員陳鑫， 蔣 威

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

中立型雙時滯微分系統(tǒng)Hurwitz穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)

員陳鑫， 蔣 威

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

文章討論了一類線性雙時滯中立微分系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。首先給出系統(tǒng)的特征方程，進而根據(jù)相關(guān)引理得到初步判定系統(tǒng)的Hurwitz穩(wěn)定的充分條件；并以矩陣模的半徑為研究中介，通過構(gòu)造矩陣的方法最終得到簡單的判定系統(tǒng)Hurwitz穩(wěn)定的判據(jù)；借助矩陣譜半徑的形式給出結(jié)論，從而更加方便驗證。

中立系統(tǒng)；代數(shù)判據(jù)；時滯；穩(wěn)定性

0 引 言

時滯普遍存在于現(xiàn)實系統(tǒng)中，而且?guī)缀踉谒械南到y(tǒng)中都在一定程度上制約著系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和性能，直接影響系統(tǒng)的結(jié)果。關(guān)于時滯微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究取得了一定的進展［1－9］。但從已有的研究成果看，關(guān)于Hurwitz穩(wěn)定性的研究尚不多見。

本文考慮一類雙時滯線性中立微分系統(tǒng)：

其中，x（t）∈Cn×1為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；τ1，τ2≥0為2個非負(fù)時滯常量，記τ＝max｛τ1，τ2｝；矩陣A，B1，B2，C1，C2∈Cn×n，本 文 假 定 系 統(tǒng) 矩 陣A為Hurwitz矩陣，即所有A的特征值都具有負(fù)實部。

1 預(yù)備知識及引理

本文分別用λj（A）和ρ（A）來記矩陣A的第j個特征根和譜半徑；｜A｜表示矩陣A的模，即若矩陣A＝（aij），則定義｜A｜：＝（｜aij｜）；A≤B表示A矩陣的元素aij和B矩陣的元素bij對所有的i和j滿足aij≤bij；R（s）表示復(fù)數(shù)s的實部。

利用Laplace變換容易得到中立系統(tǒng)（1）的特征方程為：

其中，P（s）為系統(tǒng)（1）的特征函數(shù)。

引理1 如果aD＝sup｛R（s）：P（s）＝0｝，且有aD＜0，那么系統(tǒng)（1）是漸進穩(wěn)定的［1］。

引理2 假設(shè)矩陣A∈Cn×n，若有ρ（A）＜1，那么（I－A）－1存在，且有［8］：

引理3 設(shè)矩陣G，H，K∈Cn×n，如果有｜G｜≤K，則有［8］：

定理1 若矩陣A為Hurwitz矩陣，并且（4）式成立，則中立系統(tǒng)（1）為漸近穩(wěn)定的。

證明 記ξ1（s）＝e，ξ2（s）＝，則對于 R（s）≥0，｜ξ1（s）｜≤1，｜ξ2（s）｜≤1，有

而矩陣A為Hurwitz矩陣，則有：

成立，那么對于R（s）≥0，有P（s）≠0。由引理3，對于s滿足R（s）≥0，有

因此條件（4）成立意味著不等式（6）必然成立，即R（si）＜0，其中si為特征方程（2）的第i個特征根。假設(shè)存在一個滿足特征方程（2）的特征根序列sn，滿足R（sn）→0，且R（sn）＜0。因為矩陣A為Hurwitz矩陣，則A的每個特征根為：

在R（s）≥0時，（8）式是解析函數(shù)，則意味著條件（4）存在ε＞0，使得：

對于滿足R（s）≥0的s成立。因此對于R（ξ）＝0，則有：

因為R（sn）→0，則對于給定的足夠小的正數(shù)ε1＜ε，存在整數(shù)n＊，使得｜R（sn）｜足夠小并且成立，對任意的n＞n＊以及R（ξ）＝0，有

進而可以得到對于n＞n＊以及R（ξ）＝0有：

當(dāng)n（＞n＊）充分大時，必然有：

因此，對于R（sn）→0且R（sn）＜0，有

這與假設(shè)存在的特征根序列sn滿足R（sn）→0且R（sn）＜0是矛盾的。依據(jù)引理1，定理1得證。

系統(tǒng)（1）中的系數(shù)矩陣A為Hurwitz矩陣，則矩陣I－A是非退化的，即（I－A）－1存在。本文定義R＝（I－A）－1（I＋A），且滿足，

其中，j＝1，2。

引理4 若系統(tǒng)矩陣是Hurwitz矩陣，則對于R（s）＞0，｜z｜≤1以及j＝1，2，有

成立［7］，其中，Pj和Qj的定義參見（15）式，并且滿足：

定理2 系統(tǒng) （1）是漸進穩(wěn)定的充分條件為矩陣A為Hurwitz矩陣，且有：

2 主要結(jié)果

假設(shè)ρ（｜R｜）＜1，根據(jù)引理2可知，（I－｜R｜）－1存在。對于整數(shù)q≥1，定義矩陣：

引理5 對于整數(shù)q≥1，Xj（q＋1）≤Xj（q），j＝1，2。

證明 根據(jù)（19）式有：

則對于任意整數(shù)q≥1，Xj（q＋1）≤Xj（q）。證畢。

引理6 假設(shè)ρ（｜R｜）＜1，那么對于任意z∈C，｜z｜≤1，整數(shù)q≥1，j＝1，2，有不等式：

成立。

證明 對于｜zR｜≤｜R｜，?z∈C且｜z｜≤1時，有

由引理2知，（I－zR）－1存在，并且有：

根據(jù)引理1可得，對于整數(shù)q≥1和j＝1，2有Xj（q）≤Xj（0），則（21）式成立，定理得證。

定理3 系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的充分條件為：矩陣A為Hurwitz矩陣，并對于整數(shù)q≥1有：

［1］Hale J，Verduyn Lunel S M.Introduction to functional differential equations［M］.New York：Springer－Verlag，1993：20－560.

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Algebraic criteria of Hurwitz－stability of neutral differential system with double time delays

YUAN Chen－xin， JIANG Wei
（School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China）

The asymptotic stability of linear neutral differential system with double time delays is investigated.The characteristic equation of the system is given，and according to related lemmas，the tentative sufficient condition of Hurwitz－stability of the system is gotten.By the method of constructing matrices，the simple delay－independent Hurwitz－stability criteria are derived in terms of the spectral radius of modulus matrices.The conclusions are drawn based on the spectral radius of modulus matrices which makes the validation easier.

neutral system；algebraic criteria；time delay；stability

O178

A

1003－5060（2012）11－1574－03

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.11.031

2012－03－30；

2012－09－10

國家自然科學(xué)基金資助項目（11071001）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目（2009340111000）；安徽省高校重大資助項目（KJ2010ZD02）和安徽省高校自籌經(jīng)費資助項目（KJ2012Z338）

員陳鑫（1984－），男，安徽馬鞍山人，安徽大學(xué)碩士生；

蔣 威（1959－），男，安徽五河人，博士，安徽大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）