劉佳瑞

一、實(shí)變函數(shù)課程現(xiàn)狀

工科院校數(shù)學(xué)系一般在大三上半學(xué)期開(kāi)始實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)。該課程是數(shù)學(xué)系的一門必修課，它以抽象的語(yǔ)言奠定了近代數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化基礎(chǔ)，主要研究集合論、函數(shù)的連續(xù)性、可測(cè)性、可微性和積分理論，研究對(duì)象是更為廣泛的函數(shù)，它是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)以后學(xué)習(xí)泛函分析、概率論、復(fù)變函數(shù)、動(dòng)力系統(tǒng)等數(shù)學(xué)專業(yè)課非常有幫助。實(shí)變函數(shù)是研究生階段學(xué)習(xí)索伯列夫空間理論、動(dòng)力系統(tǒng)的遍歷理論以及調(diào)和分析、現(xiàn)代幾何分析等課程和專業(yè)的基礎(chǔ)，也是信息和圖像處理、編碼學(xué)等其他專業(yè)的基礎(chǔ)。

一般工科院校采用的教材是張曉嵐編著的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析簡(jiǎn)明教程》，該教材內(nèi)容簡(jiǎn)練，附錄中介紹了相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展簡(jiǎn)史，有助于學(xué)生理解書的內(nèi)容。我們一般用6 4學(xué)時(shí)講授實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容，在如此短的學(xué)時(shí)中，要想完全掌握是有相當(dāng)難度的。在教學(xué)過(guò)程中，講授大多采用定義、定理的公式化形式，節(jié)奏比較快。其次，由于課程改革的原因，數(shù)學(xué)分析等基礎(chǔ)課程內(nèi)容縮水，再加上許多工科院校偏應(yīng)用數(shù)學(xué)，對(duì)基礎(chǔ)學(xué)科的很多課程重視程度不夠，過(guò)分依賴現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)，忽略一些重要的基礎(chǔ)課程和基本定理，很多學(xué)生沒(méi)有對(duì)微積分的實(shí)質(zhì)進(jìn)行充分的理解，對(duì)積分和可測(cè)等概念理解起來(lái)有困難，面對(duì)眾多構(gòu)造性的習(xí)題感覺(jué)難度很大。因此，大部分學(xué)生覺(jué)得該門課程極其抽象、晦澀難懂，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中知難而退，缺乏積極專研的精神，導(dǎo)致成績(jī)出現(xiàn)了兩極分化的現(xiàn)象。

二、實(shí)變函數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題

（一）從宏觀上把握實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容

“實(shí)變函數(shù)”，顧名思義就是以實(shí)數(shù)為變量的函數(shù)，主要研究恰當(dāng)?shù)母脑旆e分定義使得更多的函數(shù)可積。例如，形式極為簡(jiǎn)單的D（x）函數(shù)，利用Riemann 積分的定義它是不可積的，而本課程創(chuàng)立了一種新的積分理論———Lebesgue積分，按照Lebesgue積分的理論D（x）是可積的，從而使得積分的操作性更加靈活。那么，Lebesgue 積分的思想到底是什么？此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶《數(shù)學(xué)分析》中的Riemann 積分，積分區(qū)間、被積函數(shù)具有什么特征，哪些函數(shù)是R 可積的，為什么這些函數(shù)是R 可積的，進(jìn)而總結(jié)出Riemann 的積分思想，即必須使得在劃分定義域區(qū)間[a,b]后，函數(shù)f （x）在多數(shù)小區(qū)間Δxi 上的振幅能足夠的小，這就迫使激烈震蕩的函數(shù)被排除在可積函數(shù)類外。例如，函數(shù)D（x）在任意小的區(qū)間上的振幅都不可能足夠的小。那么，怎樣才能使震蕩激烈的這些函數(shù)也可積呢？我們啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)變一種劃分的方法，即由劃分函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)變?yōu)閯澐趾瘮?shù)的值域，從而限制函數(shù)值變動(dòng)的振幅，也就是按照函數(shù)值的大小歸類，將振幅小的函數(shù)值放在一起。Lebesgue 對(duì)他的這一設(shè)計(jì)有生動(dòng)的比喻：假如我欠了人家許多錢，現(xiàn)在要?dú)w還，此時(shí)，應(yīng)先按照鈔票的票面值的大小分類，再計(jì)算每一類的面額總值，然后再相加，這就是我的積分思想。如果不管面值的大小如何，而是按某種先后次序來(lái)計(jì)算總數(shù)，那就是Riemann 積分的思想。

通過(guò)宏觀介紹Lebesgue積分思想，使學(xué)生體會(huì)為什么要學(xué)習(xí)這門課程，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)，迫切的想知道“如何計(jì)算Lebesgue積分”。我們用啟發(fā)、引導(dǎo)的教學(xué)方法，以函數(shù)D（x）為例作進(jìn)一步的闡述。把函數(shù)值為1的有理點(diǎn)分在一起，將函數(shù)值為0的無(wú)理點(diǎn)分在一起，就保證了振幅足夠小，但是分割值域后所對(duì)應(yīng)的定義域中的集合分別為[0,1]的有理數(shù)、無(wú)理數(shù)。此時(shí)，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)集合很不規(guī)則，那么這些集合是否可測(cè)量？如果可測(cè)量的話，如何度量這些不規(guī)則集合的“長(zhǎng)度”呢？這是我們第二章所學(xué)的內(nèi)容。上述問(wèn)題能否解決，與所給的函數(shù)y=f（x）的性質(zhì)有關(guān)，從而定義了可測(cè)函數(shù)，這是第三章所學(xué)的內(nèi)容。這樣就形成了測(cè)度—可測(cè)函數(shù)—Lebesgue積分這樣一個(gè)系統(tǒng)。通過(guò)這樣宏觀的介紹，學(xué)生清楚了本課程的整體脈絡(luò)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

（二）掌握好基本概念，深刻理解基本定理的證明思想

實(shí)變函數(shù)課程當(dāng)中概念非常多，且大多比較抽象，但是最基本的概念和最重要的定理的證明思想一旦把握，該課程學(xué)習(xí)起來(lái)就變得相對(duì)容易和有章可循。比如，在講集合的勢(shì)的概念的時(shí)候，通過(guò)簡(jiǎn)單的奇數(shù)偶數(shù)個(gè)數(shù)的多少來(lái)引入和理解概念，把自然數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的勢(shì)分別作為最基本的單元，其它的集合的勢(shì)類比上述集合理解，則集合的勢(shì)的概念變的立體鮮明起來(lái)。集合的勢(shì)的核心思想就是一一對(duì)應(yīng)，掌握了這一基本思想，在證明各類集合的勢(shì)的關(guān)系的時(shí)候就有章可循了。

（三）根據(jù)本課程的特點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生采取恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法

《實(shí)變函數(shù)》課程內(nèi)容高度抽象，理論性強(qiáng)，定義、定理、證明非常多，只在第四章有少量計(jì)算Lebesgue積分的題目。在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程的時(shí)候，學(xué)生最頭疼的就是證明題，常常感到無(wú)從下手，老師也弱化了對(duì)學(xué)生證明能力的培養(yǎng)。然而，這種能力在本課程中將得到很好的鍛煉。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們以提問(wèn)的方式讓學(xué)生從思想上感知該課程的特點(diǎn)。例如，自然數(shù)與正偶數(shù)哪個(gè)多？按照之前直觀的想法大家會(huì)認(rèn)為自然數(shù)多，其實(shí)這兩個(gè)集合中的元素一樣多，因?yàn)樵趦蓚€(gè)集合之間可以建立一一映射，用類似的方法我們還可以得出兩個(gè)同心圓上的點(diǎn)一樣多等等。因此，在學(xué)習(xí)本課程的時(shí)候，學(xué)生首先要轉(zhuǎn)變思維方式。其次，本課程的語(yǔ)言相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)練、嚴(yán)謹(jǐn)，可以說(shuō)課本內(nèi)容中沒(méi)有一句廢話，若對(duì)定理內(nèi)容稍作修改得到的結(jié)論有可能大相徑庭。因此，對(duì)于每一個(gè)未證明的結(jié)論都應(yīng)該持謹(jǐn)慎的態(tài)度，不能簡(jiǎn)單類比后就盲目得出結(jié)論。同時(shí)對(duì)每一個(gè)已知結(jié)論不應(yīng)僅是記住，更重要的是理解其證明，并且借鑒其證明方法。例如證明一個(gè)集合是可數(shù)集等等。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的時(shí)候，應(yīng)該多問(wèn)幾個(gè)為什么？對(duì)于每一個(gè)證明過(guò)程都應(yīng)該清楚支撐它成立的理論依據(jù)，切忌想當(dāng)然。

（四）與數(shù)學(xué)分析進(jìn)行類比的學(xué)習(xí)

《實(shí)變函數(shù)》是《數(shù)學(xué)分析》的深化和擴(kuò)展，是在更廣闊的背景下來(lái)討論微積分的課題。因此，在學(xué)習(xí)類似概念的時(shí)候要注意它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如，幾乎處處成立、基本成立，可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂，以及積分的極限定理等，特別是一致收斂、依測(cè)度收斂的概念等數(shù)學(xué)分析當(dāng)中已有部分例子，理解好上述例子后，在實(shí)變函數(shù)課程當(dāng)中的定義證明就變得相當(dāng)明了和直觀。同時(shí)建議學(xué)生通過(guò)比較的方法來(lái)學(xué)習(xí)Lebesgue積分的定義、性質(zhì)，最后歸納出與Riemann積分的異同，以及二者之間的關(guān)系。同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)變函數(shù)里也有重積分、累次積分、變上限積分求導(dǎo)以及微積分基本公式等內(nèi)容，理解他們就變得相對(duì)容易起來(lái)。

（五）加強(qiáng)反例教學(xué)，深刻理解主要定理

實(shí)變函數(shù)里許多命題和結(jié)論的條件性都非常強(qiáng)，稍微變換條件對(duì)結(jié)論就有非常大的影響，嘗試舉反例對(duì)提高數(shù)學(xué)思維和揣摩定理內(nèi)涵有非常大的益處，可以發(fā)現(xiàn)哪些條件是必須的，起著什么樣的作用，為改進(jìn)前人的結(jié)果和發(fā)現(xiàn)新的定理和證明提供好的思路和方法。比如，找出一個(gè)函數(shù)不連續(xù)但其平方連續(xù)的例子，構(gòu)造直線上的不可測(cè)集合非正則的波爾測(cè)度等等。

（六）多動(dòng)手，多做習(xí)題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)特別是學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程，習(xí)題環(huán)節(jié)是個(gè)必不可少的。通過(guò)做題能夠加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，通過(guò)大量的習(xí)題加快做題的熟練程度和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。許多著名數(shù)學(xué)家年輕的時(shí)候都做了大量的習(xí)題，比如著名數(shù)學(xué)家田剛在讀本科時(shí)，就已經(jīng)把吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集演算了一遍，打下了堅(jiān)實(shí)的分析基礎(chǔ)。

三、相關(guān)建議

（一）合理安排課程設(shè)置，加強(qiáng)基礎(chǔ)課程教學(xué)

進(jìn)一步加強(qiáng)基礎(chǔ)課程，尤其是《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)，許多工科院校大幅壓縮數(shù)學(xué)分析的授課內(nèi)容和要求，導(dǎo)致理解實(shí)變函數(shù)有很大的困難。在講授函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性、積分理論方面多下功夫，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解集合、極限等概念，熟練掌握有關(guān)積分的本質(zhì)描述和刻畫，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)》打下良好的基礎(chǔ)。在課程設(shè)置時(shí)適當(dāng)增加學(xué)時(shí)，便于同學(xué)們理解如此抽象的內(nèi)容和知識(shí)。

（二）適當(dāng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)史方面的介紹，提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情

實(shí)變函數(shù)本身內(nèi)容有些枯燥，但是若能在課堂教學(xué)中穿插一些數(shù)學(xué)典故、名人故事和一些定理證明的來(lái)龍去脈的講授，能大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如我們?cè)谥v授實(shí)變函數(shù)的產(chǎn)生的時(shí)候，就從如下的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)始討論：連續(xù)函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)以外是可微的是否正確？維爾斯特拉斯就構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)并且證明了這個(gè)函數(shù)在任何一點(diǎn)都不可導(dǎo)，這個(gè)結(jié)論促使人們研究函數(shù)的更多性質(zhì)，哪些函數(shù)是連續(xù)的，哪些函數(shù)是可導(dǎo)的，哪些函數(shù)是可以積分的，是否要修改積分的定義等等，這就促使了實(shí)變函數(shù)的誕生。也可以在講授積分內(nèi)容的時(shí)候引入勒貝格和黎曼的一些經(jīng)典典故來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）酌情加強(qiáng)數(shù)學(xué)前沿學(xué)科內(nèi)容講授，讓學(xué)生明白學(xué)有所用

實(shí)變函數(shù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿密切相關(guān)，酌情增加部分內(nèi)容讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)目的所在。比如在講授康托集的時(shí)候，可以提問(wèn)我國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)，雪花的周長(zhǎng)等于多少等系列問(wèn)題，進(jìn)一步引出維數(shù)是否都是整數(shù)，如何描述測(cè)量時(shí)的尺度等引出法國(guó)數(shù)學(xué)家芒德勃羅所開(kāi)創(chuàng)的現(xiàn)代非常流行的現(xiàn)代分形幾何學(xué)。在描述測(cè)度和積分的時(shí)候，可以引入隨機(jī)測(cè)度和伊藤積分等內(nèi)容，而隨機(jī)微分方程是現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的一個(gè)十分重要的工具，利用它可以建立期貨、股票、債卷等金融衍生工具的研發(fā)模型，預(yù)測(cè)一些重要的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)和走向。在討論空間理論時(shí)，可以引出索伯列夫空間理論，通過(guò)構(gòu)造合適的空間并建立相應(yīng)的完備化理論，簡(jiǎn)單介紹山路引理等現(xiàn)代變分理論在研究哈密頓系統(tǒng)周期解方面取得的進(jìn)展。

（四）加強(qiáng)習(xí)題課的設(shè)置和師生間的交流與溝通

在講授完定理的證明后，應(yīng)該有針對(duì)性的設(shè)計(jì)一些能反應(yīng)實(shí)變函數(shù)思想和特色的習(xí)題來(lái)幫助理解相關(guān)內(nèi)容，同學(xué)們?cè)谒伎嫉倪^(guò)程當(dāng)中充分理解原來(lái)定理的深刻內(nèi)涵。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中多讀、多看、多思考，同時(shí)，注重作業(yè)的完成質(zhì)量。遇到困難要及時(shí)與老師、同學(xué)溝通，以免積累的問(wèn)題過(guò)多，喪失學(xué)習(xí)的信心。

［1］張曉嵐.實(shí)變函數(shù)與泛函分析簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

［2］周明強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001.

［3］陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：北京高等教育出版社，2006.