般可滿足乃奎斯特采樣定律。

（2）由式（15）確定N的最小值。

（3）估計(jì)f0初值，采用步長為df/2的迭代法計(jì)算A0、A-1和A1三條譜線幅值，直至A0為最大值。

采用所選參數(shù)，對航空電源頻率的實(shí)時(shí)檢測的軟件框圖如圖3所示。三相采樣電壓值經(jīng)克拉克變換后變?yōu)棣力伦鴺?biāo)系下的序列，分別對其進(jìn)行f0、f-1和f1的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，求和得到A0、A-1和A1的譜線幅值，最終利用式（8）得到基波頻率fF。每次采樣后對序列進(jìn)行先入先出（FIFO）數(shù)據(jù)更新，只需進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)算子的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。頻率檢測中，一旦A0不為三條譜線中的最大值，執(zhí)行迭代，直至A0為最大值，保證算法正確執(zhí)行。

圖3 三線DFT頻率檢測算法軟件框圖Fig.3 Diagram of frequency estimation based on 3-line DFT

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 與PLL算法仿真對比

使用Matlab搭建仿真模型，把文中算法與PLL算法進(jìn)行對比。PLL算法在理想電源系統(tǒng)下，采樣結(jié)果雖尚好，但在含有諧波時(shí)，采樣性能有所下降。而一般實(shí)際系統(tǒng)中均含有諧波，因此仿真該條件下的航空電源參數(shù)：設(shè)置電源基波幅值為115V，電源頻率變化范圍為360～800Hz，各次諧波相對基波幅值如下表所示。三線DFT算法中，采樣頻率fs為10kHz，由式（15）得N的最小值為55.5，取N=60，因此頻率分辨率df為167Hz。由式（16）可知，該算法的頻率檢測范圍為。分別對電源頻率的階躍變化和斜坡變化進(jìn)行仿真。

表 仿真模型中電源諧波參數(shù)Tab.Parameters of power source in simulation module

圖4為三線DFT算法的階躍響應(yīng)，電源的初始頻率為400Hz，在0.15s處突加10Hz的階躍量。f0的初始值設(shè)為430Hz。由圖4仿真結(jié)果可見，算法的檢測值對實(shí)際頻率的跟蹤較好，無超調(diào)和振蕩，延遲約為8ms，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1Hz。

圖4 三線DFT算法階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of frequency estimation based on 3-line DFT

圖5 為三線DFT算法的斜坡響應(yīng)，電源的頻率斜坡變化率為100Hz/s，初始頻率為400Hz，在0.15s加斜坡信號(hào)。從圖中可以看出，檢測值對實(shí)際值的跟蹤有延遲，該延遲約為6ms。產(chǎn)生延遲的原因是算法中需對長度為N的序列進(jìn)行DFT，序列對變化信號(hào)的更新將有N個(gè)采樣時(shí)間間隔的延遲?？梢?，減小參數(shù)N的選取不僅可以減小算法的計(jì)算量，同時(shí)可以減小頻率檢測的延遲時(shí)間，提高算法的響應(yīng)帶寬。

圖5 三線DFT算法斜坡響應(yīng)Fig.5 Ramp response of frequency estimation based on 3-line DFT

在電源參數(shù)設(shè)置相同的仿真條件下，對比PLL算法性能。PLL的仿真模型框圖如圖6所示。對電源的三相電壓進(jìn)行采樣，采樣頻率為10kHz，經(jīng)克拉克變換和帕克變換后，得到dq坐標(biāo)下的電壓矢量，設(shè)置q軸的參考值為零，經(jīng)PI調(diào)節(jié)器和積分環(huán)節(jié)得到旋轉(zhuǎn)矢量的角度，作為帕克變換的反饋量，實(shí)現(xiàn)對旋轉(zhuǎn)矢量的相位跟蹤。積分環(huán)節(jié)前端，即為頻率量，經(jīng)過低通濾波器后得到頻率檢測值。

圖6 PLL算法仿真模型框圖Fig.6 Simulation diagram of PLL

圖7 為PLL算法的階躍響應(yīng)，階躍條件與圖4相同。PLL算法的性能與PI參數(shù)的設(shè)置密切相關(guān)，圖7中的PI設(shè)置，檢測值無超調(diào)，響應(yīng)時(shí)間約為12ms，存在明顯的穩(wěn)態(tài)誤差，誤差值約為±1Hz。產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差的原因?yàn)楫?dāng)僅存在基波矢量，q軸分量為零時(shí)，對應(yīng)的d軸相位即為基波相位。但是如果存在諧波矢量，其旋轉(zhuǎn)速度與基波不同，矢量合成后將影響q軸分量大小，q軸分量為零時(shí)對應(yīng)的d軸相位與基波相位將有偏差。因此，PLL算法對諧波較為敏感。圖8為PLL算法的斜坡響應(yīng)，斜坡條件與圖5相同。同樣，受諧波分量影響，檢測結(jié)果存在約±1Hz的誤差。

圖7 PLL算法階躍響應(yīng)Fig.7 Step response of PLL

圖8 PLL算法斜坡響應(yīng)Fig.8 Ramp response of PLL

由仿真對比結(jié)果可以看出，三線DFT頻率檢測算法的階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)性能優(yōu)于PLL算法，其具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和更快地階躍響應(yīng)性能。由于選擇采樣點(diǎn)數(shù)N時(shí)已保證基波與諧波主瓣互不重疊，可極大地減弱諧波對檢測結(jié)果的影響，因此該算法對諧波干擾的抑制性較強(qiáng)。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在雙級矩陣變換器樣機(jī)上對三線DFT算法進(jìn)行驗(yàn)證。三相電壓采樣頻率為5kHz，信號(hào)采樣通道中低通濾波器的截止頻率為2.1kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N為30，df為167Hz。采用的電壓采樣傳感器為LV25-P，模-數(shù)轉(zhuǎn)換芯片MAX1308為8路同時(shí)采樣。在TMS320F2812 DSP芯片中實(shí)現(xiàn)三線DFT算法。

設(shè)定電源頻率分別為360Hz、400Hz、500Hz和800Hz時(shí)，檢測結(jié)果如圖9中由下到上曲線所示。f0初始值為500Hz，算法根據(jù)檢測頻率范圍不同進(jìn)行步長為167Hz的迭代計(jì)算，對360～800Hz頻率范圍進(jìn)行檢測。從圖9中可以看出，4組頻率檢測均有約4ms的響應(yīng)時(shí)間。由于采樣序列初始值為空，檢測結(jié)果在開始階段有波動(dòng)。進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，在360Hz、400Hz和800Hz頻率下，穩(wěn)態(tài)誤差均約為±0.5Hz，而500Hz頻率下，穩(wěn)態(tài)誤差約為±0.3Hz?？梢?，如f0的選取與基波頻率相同，A-1和A1幅值相等，可消除采樣過程中的共模誤差，檢測結(jié)果會(huì)更加精確。

圖9 4種頻率下實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experiment result of 4-frequency estimation

圖10 為斜坡響應(yīng)的檢測結(jié)果，有約±0.5Hz紋波，延遲約為3ms。與仿真結(jié)果相比，采樣點(diǎn)數(shù)N減小，延遲時(shí)間相應(yīng)減??；實(shí)驗(yàn)穩(wěn)態(tài)誤差比仿真結(jié)果稍大，可以認(rèn)為是由電壓傳感器采樣誤差等非理想因素造成。對比實(shí)驗(yàn)波形與仿真波形，結(jié)果基本一致。

圖10 斜坡頻率實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Experiment result of ramp-frequency estimation

5 結(jié)論

（1）基于三線DFT的頻率檢測算法可實(shí)現(xiàn)對連續(xù)變化頻率的實(shí)時(shí)檢測，克服了柵欄效應(yīng)。

（2）該算法采樣點(diǎn)數(shù)少，采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法計(jì)算3個(gè)譜線幅值，與傳統(tǒng)DFT相比，計(jì)算量小且實(shí)時(shí)性強(qiáng)。

（3）按照文中方法選擇算法參數(shù)，無主瓣幅值泄露。迭代法估計(jì)頻率初值，可檢測360～800Hz頻率。

（4）仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該算法具有較高的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。提高采樣精度并減少計(jì)算舍棄誤差，可使穩(wěn)態(tài)精度得到進(jìn)一步提高。

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