一類向量考題的快速解法初探

☉江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 吳海軍 邱紅英

從近幾年的各省高考中向量的考題來(lái)看，對(duì)向量的考查主要集中在判斷三角形的形狀，判斷點(diǎn)所處的位置，判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用其幾何意義解題等方面，盡管常以小題形式出現(xiàn)，但往往讓考生們無(wú)從下手，可見其重要地位.

這里我們來(lái)探討一下2008年浙江卷的第9題.

例1（浙江卷9）已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0最大值是（ ）.

分析1：向量問題是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)最突出的問題，所以我們嘗試?yán)脦缀我饬x解題.

解法1：由（a-c）·（b-c）=0，得（a-c）⊥（b-c）.

又a、b互相垂直，則a、b、a-c、b-c構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，且c恰好是四邊形的對(duì)角線.當(dāng)c是直徑

取得最大值，此時(shí)圓內(nèi)接四邊形是以a、b為鄰邊的正方形，所以有

分析2：這道題用幾何意義來(lái)解雖然計(jì)算量小，但是很多學(xué)生的思維水平和分析能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到這樣的高度，很難將“兩組向量垂直”與“圓內(nèi)接四邊形”聯(lián)系起來(lái).在這種情況下，我們不妨試試坐標(biāo)法.

解法2：a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量.

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y）.

a-c=（1-x，-y），b-c=（-x，1-y）.

由（a-c）·（b-c）=0，得（1-x）（-x）+（-y）（1-y）=0.

所以向量c的起點(diǎn)（即坐標(biāo)原點(diǎn)）在圓上，終點(diǎn)也在圓上，因?yàn)樵c(diǎn)O到圓上的點(diǎn)的最大值等于圓的直徑，所以有

解法2運(yùn)用坐標(biāo)法，只需建系，設(shè)坐標(biāo)，直接利用坐標(biāo)運(yùn)算找出向量c的終點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡方程.整個(gè)解題過程周密嚴(yán)謹(jǐn)，說服力強(qiáng)，可靠性高，是做題能力不強(qiáng)的學(xué)生的首選方法.

反思：通過以上三種方法，我們發(fā)現(xiàn)遇到此類問題只要用坐標(biāo)法就可以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，省卻了用圖像法分析向量間的關(guān)系的諸多麻煩.

分析：本題與例2相似，只是問法有所不同，下面我們給出一種解法，另兩種解法大家可以自行驗(yàn)證.

例4 （2011年高考新課標(biāo)全國(guó)卷文13）已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=________.

分析：這道高考題如果用坐標(biāo)法解，就非常簡(jiǎn)單.

解：根據(jù)題意，不妨設(shè)a=（1，0），b=（0，1），則a+b=（1，1），ka-b=（k，-1）.因?yàn)閍+b與向量ka-b垂直，所以（a+b）·（ka-b）=0，即k-1=0，解得k=1.

解題反思：考場(chǎng)上的時(shí)間是寶貴的，能夠在高考緊張的狀態(tài)下尋求快捷有效的解題方法是高考制勝的關(guān)鍵.面對(duì)向量題，要想在短時(shí)間內(nèi)通過作圖利用幾何意義，需要較高的思維能力.而采用坐標(biāo)法，其優(yōu)勢(shì)是明顯的，尤其是解例2、例3這類題型，對(duì)相對(duì)點(diǎn)所提的位置要求只有一個(gè)，在這樣的情況下，設(shè)△ABC的任兩個(gè)頂點(diǎn)為特殊點(diǎn)，求出第三個(gè)點(diǎn)，都能夠用邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程解決相應(yīng)問題.當(dāng)然，創(chuàng)新無(wú)止境，研究不可淺嘗輒止，圍繞這一方法，我們?cè)趪L試的過程中肯定還會(huì)遇到新的問題，讓我們一起探究下去吧！