高恩偉,張金霞

(遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110036)

高恩偉,張金霞

(遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110036)

用擴(kuò)張平移方法將基域中不含有ι次本原單位根的素理想分解問題轉(zhuǎn)化為基域中含有ι次本原單位根的素理想分解問題,完全解決了素理想P在代數(shù)數(shù)域F的ι次根擴(kuò)張F(tuán)()中的分解問題.

素理想分解;全分歧的;素的;完全分裂

1 引言及預(yù)備知識(shí)

眾所周知,素理想分解問題是代數(shù)數(shù)論的重要課題之一,利用基域中素理想的分解狀況,不僅可以刻畫基域的有限擴(kuò)張問題[1],而且由類域論知道,它還可以決定素理想本身的性質(zhì),這說(shuō)明,如何判斷基域中的素理想在其有限擴(kuò)張中的分解狀況是一個(gè)十分有意義的問題.由于在F為代數(shù)數(shù)域,且含有ι次本原單位根(ι為素?cái)?shù))時(shí).文獻(xiàn)[2]完全解決了F中素理想在F()中的分解問題.因此,只就F中不含有ι次本原單位根時(shí)的情況來(lái)討論.相關(guān)文獻(xiàn)參見文獻(xiàn)[3-5].

以下設(shè)F為代數(shù)數(shù)域,?為其秩為1的非平凡,非阿基米德賦值,R為其賦值環(huán),P為的極大理想(素理想),xι?μ在F上不可約(μ∈R),ι為素?cái)?shù),?ι為ι次本原單位根,若K/F為ι次Galois擴(kuò)張,則有下述的

證明由定理的證明過程中即可得出.

注由于文獻(xiàn)[2]完全解決了基域中含有ι次本原單位根時(shí)的ι次根擴(kuò)張中的素理想分解問題,因而上述定理完全解決了代數(shù)數(shù)域的素?cái)?shù)次根擴(kuò)張中的素理想分解問題,這一結(jié)果包含了文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)的結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果.

[1]丁石孫.Galois擴(kuò)張的一個(gè)算術(shù)刻劃[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1983,12(4):291-293.

[2]Erich Hecke.Lectures on the Theory of Algebraic Numbers[M].New York:Springer-Verlag,1981.

[3]Velez W Y.Prime ideal decomposition in F()[J].Paci fi c Journ.,1978,75:589-600.

[4]郝一凡,高恩偉,張金霞.素理想(P)在Q()中的分解[J].數(shù)學(xué)雜志,2002,22(1):94-96.

[5]張金霞,高恩偉.素理想(P)在F()中的分解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(4):140-144.

[7]戴執(zhí)中.賦值論概要[M].北京:高等教育出版社,1981.

[8]馮克勤.代數(shù)數(shù)論[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

Decomposition of prime ideal P in F()

Gao Enwei,Zhang Jinxia
(College of Mathematics,Liaoning University,Shenyang 110036,China)

The problem of laws of decomposition of prime ideal in the base fi eld F which there is not ι-degree primitive root of unity has been changed to the problem of laws of decomposition of prime ideal in the base fi eld which involved ι-degree primitive root of unity by the method of translation of extension.When is the fi eld of algebraic numbers,The problem of laws of decomposition of prime ideal in the base fi eld F(μ1ι)has been solved completely.

prime ideal decompusition,fully rami fi ed,prime,complete split

O156.2

A

1008-5513(2012)05-0569-04

2011-09-06.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671134).

高恩偉(1962-),教授,研究方向：代數(shù)數(shù)論.

2010 MSC:11N05