萬(wàn)優(yōu)艷

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

一類臨界指數(shù)增長(zhǎng)的橢圓型方程組正解的存在性

萬(wàn)優(yōu)艷

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

研究了一類臨界指數(shù)增長(zhǎng)的橢圓型方程組。通過(guò)變分法，得到方程組的能量泛函在零點(diǎn)附近的局部極小值點(diǎn)的存在性，且該極小值點(diǎn)為方程組的正解。證明了當(dāng)方程組的擾動(dòng)項(xiàng)趨于零時(shí)，方程組的正解也趨于零。

臨界指數(shù)；橢圓型方程組；正解

0 引言

考慮下列臨界指數(shù)增長(zhǎng)的橢圓型方程組：

其中Ω是RN（N=3）中光滑有界區(qū)域，α＞2，β＞且f（x），g（x）滿足：（A1）f（x），g（x）∈H-1（Ω），且f（x）≥0，g（x）≥0。

由文獻(xiàn)[1］可知，當(dāng)Ω是RN中的有界星形區(qū)域時(shí)，帶臨界指數(shù)增長(zhǎng)的橢圓型方程

是無(wú)解的。但當(dāng)方程（2）中出現(xiàn)位勢(shì)和擾動(dòng)項(xiàng)且當(dāng)位勢(shì)和擾動(dòng)項(xiàng)滿足一定條件時(shí)，方程（2）存在解[2］。Adachi和Tanaka[3］證明了RN中次臨界方程當(dāng)出現(xiàn)擾動(dòng)項(xiàng)且擾動(dòng)項(xiàng)滿足一定條件時(shí)正解的存在性。Benci和Cerami[4］研究得到RN中臨界方程出現(xiàn)位勢(shì)且位勢(shì)滿足一定條件時(shí)正解的存在性。

對(duì)于方程組（1），Alves等[5］研究得到：當(dāng)Ω是RN中的有界星形區(qū)域且方程組（1）的位勢(shì)與擾動(dòng)項(xiàng)f（x）和g（x）都為零時(shí)，方程組（1）無(wú)解。

受單個(gè)方程（2）研究結(jié)果的啟發(fā)，本文討論當(dāng)位勢(shì)為常數(shù)1且擾動(dòng)項(xiàng)滿足條件（A1）時(shí)，方程組（1）正解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

記E為Sobolev空間該空間的范數(shù)定義為

記＜·，·＞E為該空間的內(nèi)積。記E*為E的對(duì)偶空間H-1（Ω）×H-1（Ω）。 令

根據(jù)文獻(xiàn)[5］中的定理5，有

定義泛函I（u，v）：E→R，

引理1 假設(shè)（f（x），g（x））∈E*，那么

（i）I（u，v）∈C2（E，R），并且任給（φ，φ）∈E，有

（ii）如果f（x）和g（x）都是非負(fù)函數(shù)，（u，v）∈E是I（u，v）的一個(gè)臨界點(diǎn)，那么（u，v）是方程組（1）的一個(gè)非負(fù)解。此外，如果u（x）?0，v（x）?0或者f（x）?0，g（x）?0，那么（u，v）是方程組（1）的一個(gè)正解。

證明（i）證明方法見(jiàn)文獻(xiàn)[1］中性質(zhì)1.12。

（ii）假設(shè)（u，v）∈E滿足I′（u，v）=0。由（4）式知，任給（φ，φ）∈E，有

于是u-=0 a.e.Ω且v-=0 a.e.Ω，即u≥0，v≥0。如果u（x）?0，v（x）?0或者f（x）?0，g（x）?0，由強(qiáng)極值原理可得u和v在Ω中是正的。

引理2 假設(shè)（f（x），g（x））∈E*，那么存在r1＞0和d1＞0，使得

（i）I（u，v）在r1｝是嚴(yán)格凸的；

證明（i）由（5）式和Sα，β，Sα+β的定義可知，任給（φ，φ）∈E，有

因此，I″（u，v）在（u，v）∈B（r1）中是正定的，I（u，v）在B（r1）中是嚴(yán)格凸的。

證明因（uloc（x），vloc（x））是I（u，v）的臨界點(diǎn)，所以任給（φ，φ）∈E，都有

即

2 主要結(jié)果

證明由引理1、引理2和引理3可得證。

[1］Willem M.Minimax theorems[M］.Basel：Birkh?user，1996.

[2］Wan Y，Yang J.Multiple solutions for inhomogeneous critical semilinear elliptic problems[J］.Nonlinear Analysis，2008，68：2569-2593.

[3］Adachi S，Tanaka K.Four positive solutions for the semilinear elliptic equation：-Δu+u=a（x）up+f（x）inRN[J］.Calculus of Variations and Partial Differential Equations，2000，11：63-95.

[4］Benci V，Cerami G.Existence of positive solutions of the equationJ of Funct Anal，1990，88：90-117.

[5］Alves C O，de Morais Filho D C，Souto M A S.On systems of elliptic equations invbolving subcritical or critical sobolev exponents[J］.Nonlinear Analysis，2000，42：771-787.

WAN You-yan
（School of Mathematics and Computer Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

This paper studies an elliptic system involving Sobolev critical exponent.By the variational methods，we can obtain the existence of local minimum point of the energy functional related to the system which is near zero，and the local minimum point is the positive solution to this system.Moreover，It is also proved that this positive solution tends to zero when the perturbed term goes to zero.

critical exponent；elliptic system；positive solution

O175.25

：A

：1673-0143（2012）03-0012-03

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012-04-05

萬(wàn)優(yōu)艷 （1975—），女，副教授，博士，研究方向：橢圓型偏微分方程。