Orlicz空間中廣義Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的關(guān)系

段麗芬，莊彩彩

（通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化 134002）

2006年，段麗芬和崔云安在Orlicz空間中引進了廣義 Orlicz范數(shù)［1］，并證明了它與 Orlicz范數(shù)［2］和Luxemburg范數(shù)［3］等價.本文進一步就由N－函數(shù)生成的Orlicz空間中定義的廣義Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的關(guān)系問題加以討論，得到一個嚴格不等式和一個重要的等價命題.

1 預(yù)備知識

映射M:R→［0，∞）稱為Orlicz函數(shù)是指:M是偶的、非負連續(xù)凸函數(shù)且當(dāng)且僅當(dāng)u=0時M（u）=0.滿足

的Orlicz函數(shù)稱為N－函數(shù).

設(shè)M（u）、N（v）為一對互余的N－函數(shù)，（G，∑，μ）為一無原子測度空間，L0表示定義在G上的可測實函數(shù)全體.對任意x∈L0，我們稱

為x（t）關(guān)于M的模.則Orlicz空間

關(guān)于Orlicz范數(shù):

Luxemburg范數(shù):

‖x‖M=inf{λ ＞ 0:ρM（x/λ） ≤1}，

以及廣義Orlicz范數(shù):

均成為Banach空間.

引理1［4］設(shè)M是任意N－函數(shù)，則泛函

是Orlicz空間L*M的一個范數(shù)，且與‖x‖M等價.引理2［5］對任何b≥a ＞ 0，集合

都為有界集的充要條件是M∈▽2.

引理3［6］設(shè)M∈△2，x∈L*M，則對任何ε ＞0都存在δ＞0，當(dāng)‖x‖M≥ε時，ρM（x）≥δ.

2 主要結(jié)果及證明

產(chǎn)生矛盾.

定理2 inf{‖x‖M，p:‖x‖M=1} ＞ 1的充要條件是M∈△2∩▽2

證明 必要性.若M≠△2，存在αl↑∞ 使得

其中，F(xiàn)是一事先給定的正測度子集.選F的一個互不相交子集列{Fl}∞l=1使得

充分性.若 M∈ △2，則 ‖x‖M=1蘊涵著ρM（x）=1.因此，對x∈S（LM），如果k＊＊x≥1，則

有界，設(shè)其為C.于是

由引理1證明過程:

定理 3 sup{‖x‖M:‖x‖M，p=1} ＜ 1 當(dāng)且僅當(dāng) inf{‖x‖M，p:‖x‖M=1} ＞ 1.證明 假設(shè)

則對δ＞0，-x1使得

故 inf{‖x‖M，p:‖x‖M=1}=1.

這說明假設(shè)不成立.

另一方面，假設(shè)

則對0＜δ＜1，-x1使得

這說明假設(shè)不成立.

由定理2和定理3立即可得:

推論1 在Orlicz空間中，下面三個條件等價:

:

［1］段麗芬，崔云安.廣義Orlicz范數(shù)和廣義Luxemburg范數(shù)［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2006，32（2）:131－134.

［2］W.Orlicz.ber eine gewisse Klasse von Rumen vom Typus B［M］.Poland:Bull.Acad.Polonaise A，1932:207 －220;Reprinted in:W.Orlicz.Collected Papers.Warszawa:PWN － Polish Scientific Publishers，1988:217 －230.

［3］W.A.J.Luxemburg.Banach function spaces［D］.Delft Techn.Univ.，1955.

［4］段麗芬，崔云安.賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的端點［J］.浙江大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2007，34（3）:252－256.

［5］許晶，崔云安，莊彩彩.賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間中 的兩個特征［J］.通化師范學(xué)院學(xué)報，2010，31（12）:14－15.

［6］CHEN S T，Geometry of Orlicz Spaces［M］.Warszawa:Dissertations Math，1996:1 －204.