劉 鵬 蒙志君 武 哲

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

近年來(lái)，由于共軸直升機(jī)具有機(jī)身結(jié)構(gòu)緊湊、適合在小場(chǎng)地起降、不存在尾槳事故等特點(diǎn)，共軸式雙旋翼布局在輕型無(wú)人直升機(jī)中應(yīng)用比較廣泛.共軸直升機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)模型是開(kāi)展操穩(wěn)特性分析、飛行實(shí)時(shí)仿真、飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等研究的基礎(chǔ)［1］.

目前，關(guān)于單旋翼帶尾槳直升機(jī)的建模研究非常多，也比較成熟［2－3］.然而由于共軸直升機(jī)特有的旋翼布局，引發(fā)了上下旋翼之間強(qiáng)烈的氣動(dòng)干擾，使得共軸式雙旋翼空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題較單旋翼而言更加復(fù)雜和困難.國(guó)內(nèi)外關(guān)于共軸式直升機(jī)的研究主要集中在雙旋翼氣動(dòng)特性的理論分析和風(fēng)洞試驗(yàn)方面［4－7］，而對(duì)共軸直升機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)建模的研究非常少.

本文運(yùn)用一種基于微分進(jìn)化算法的頻域系統(tǒng)辨識(shí)方法得到了共軸直升機(jī)懸停狀態(tài)下?tīng)顟B(tài)空間模型中的氣動(dòng)參數(shù)，并利用Cramer-Rao(CR)邊界和不靈敏度的有關(guān)理論對(duì)辨識(shí)參數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算，說(shuō)明辨識(shí)得到的參數(shù)具有較高的精度和可信度，辨識(shí)得到的模型的時(shí)域驗(yàn)證結(jié)果說(shuō)明了辨識(shí)得到的模型是非常精確的.

1 機(jī)理模型建立

利用小擾動(dòng)理論，得到了共軸直升機(jī)懸停狀態(tài)下含有氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)和控制導(dǎo)數(shù)的六自由度線性化狀態(tài)空間模型如下［1，8］:

式中

x表示狀態(tài)向量;u表示控制輸入向量;τ為控制量的延遲時(shí)間，具體如下:

狀態(tài)矩陣A由氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)組成，控制矩陣B由控制輸入導(dǎo)數(shù)組成，這些都是狀態(tài)空間模型中的待辨參數(shù)，通過(guò)頻域辨識(shí)的方法可以獲得這些參數(shù)值的大小.

2 頻域辨識(shí)方法及精度分析

2.1 頻域辨識(shí)方法

運(yùn)用拉氏變換，頻率響應(yīng)矩陣T(s)可以表示為狀態(tài)空間方程系統(tǒng)矩陣的函數(shù):

假定系統(tǒng)有nin個(gè)輸入，nout個(gè)輸出，可以寫(xiě)成如下多輸入多輸出傳遞函數(shù)矩陣的形式:

選取其中nTF對(duì)相干性較高 (相干函數(shù)值≥0.6)的頻域響應(yīng)Tc(ω)，將s=jω代入式(1)傳遞函數(shù)T(s)中，可以得到如下的以誤差形式表示的狀態(tài)空間方程辨識(shí)的代價(jià)函數(shù):

通常取代價(jià)函數(shù)J的平均值Jave=J/nTF進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)平均代價(jià)函數(shù)滿足Jave≤100時(shí)，將獲得一個(gè)非常可靠的狀態(tài)空間模型［9］.

將狀態(tài)矩陣A、控制矩陣B和延遲時(shí)間τ中的d個(gè)待辨識(shí)參數(shù)用向量x來(lái)表示:

本文采用仿生智能計(jì)算方法中的微分進(jìn)化算法來(lái)得到待辨參數(shù)的值.微分進(jìn)化算法是一種基于群體進(jìn)化的仿生智能計(jì)算方法，通過(guò)種群內(nèi)個(gè)體間的合作與競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的求解.微分進(jìn)化算法的基本操作包括變異、交叉和選擇3種操作［10］.

設(shè)種群規(guī)模Np可行解空間維數(shù)為d，用x(t)=［x1x2… xd］表示第t迭代時(shí)刻的解向量，微分進(jìn)化算法運(yùn)行過(guò)程的步驟［11］如下:

1)隨機(jī)初始化.解空間隨機(jī)產(chǎn)生初始種群:

2)變異操作.變異個(gè)體的生成過(guò)程中用到了父代種群中多個(gè)個(gè)體的線性組合，最基本的變異成分是父代個(gè)體的差分向量.對(duì)父代種群中任意個(gè)體，經(jīng)如下變異操作生成變異個(gè)體

圖1 微分進(jìn)化算法的變異操作

式中，randb是 ［0，1］間的隨機(jī)數(shù);rj是在［1，d］間隨機(jī)選擇的整數(shù);交叉常量CR是在［0，1］間的常數(shù)，微分進(jìn)化算法的變異操作過(guò)程如圖2所示.

4)選擇操作.微分進(jìn)化算法的選擇操作是一種“貪婪”選擇模式，當(dāng)且僅當(dāng)新的向量個(gè)體的適應(yīng)度值比目標(biāo)個(gè)體的適應(yīng)度值更好時(shí)，才會(huì)被種群接受為.選擇操作由下式描述:

微分進(jìn)化算法的選擇操作使得子代個(gè)體總是優(yōu)于或等于父代個(gè)體，從而使種群始終向最優(yōu)解的方向進(jìn)化.

2.2 辨識(shí)參數(shù)精度分析

參數(shù)精度理論分析的基礎(chǔ)是Cramer-Rao不等式:σi≥Pi.CR邊界值Pi是多次重復(fù)試驗(yàn)所得參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差σi的最小值，各辨識(shí)參數(shù)的CR邊界值是改進(jìn)模型結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵準(zhǔn)則.如果某參數(shù)的CR邊界值過(guò)大，則表明參數(shù)辨識(shí)結(jié)果可信度很低，意味著該參數(shù)應(yīng)當(dāng)從模型結(jié)構(gòu)中去除或進(jìn)行調(diào)整改進(jìn).

對(duì)于個(gè)別的CR邊界值超過(guò)要求的辨識(shí)參數(shù)，辨識(shí)得到的模型也是可以接受的［9］.

3 狀態(tài)空間模型辨識(shí)

3.1 飛行掃頻試驗(yàn)設(shè)計(jì)

飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)必須充分包含動(dòng)力學(xué)模型的豐富信息，故采用掃頻試驗(yàn)獲得飛行數(shù)據(jù)，即通過(guò)操控手逐漸增加輸入的頻率［13］.

通過(guò)大量飛行掃頻試驗(yàn)總結(jié)，共軸直升機(jī)和單旋翼帶尾槳直升機(jī)做辨識(shí)試驗(yàn)的主要區(qū)別在于共軸直升機(jī)掃頻時(shí)操縱量輸入不能太大，否則會(huì)造成上下旋翼打槳，輸入量幅值一般應(yīng)控制在±10%行程內(nèi).

橫向通道掃頻數(shù)據(jù)如圖3所示，從圖中可看到，橫向掃頻輸入A1和橫滾角速度輸出p有很高的一致性，這為系統(tǒng)辨識(shí)提供了很好的頻譜特性.

圖3 橫向通道掃頻數(shù)據(jù)

3.2 狀態(tài)空間模型辨識(shí)

在獲得了滿足要求的辨識(shí)數(shù)據(jù)后，用偏相干分析去除其他通道的耦合效應(yīng)，通過(guò)輸入輸出信號(hào)的功率譜密度計(jì)算得到包含共軸直升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型耦合特性的非參數(shù)頻率響應(yīng)，如圖4所示.

利用前面介紹的微分進(jìn)化算法來(lái)搜索最小代價(jià)函數(shù).表1列出了懸停狀態(tài)下辨識(shí)得到的模型的代價(jià)函數(shù)，從表中可看出，頻率響應(yīng)的代價(jià)函數(shù)都小于標(biāo)準(zhǔn)值，并且平均的代價(jià)函數(shù)值低于100，說(shuō)明辨識(shí)得到的模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)匹配得很好.

表1 辨識(shí)過(guò)程傳遞函數(shù)的代價(jià)函數(shù)值J

圖4比較了辨識(shí)得到的模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的主通道頻率響應(yīng)，可以看出模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)取得了很好的一致性.

那些具有較大Cramer-Rao邊界值和不靈敏度值的參數(shù)在辨識(shí)過(guò)程中從待辨模型中去除.表2列出了參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果、Cramer-Rao邊界和不靈敏度值，結(jié)果都滿足辨識(shí)要求，說(shuō)明辨識(shí)參數(shù)的精度比較高.

圖4 飛行數(shù)據(jù)和辨識(shí)模型的頻率響應(yīng)比較

表2 共軸直升機(jī)懸停狀態(tài)下辨識(shí)結(jié)果

3.3 模型驗(yàn)證

把一組用于模型驗(yàn)證的Doublet輸入信號(hào)［13］作為辨識(shí)得到的共軸直升機(jī)狀態(tài)空間模型的輸入值，比較辨識(shí)得到的模型的預(yù)測(cè)輸出和實(shí)際的飛行數(shù)據(jù).航向通道的模型驗(yàn)證結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看出，實(shí)際飛行數(shù)據(jù)和辨識(shí)模型的吻合度是比較理想的，說(shuō)明此辨識(shí)模型的結(jié)果的準(zhǔn)確性是比較高的.

圖5 航向通道模型驗(yàn)證

4 結(jié)論

通過(guò)以上論述，可以得出以下結(jié)論:①通過(guò)大量飛行掃頻試驗(yàn)，總結(jié)得到共軸直升機(jī)和單旋翼帶尾槳直升機(jī)辨識(shí)試驗(yàn)主要的區(qū)別在于操縱手在掃頻時(shí)操縱量輸入不能太大，否則會(huì)造成上下旋翼打槳，輸入量幅值一般應(yīng)控制在±10%行程內(nèi);②在辨識(shí)過(guò)程中，將微分進(jìn)化算法應(yīng)用到搜索代價(jià)函數(shù)的最小值中，通過(guò)擬合由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的頻率響應(yīng)曲線，得到了共軸直升機(jī)狀態(tài)空間模型中的待辨參數(shù);③利用Crame-Rao邊界和不靈敏度的有關(guān)理論對(duì)辨識(shí)參數(shù)結(jié)果進(jìn)行分析，辨識(shí)參數(shù)的Cramer-Rao邊界和不靈敏度值都滿足辨識(shí)要求，說(shuō)明辨識(shí)參數(shù)的精度比較高;④通過(guò)時(shí)域交叉驗(yàn)證，說(shuō)明了基于該頻域辨識(shí)方法建立的共軸直升機(jī)狀態(tài)空間模型的精確性和有效性，可以在該狀態(tài)下以此模型進(jìn)行自主飛行控制器設(shè)計(jì).

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