交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制

聶冰，趙慧敏，郭永香，李文

(大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

整數(shù)階PID控制器具有操作簡單、調(diào)整方便、魯棒性好等特點(diǎn)，在電機(jī)控制應(yīng)用中處于主導(dǎo)地位，但是隨著控制對象的機(jī)構(gòu)越來越復(fù)雜，控制參數(shù)越來越多，常規(guī)的整數(shù)階PID控制往往難以得到滿意的控制效果［1］.分?jǐn)?shù)階PID控制器是傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的擴(kuò)展，由于它具有更多的可調(diào)節(jié)參數(shù)，故為復(fù)雜的被控對象帶來了更加靈活的參數(shù)調(diào)節(jié)能力，使其具有更好的控制特性.

交流電機(jī)作為工業(yè)控制領(lǐng)域的重要電氣設(shè)備被廣泛應(yīng)用，電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng)，其中存在著很多非線性因素，如齒輪間的間隙和摩擦、基礎(chǔ)振動(dòng)等，因此，系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性變得無法忽略.為了降低交流電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的噪聲與振動(dòng)，進(jìn)一步擴(kuò)展傳統(tǒng)的整數(shù)階控制方法，在交流電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中引入分?jǐn)?shù)階控制是可行和必要的［2］，具有實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.

本文主要討論了交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制.首先介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的基本含義，并將其應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì).在交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中使用分?jǐn)?shù)階PIλ控制器進(jìn)行控制，通過測試實(shí)驗(yàn)表明分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的可行性及其有效性.

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分的一般定義為［3］:

式中，a和t為算子a的上下限，微積分算子是函數(shù)f(t)的α次積分或?qū)?shù).

分?jǐn)?shù)階微積分中α是任意數(shù)，常用的分?jǐn)?shù)階微積分定義是Grünwald-Letnikov，其微積分定義為:

h為計(jì)算步長.

RL是另一種分?jǐn)?shù)階微積分的定義.與GL定義相比，RL分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算更為簡化，其分?jǐn)?shù)階微積分的定義為:

2 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器

2.1 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì)

整數(shù)階PIλ控制器傳遞函數(shù)為:

式中，U(s)為控制器的輸出;E(s)為控制器的誤差輸入.分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)是整數(shù)階控制系統(tǒng)的擴(kuò)展，將式(4)推廣到分?jǐn)?shù)，其分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的傳遞函數(shù)為:

式中，KP、KI為控制器的控制參數(shù)，λ＞0是分?jǐn)?shù)階控制器的積分階次，可表示為任意實(shí)數(shù).

2.2 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的離散化

分?jǐn)?shù)階控制器是無限階次，其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題是解分?jǐn)?shù)階微積分方程時(shí)需要對微積分算子進(jìn)行離散化.離散化方法主要使用直接離散化和間接離散化，直接離散化應(yīng)用更為廣泛［2］.直接離散化法的基本思想是:分?jǐn)?shù)階微積分sr用生成函數(shù) s= ω(z－1)來表示，將r次無理函數(shù) ωr(z－1)在離散時(shí)間域Z中使用有限階次的有理函數(shù)對其進(jìn)行逼近［2，4］.目前常用的分?jǐn)?shù)階積分算子包括:Rectangular算子、Tustin算子和Simpson算子及由Al-Alaoui提出的算子.連分式(CFE)是對函數(shù)或數(shù)值的一種有效近似形式，它的展開比通常線性展開收斂速度更快.Tustin算子具有很好的相位特性和簡單的結(jié)構(gòu)，利用Tustin算子進(jìn)行連分式(CFE)展開是一種有效的離散方法［5-6］.根據(jù)Tustin算子得到階次為r的生成函數(shù)為:

將該生成函數(shù)應(yīng)用收斂速度快的連分式展開，對其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分算子的近似，得到了效果更理想的分?jǐn)?shù)階數(shù)字積分器.

離散函數(shù)G(z)可以用連分式展開式近似展開，形式表示如下所示:

式中，ai(z)和bi(z)為常量或z的有理函數(shù).

式中，r∈［－1，1］，CFE{u}表示對函數(shù)u進(jìn)行連分式展開，P和Q是變量z－1多項(xiàng)式，一般展開階次 p=q=n，得到近似等式［3］:

附表列出了當(dāng)近似階次p=q=1，3，5取不同值時(shí)，分?jǐn)?shù)階積分器的分子分母近似表達(dá)式.

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，綜合考慮系統(tǒng)的計(jì)算能力和控制性能要求選取近似模型的階次為3，分?jǐn)?shù)階微積分sr的離散化模型為:

附表 Dr(z)分子分母的近似表達(dá)式

3 應(yīng)用實(shí)例

使用離散的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器對交流感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行控制.該系統(tǒng)硬件主要采用工控機(jī)，三相異步電動(dòng)機(jī)，變頻器，速度傳感器及NI公司的數(shù)據(jù)采集模塊，其配置框圖如圖1所示:

圖1 交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)配置圖

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器控制參數(shù)分別為:Kp=0.24，ki=0.05，λ =0.47，采樣周期T=1 s，采用Tustin+CFE離散方法，逼近階次為3，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PID控制器控制效果如圖2所示.

圖2分別為交流電機(jī)額定轉(zhuǎn)速在300 r/min和600 r/min時(shí)，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PID控制器控制效果對比圖，其中虛線為分?jǐn)?shù)階控制器，實(shí)線為整數(shù)階控制器.如圖所示，在控制過程中，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PID控制器的超調(diào)量幾乎相同，但是分?jǐn)?shù)階控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間更短，在電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行后，分?jǐn)?shù)階控制器要比整數(shù)階控制器對電機(jī)的控制更加的平穩(wěn)，振蕩小，這種趨勢隨著時(shí)間的推移越發(fā)的明顯，控制效果更好.

圖2 分?jǐn)?shù)階控制器和整數(shù)階控制器控制效果對比圖

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的有效性，進(jìn)一步拓寬PID控制器的參數(shù)選擇范圍，為工程實(shí)際應(yīng)用提供了可能.

［1］張邦楚，王少鋒.飛航導(dǎo)彈分?jǐn)?shù)階PID控制及其數(shù)字實(shí)現(xiàn)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2005，26(5):653-656.

［2］趙慧敏，李文.一類分?jǐn)?shù)階濾波器逼近階次的選擇［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2010(1):90-94.

［3］白晶.分?jǐn)?shù)階模型的離散化方法研究［D］.大連:大連交通大學(xué)，2009.

［4］曹軍義，曹秉剛.分?jǐn)?shù)階控制器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)及其特性［J］.控制理論與應(yīng)用，2006，3(5):791-794.

［5］樊玉華，李文.分?jǐn)?shù)階微分算子的離散化方法比較［J］.大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29(3):95-98.

［6］CHEN YANGQUAN.A new discretization method for fractional order differentiators via continued fraction expansion［C］.2003 ASME International Design Engineering Technical Conferences，Chicago，USA，2003:1-9.