許恒迎，孫偉斌，張 霞，?；劬?，白成林＋

（1.聊城大學(xué) 物理科學(xué)與信息工程學(xué)院，山東 聊城252000；2.山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 聊城252000）

0 引 言

人工魚群算法（AFSA）是李曉磊博士提出的一種基于行為的新型人工智能算法［1］，通過模擬魚群的覓食、聚群、追尾、隨機(jī)等行為實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)，具有魯棒性強(qiáng)、全局收斂性好以及對(duì)初值選擇不敏感等特點(diǎn)，目前在傳感器網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、水質(zhì)參數(shù)識(shí)別、多用戶檢測(cè)器、參數(shù)優(yōu)化、路由選擇及組合優(yōu)化等多個(gè)工程領(lǐng)域已得到應(yīng)用并取得了良好效果［2－6］。許多研究學(xué)者針對(duì)人工魚群算法在運(yùn)行后期表現(xiàn)出的搜索盲目性較大、尋優(yōu)精度低、對(duì)于復(fù)雜問題易陷入局部極值等缺陷做出了改進(jìn)，如張梅鳳等提出了基于生境的人工魚群算法，較好解決了多峰問題，但步驟比較繁瑣［7］；劉彥君通過自適應(yīng)地改變?nèi)斯~的視野和步長(zhǎng)提高了尋優(yōu)精度，但是易陷入局部極值［8］；王聯(lián)國(guó)提出了全局版人工魚群算法，提高了運(yùn)算速度，但目標(biāo)的尋優(yōu)精度有待提高［9］。在這些學(xué)者研究成果的基礎(chǔ)上，針對(duì)AFSA尋優(yōu)精度差、易陷入局部極值和過早收斂的問題，本文提出了一種采用自適應(yīng)視野和步長(zhǎng)的局部鄰域人工魚群算法（local neighborhood artificial fish swarm algorithm，LNAFSA）。該算法采用了一種全新的局部鄰域結(jié)構(gòu)，每條人工魚只能與本鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)的其他5條鄰居魚相互交換信息。每次迭代前每條人工魚都要根據(jù)自身與其他5條鄰居魚的距離自適應(yīng)地計(jì)算視野和步長(zhǎng)，增強(qiáng)了魚群個(gè)體之間的差異性，簡(jiǎn)化了參數(shù)設(shè)定。在聚群行為中每條人工魚計(jì)算所在鄰域結(jié)構(gòu)的中心，減少了求視野范圍內(nèi)人工魚之間距離的計(jì)算量，追尾行為中則跟蹤所在鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)的最優(yōu)人工魚，由于采用了這種固定的鄰域結(jié)構(gòu)而無需判斷視野范圍內(nèi)哪條人工魚才是鄰居，算法迭代速度得以提高。經(jīng)6個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和1個(gè)光纖通信系統(tǒng)偏振模色散（PMD）補(bǔ)償?shù)墓こ虒?shí)例驗(yàn)證，表明該算法的尋優(yōu)精度和迭代速度均得到了較大改善，有效抑制了過早收斂現(xiàn)象。

1 基于自適應(yīng)視野和步長(zhǎng)的局部鄰域結(jié)構(gòu)人工魚群算法

1.1 全新的局部鄰域結(jié)構(gòu)

在AFSA中，假設(shè)第i條人工魚的狀態(tài)表示為向量Xi＝（x1，x2，…，xn），它的感知距離為Visual，移動(dòng)的步長(zhǎng)為Step，擁擠度因子為δ，第i條人工魚對(duì)應(yīng)的食物濃度為Y＝f（Xi），任意兩條人工魚i、j之間的距離定義為di，j＝‖Xi－Xj‖，則第i條人工魚的鄰域定義為N＝｛Xj｜di，j＜Visual｝，鄰居人工魚的數(shù)目為nf［1］。

文獻(xiàn)［1］指出人工魚的數(shù)目越多，收斂速度越快，但是迭代計(jì)算量越大，綜合考慮以上因素及測(cè)試函數(shù)的要求，人工魚的總數(shù)設(shè)定為20。受文獻(xiàn)［10］的啟發(fā)，我們使用模擬退火算法隨機(jī)地改變這20條人工魚之間的連接，并且將鄰居魚數(shù)目從1逐漸增加到10，這樣可以得到1300余種可能的局部鄰域結(jié)構(gòu)。采用Sphere、Rastrigin、Griewank、Rosernbrock、f6等5個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)測(cè)試并比較所有局部鄰域結(jié)構(gòu)的性能，發(fā)現(xiàn)鄰居魚數(shù)目為5時(shí)所需迭代次數(shù)最少并且迭代成功率可達(dá)到95%以上。圖1給出了LNAFSA算法采用的一種具有5條鄰居魚并且迭代成功率可以達(dá)到100%的鄰域結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D。在該結(jié)構(gòu)中，每條人工魚的生存環(huán)境位于6條人工魚（包含自身和5條鄰居人工魚）組成的空間結(jié)構(gòu)中，每條人工魚只能與其鄰居人工魚交換信息。

圖1 全新局部鄰域結(jié)構(gòu)的拓?fù)?/p>

圖1中每個(gè)圓圈代表一條人工魚，圓圈外的數(shù)字代表每條人工魚的編號(hào)，連線表示相連人工魚可以相互交換信息。這種鄰域結(jié)構(gòu)中每條人工魚的生存環(huán)境可用表1表示。

表1 每條人工魚的局部鄰域結(jié)構(gòu)

1.2 自適應(yīng)視野和步長(zhǎng)

在AFSA中，所有人工魚的視野Visual和步長(zhǎng)Step都是事先設(shè)定的固定值。這是兩個(gè)非常重要的參數(shù)，直接決定了尋優(yōu)結(jié)果的精度。如果視野和步長(zhǎng)較大，人工魚全局搜索能力強(qiáng)并能快速收斂，但在收斂后期不可避免的出現(xiàn)人工魚在最優(yōu)值附近來回振蕩的現(xiàn)象；如果視野和步長(zhǎng)較小，人工魚收斂速度變慢，可以提高收斂精度，但在局部極值突出的情況下，很容易陷入局部極值而難以逃離。因此，有必要使視野和步長(zhǎng)隨著迭代的進(jìn)行能夠自適應(yīng)地調(diào)整。

現(xiàn)在每條人工魚已處于表1所示的局部鄰域結(jié)構(gòu)中，每次迭代前，第i條人工魚均要計(jì)算與其他5條鄰居人工魚的距離，取平均值后乘以限制因子K1及函數(shù)α（t）后再加上視野常量Visualmin，作為該人工魚當(dāng)前的自適應(yīng)視野Visuali；將Visuali乘以1/8及α（t）后再加上步長(zhǎng)常量Stepmin，作為該人工魚當(dāng)前的自適應(yīng)步長(zhǎng)Stepi。計(jì)算公式為

式（1）中，限制因子K1是在0～1之間的常數(shù)，它的取值與函數(shù)自變量搜索的范圍及維數(shù)有關(guān)。α（t）決定了視野、步長(zhǎng)與迭代次數(shù)的變化關(guān)系［11］。Visualmin和Stepmin的主要作用是防止算法在運(yùn)行后期與其他5條鄰居人工魚的平均距離無限接近0時(shí)出現(xiàn)停止收斂的現(xiàn)象。α（t）中K2為限制因子，TotalIter是一迭代總次數(shù)常量，因此α（t）是一個(gè)隨迭代次數(shù)t的增大而逐漸減小的函數(shù)。

1.3 基于局部鄰域結(jié)構(gòu)的人工魚行為描述

1.3.1 聚群行為

假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻第i條人工魚的狀態(tài)為Xi＝（x1，x2，…，xn），且第i條人工魚所在鄰域結(jié)構(gòu)的中心位置Centeri＝（center1，center2，…centerk，…，centern），每一分量centerk的計(jì)算公式為

式中：m——第i條人工魚鄰域結(jié)構(gòu)的每條鄰居人工魚，AFNeighbori——第i條人工魚所在的鄰域結(jié)構(gòu)（包括自身）。假設(shè)中心位置Xc對(duì)應(yīng)的食物濃度Yc＝f（Xc），如果Yc/nf＞δ＊Yi（對(duì)應(yīng)求極大問題，極小問題為 Yc/nf＜δ＊Yi），說明Centeri處食物濃度更高且可容納下自身，則第i條人工魚朝Centeri位置前進(jìn)一步，下一時(shí)刻位置分量xinextk按式（3）計(jì)算，否則根據(jù)下文所述的行為選擇策略執(zhí)行追尾或覓食行為

式中：rand（）—— 一個(gè)0到1之間的隨機(jī)實(shí)數(shù)，Stepi——當(dāng)前迭代第i條人工魚的步長(zhǎng)。

1.3.2 追尾行為

遍歷第i條人工魚所處的局部鄰域結(jié)構(gòu)，找到本鄰域內(nèi)最優(yōu)人工魚，假設(shè)其狀態(tài)為AFlocalbest，這條最優(yōu)人工魚對(duì)應(yīng)的食物濃度為L(zhǎng)ocalbest。如果Localbest/nf＞δ＊Yi（對(duì)應(yīng)求極大問題，極小問題為L(zhǎng)ocalbest/nf＜δ＊Yi），說明鄰域內(nèi)的最優(yōu)人工魚AFlocalbest處更優(yōu)且可容納下自身，則第i條人工魚朝AFlocalbest的方向前進(jìn)一步，下一時(shí)刻位置分量xinextk按式（4）計(jì)算，否則根據(jù)下文所述的行為選擇策略執(zhí)行聚群或覓食行為

式中：AFlocalbestk——第i條人工魚所在局部鄰域內(nèi)最優(yōu)人工魚對(duì)應(yīng)的位置分量。

1.3.3 覓食行為

當(dāng)前迭代第i條人工魚的視野為Visuali，則第i條人工魚在［－Visuali，Visuali］范圍內(nèi)隨機(jī)巡視得到一個(gè)狀態(tài)Xrand，設(shè)定此狀態(tài)下的食物濃度為Yrand。如果它們各自對(duì)應(yīng)的食物濃度Yrand＞Yi（對(duì)應(yīng)求極大問題，極小問題為Yrand＜Yi），為加快尋優(yōu)速度，第i條人工魚直接移動(dòng)到該位置。若將以上過程嘗試進(jìn)行了try＿number次后仍未發(fā)現(xiàn)更高的食物濃度，則第i條人工魚在［－Stepi，Stepi］范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一值作為下一時(shí)刻游動(dòng)時(shí)的位置增量。

1.3.4 行為選擇

因人工魚的行為種類較多，下一時(shí)刻具體執(zhí)行哪種行為需依據(jù)具體處理問題的不同而選擇不同的行為選擇策略。本文采用的是進(jìn)步即可原則［11］，即首先執(zhí)行聚群行為，若未發(fā)現(xiàn)更高食物濃度則執(zhí)行覓食行為，如果仍未發(fā)現(xiàn)更優(yōu)值則執(zhí)行追尾行為，最后若依然未發(fā)現(xiàn)更高食物濃度則執(zhí)行覓食行為。

1.3.5 公告板

在尋優(yōu)過程中，每條人工魚每次行為（如聚群、覓食、追尾或隨機(jī)行為）完畢就將自身狀態(tài)與公告板的狀態(tài)進(jìn)行比較，優(yōu)則替換公告板上的記錄。最后，算法根據(jù)公告板的記錄得到最終的尋優(yōu)結(jié)果。

1.3.6 算法流程

步驟1 設(shè)定人工魚群規(guī)模、每條人工魚所在的局部鄰域結(jié)構(gòu)AFNeighbor、擁擠度δ、覓食行為中重復(fù)嘗試次數(shù)try＿number、限制因子K1和K2、最大迭代次數(shù)等參數(shù)。

步驟2 在搜索空間內(nèi)隨機(jī)初始化每條人工魚的位置，計(jì)算此時(shí)每條人工魚的食物濃度（即對(duì)應(yīng)的函數(shù)值），并與公告板的狀態(tài)比較，優(yōu)則替換。

步驟3 根據(jù)式（1）自適應(yīng)調(diào)整此次迭代每條人工魚的視野和步長(zhǎng)。

步驟4 每條人工魚在局部鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)按照上述進(jìn)步即可原則執(zhí)行各種行為，每條人工魚的位置和公告板狀態(tài)也隨之進(jìn)行更新。

步驟5 判斷迭代次數(shù)是否達(dá)到預(yù)定最大迭代次數(shù)或?qū)ふ业降淖顑?yōu)值是否滿足精度要求。若條件滿足，則輸出最優(yōu)值，算法終止；否則返回步驟3，繼續(xù)下一次迭代。

2 收斂分析

一種算法具備全局收斂性的充要條件是：

（1）具備局部收斂性；

（2）提供從局部最優(yōu)解狀態(tài)向其他未被搜索空間轉(zhuǎn)移的方法；

（3）提供搜索整個(gè)狀態(tài)空間的策略［12］。以下討論LNAFSA算法滿足這樣3個(gè)條件：

對(duì)于條件（1）：第i條人工魚在執(zhí)行聚群或追尾行為時(shí)，如果在AFNeighbori的中心位置或在AFNeighbori內(nèi)最優(yōu)人工魚處發(fā)現(xiàn)更優(yōu)值并且不太擁擠，則朝其前進(jìn)一步，這種策略可以保證經(jīng)過一定次數(shù)的迭代后第i條人工魚在本鄰域內(nèi)找到局部最優(yōu)值，顯然具備局部收斂性。如果第i條人工魚執(zhí)行覓食行為，由覓食行為的定義可知，第i條人工魚總要朝更優(yōu)方向前進(jìn)，保證了局部收斂。因此，滿足條件（1）。

對(duì)于條件（2）：每條人工魚的生存環(huán)境位于自身和5條鄰居人工魚組成的局部鄰域結(jié)構(gòu)中，每條人工魚只能與其鄰域交換信息。這種全新的局部鄰域結(jié)構(gòu)可以有效提升人工魚群算法的性能。如果某條人工魚陷入了局部極值，影響的范圍也僅僅是本鄰域結(jié)構(gòu)，可以依靠本鄰域內(nèi)其它5條人工魚發(fā)現(xiàn)的更優(yōu)值吸引其快速“逃離”陷入的局部極值，向其他未被搜索的空間游動(dòng)。如果某條人工魚發(fā)現(xiàn)了更優(yōu)值，既可以直接將這一信息與本鄰域內(nèi)的其余5條人工魚分享，又可以通過鄰域結(jié)構(gòu)的重疊性逐漸傳播到整個(gè)群體。因此，LNAFSA算法采用的這種局部鄰域結(jié)構(gòu)既具有局部性又具有全局性，滿足條件（2）。

對(duì)于條件（3）：LNAFSA算法初始化時(shí)，所有人工魚隨機(jī)地均勻分布在函數(shù)的搜索空間中，對(duì)應(yīng)局部鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)與其他5條人工魚的距離平均值較大，按照式（1）每條人工魚均具有較大的視野和步長(zhǎng)，可以搜索整個(gè)狀態(tài)空間，從而加強(qiáng)了全局搜索能力。隨著迭代次數(shù)的增加，每條人工魚都有向最優(yōu)值方向游動(dòng)的趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)所在鄰域內(nèi)與其他5條人工魚的平均距離逐漸減小，按式（1）逐漸減小它的視野和步長(zhǎng)。在迭代后期，當(dāng)人工魚游動(dòng)至最優(yōu)值附近時(shí)，其視野和步長(zhǎng)將降低至非常小便于實(shí)現(xiàn)局部區(qū)域的精細(xì)搜索。每次迭代時(shí)每條人工魚通過平均距離計(jì)算得到的視野和步長(zhǎng)均不同，賦予了人工魚更多的智能。因此，這種方法實(shí)現(xiàn)了視野和步長(zhǎng)的自適應(yīng)調(diào)整，兼顧了收斂速度和尋優(yōu)精度，在加強(qiáng)局部搜索能力的同時(shí)又提高了目標(biāo)精度，滿足條件（3）。

因此，LNAFSA算法具備全局收斂性。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在Matlab R2006b環(huán)境下，機(jī)器主頻為Intel Core2 2GHz，內(nèi)存為1GB。選取6個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：

（5）Rotated hyper－ellipsoid Function：f5（x）＝，它是一個(gè)病態(tài)的高維單峰函數(shù)，在xi＝0i＝1，2，…n時(shí)達(dá)到全局最小值，最優(yōu)值為0。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

人工魚群規(guī)模為20，覓食行為中重復(fù)嘗試次數(shù)try＿number＝5。其余參數(shù)設(shè)置見表2。

表2 算法的參數(shù)設(shè)置

設(shè)定f1～f4的維數(shù)均為30維，f5為5維，f6為2維，對(duì)于每一測(cè)試函數(shù)算法均獨(dú)立運(yùn)行50次，其中每次迭代循環(huán)2000次，記錄這50次運(yùn)行所得結(jié)果的最好值、最劣值、均值、標(biāo)準(zhǔn)差、達(dá)到目標(biāo)精度時(shí)所用的最大、最小及平均迭代次數(shù)以及每次迭代的平均運(yùn)行時(shí)間，以這些數(shù)據(jù)作為衡量算法性能的指標(biāo)［8－9，11，14］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3和圖2～圖7所示。

表3中“—”表示迭代次數(shù)超過了最大迭代次數(shù)2000，意味著算法尋優(yōu)的最終結(jié)果沒有達(dá)到規(guī)定的目標(biāo)精度［9，14］。由表3可以看出，LNAFSA的尋優(yōu)結(jié)果明顯好于AFSA，并且這種算法的穩(wěn)定性更好。以表2規(guī)定的目標(biāo)優(yōu)化精度作為衡量指標(biāo)，由測(cè)試結(jié)果可知：AFSA對(duì)于函數(shù)f650次內(nèi)有27次優(yōu)化至目標(biāo)精度內(nèi)，具有一定的優(yōu)化能力，對(duì)于函數(shù)f1～f5則完全不能優(yōu)化；而LNAFSA對(duì)6個(gè)測(cè)試函數(shù)均能尋優(yōu)至目標(biāo)精度內(nèi)，都成功實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化，平均迭代次數(shù)最多是1194次，并且它的平均運(yùn)行時(shí)間更短，大約為AFSA的1/3。

圖2～圖7是分別采用LNAFSA和AFSA對(duì)函數(shù)f1～f6運(yùn)行50次后得到的每次迭代平均最優(yōu)值的進(jìn)化曲線。為方便對(duì)比，f1～f5的全局最優(yōu)值分別取自然對(duì)數(shù)，f6每次的尋優(yōu)結(jié)果均為負(fù)值，故圖7采用了f6每次迭代后的全局最優(yōu)值。從圖2～圖7可以看出，LNAFSA具有很強(qiáng)的克服局部極值的能力，收斂速度快，尋優(yōu)精度更高，明顯優(yōu)于AFSA。

表3 AFSA與LNAFSA算法優(yōu)化結(jié)果

3.3 與參考文獻(xiàn)中改進(jìn)算法的優(yōu)化性能比較

選取文獻(xiàn)［9，13，14］共有的測(cè)試函數(shù)f1與f3，設(shè)定f1與f3的維數(shù)分別為10、20和30，相應(yīng)迭代循環(huán)次數(shù)分別設(shè)置為1000次、1500次和2000次，LNAFSA在f110維時(shí)K1取1/10，20維時(shí)K1取1/15，對(duì)于f310維和20維的K1均取1/20，其他參數(shù)同上。每個(gè)函數(shù)進(jìn)行50次實(shí)驗(yàn)，取全局最優(yōu)值的平均值，與文獻(xiàn)［13］中改進(jìn)型粒子群算法優(yōu)化結(jié)果、文獻(xiàn)［9］全局版人工魚群算法及文獻(xiàn)［14］基于馮諾依曼結(jié)構(gòu)的人工魚群算法結(jié)果進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表4。

表4 與參考文獻(xiàn)中改進(jìn)算法的優(yōu)化結(jié)果比較

通過表4可以看出，LNAFSA對(duì)于函數(shù)f1和f3的優(yōu)化結(jié)果全面優(yōu)于IPSO、GAFSA和AFSAVNN。因此，這種算法的優(yōu)化性能更好。

3.4 實(shí)例測(cè)試

本文利用LNAFSA進(jìn)行40Gb/s光纖通信系統(tǒng)二階偏振模色散（PMD）補(bǔ)償，并與文獻(xiàn)［15］中應(yīng)用單純形算法和遺傳算法的結(jié)果進(jìn)行了比較，進(jìn)一步檢驗(yàn)算法的優(yōu)化性能。

LNAFSA的參數(shù)設(shè)置為視野最小值Visualmin＝0.001，步長(zhǎng)最小值Stepmin＝0.0002，重復(fù)嘗試次數(shù)try＿number＝5，擁擠度因子δ＝0.5，最大迭代次數(shù)TotalIter＝50。該實(shí)例測(cè)試以光纖鏈路偏振度（DOP）作為目標(biāo)函數(shù)值，理論上完全進(jìn)行二階PMD補(bǔ)償后DOP值應(yīng)為1，測(cè)試結(jié)果見表5。

表5 與單純形算法和遺傳算法的二階PMD補(bǔ)償結(jié)果比較

由表5可以看出，LNAFSA得到的最小、最大和平均目標(biāo)函數(shù)值均優(yōu)于單純形算法和遺傳算法，該算法可有效解決此類工程問題。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)AFSA尋優(yōu)精度差、易陷入局部極值和過早收斂的問題，提出了基于自適應(yīng)視野和步長(zhǎng)的局部鄰域人工魚群算法。該算法具有兩個(gè)主要的優(yōu)點(diǎn)：一是采用了全新的局部鄰域結(jié)構(gòu)，使得人工魚能夠快速逃離局部極值，克服了基本人工魚群算法容易過早收斂的缺陷，提高了算法的全局尋優(yōu)能力；二是每條人工魚采用了基于本鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)平均距離的自適應(yīng)視野和步長(zhǎng)，達(dá)到了視野和步長(zhǎng)自適應(yīng)調(diào)整的目的，使算法具備了更多的人工智能，實(shí)現(xiàn)了收斂速度和尋優(yōu)精度的雙贏。仿真結(jié)果表明，這是一種簡(jiǎn)單、高效的人工魚群算法。

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