趙營豪，陳宏，侯亞丁，楊浩亮

(鄭州大學 振動工程研究所，鄭州 450001)

旋轉機械故障振動信號多表現(xiàn)為非平穩(wěn)特征。Hilbert-Huang變換[1]在處理非線性、非平穩(wěn)信號中具有明顯的優(yōu)勢，但傳統(tǒng)Hilbert-Huang變換也存在如端點效應、模態(tài)混淆等一些不足。針對Hilbert-Huang變換在時間信號處理中的不足，結合滾動軸承故障實例對端點效應和模式混淆等方法進行處理，并在Hilbert-Huang變換的基礎上拓展一些信號處理方法，完善Hilbert-Huang變換理論。

1 Hilbert-Huang變換

Hilbert-Huang變換包含經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)和Hilbert變換。EMD 是把一個復雜的信號分解為有限個固有模態(tài)函數(shù)(IMF)之和，從而可以對每個IMF分量進行Hilbert變換獲得瞬時頻率和幅值，得到Hilbert譜，Hilbert譜表示了信號完整的時間-頻率分布，能夠準確地反映信號幅值隨頻率的變化規(guī)律。得到的IMF 分量必須滿足: 信號極值點的個數(shù)和過零點個數(shù)相等或最多相差一個; 在任意點處，由局部極大、極小值點確定的上下包絡線的均值為零。具體步驟如下。

(1)用三次樣條插值函數(shù)擬合包絡線，對上下極值點進行包絡。

(2)求出原始信號與上、下包絡線的均值m1的差值

h1=x(t)-m1,

(1)

如果h1滿足IMF條件，它就是x(t) 的第1個IMF分量。

(3)若h1不滿足IMF的條件，把h1作為原始數(shù)據(jù)，重復(1)～(2) 的步驟，直到第k次迭代后差值h1,k(t)成為一個IMF，記為c1=h1,k(t)。

(4)從x(t)中將c1分離出來，則

x(t)-c1(t)=r1(t)。

(2)

(5)將r1作為原始數(shù)據(jù)重復(1)～(4) 的過程，得到第2個IMF分量c2，重復循環(huán)，得到n個滿足IMF條件的分量，這樣就有

(3)

當rn(t)成為一個單調函數(shù)，而且不能再從中提取滿足IMF條件的分量時，循環(huán)結束。綜上得到

(4)

其中rn(t)為殘余函數(shù)，代表信號平均趨勢。

對(4)式中的每個IMF作Hilbert變換得到

(5)

構造解析信號

(6)

這樣可以得到

(7)

展開(7)式稱為Hilbert譜，記作

(8)

2 HHT方法改進

試驗數(shù)據(jù)來自文獻[2]，軸承型號為6205-2RS, 轉速為1 797 r/min (29.95 Hz)，采樣頻率為12 kHz，選擇內圈故障為數(shù)據(jù)樣本，經計算，內圈故障在轉頻29.95 Hz下特征頻率為162.18 Hz,圖1為內圈故障信號。

圖1 原始故障信號

2.1 端點效應問題

無論是平穩(wěn)信號還是非平穩(wěn)信號,必須從時序序列中截取一段進行信號分析，在端點處會產生截斷，進行頻域分析時就會產生發(fā)散現(xiàn)象，在EMD分解信號中表現(xiàn)為兩端信號的發(fā)散，這種發(fā)散的結果會逐漸向內污染整個數(shù)據(jù)序列，從而產生失真效果，在后續(xù)的Hilbert變換中也會產生嚴重的端點效應。

在解決端點問題中，文獻[1]采用的是在端點增加數(shù)據(jù)點，使數(shù)據(jù)延長，目前大多數(shù)端點效應的抑制仍是對端點的延拓，如極值延拓法[3]、基于AR模型的時序線性預測法[4]等。文獻[5]提出基于支持向量機的邊界延拓方法，有效抑制了端點效應，該方法分以下步驟進行：(1)將原信號向兩端延拓；(2)將延拓后的信號EMD分解；(3)將分解后的各IMF分量舍去兩端超出原信號長度部分。由于前兩階分量頻率較高，取第3，4階IMF分量更為清晰；延拓前、后截取的IMF分量如圖2所示。由圖2b可以看出，兩端延拓后經EMD分解截取的IMF分量的兩端稍呈收斂，改善了端點效應問題。

圖2 IMF3與IMF4延拓前、后對比

2.2 模式混淆問題

模式混淆是指單一的IMF中包含完全不同頻率的多個成分，或同一頻率成分被分解到不同的IMF中,由于在經驗模態(tài)分解時，數(shù)據(jù)極值點的分布間隔不均勻，因而在極值點上會產生包絡線的擬合誤差，從而產生模式混淆。

文獻[6]利用噪聲提出了總體平均經驗模式分解(Ensemble EMD,EEMD)方法，利用高斯白噪聲具有頻率均勻分布的統(tǒng)計特性，在信號中加入高斯白噪聲,改變信號極值點的特性，再用總體平均方法抵消噪聲，使信號在不同尺度上具有連續(xù)性, 避免了由于IMF 的不連續(xù)性而造成的模式混淆現(xiàn)象。其分解過程為：

(1)在信號序列中加入高斯白噪聲序列;

(2)進行EMD分解得到IMF分量;

(3)每次加入相同幅值的不同高斯白噪聲序列, 重復(1)～(2)步;

(4)把得到的各IMF分量作總體平均得到最終的結果,即

式中：cj(t) 表示第j個IMF分量；i表示第i次分解；N為加入白噪聲次數(shù)。

由于加入了平均分布的高斯白噪聲，使得在IMF分解時能精確地獲得信號包絡線，能夠有效濾出高頻成分，獲得較平穩(wěn)的高階分量。軸承信號分別進行EMD和EEMD分解后的5，6階IMF分量如圖3所示，其中細線表示EMD分解的分量，粗線為EEMD分解的分量，在IMF6中可以明顯看出經EEMD分解得到的IMF分量更準確，有效改善了模式混淆問題。

3 HHT方法擴展

3.1 包絡譜方法

旋轉機械的故障診斷中，許多振動信號體現(xiàn)為調制信號，而調制信號的包絡集中攜帶了大量故障信息，基于EMD的包絡譜分析能夠為準確、迅速地判斷機械故障提供充分依據(jù)[5]。

基于EMD方法的包絡譜過程：

(1)對滾動軸承振動信號進行EMD分解；

(2)對前幾個IMF進行Hilbert變換

(9)

(3)進一步求出包絡信號

(10)

(4)對包絡信號進行譜分析得到包絡譜。

圖4、圖5為滾動軸承的前兩階固有模態(tài)函數(shù)的包絡譜，從中可以明顯看出滾動軸承內圈故障的特征頻率。

圖4 IMF1包絡圖

圖5 IMF2包絡圖

3.2 Hilbert邊際譜方法

Hilbert邊際譜是對Hilbert譜在時間軸上的積分，即對(8)式進行時間積分得到

(11)

由(11)式可以看出，Hilbert邊際譜為頻域特性曲線，從形式上相當于傳統(tǒng)的Fourier頻譜，但又不同于Fourier變換。在Fourier分析中，某一頻率處能量的存在，代表一個正弦或者余弦波在整個時間軸上存在；而邊際譜中某一頻率處能量的存在僅代表在整個時間軸上可能有這樣一個頻率在局部出現(xiàn)過，某一頻率幅值越大，說明這一頻率的可能性越大[7]。也就是說Fourier頻譜的幅值只能反映頻率在型號中存在的可能性，而HHT從物理意義上將信號分解成各個IMF分量，能真實地描繪頻率的存在，因此，邊際譜的幅值反映頻率是否存在。

圖6為軸承內圈故障的Hilbert邊際譜，從中可以明顯看出內圈故障特征頻率(164.1 Hz)。

圖6 Hilbert邊際譜

3.3 其他方法

除了包絡譜和邊際譜之外，還有許多基于HHT的變換方法，如分頻Hilbert-Huang變換方法、特征能量法[8]、基于EMD的奇異值分解方法[9]、基于EMD信號瞬時特征的小波分析方法[5]等，這些方法都可以彌補Hilbert-Huang變換理論的不足，并豐富其理論。

4 結束語

結合某軸承故障的實例，系統(tǒng)闡述了傳統(tǒng)Hilbert-Huang變換理論及其改進方法和擴展方法。結果表明，這些方法可以彌補Hilbert-Huang變換在實際應用中的不足和缺陷，在非平穩(wěn)信號的故障診斷中具有明顯的優(yōu)勢。