張桂穎，李武明

（通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化 134002）

近世代數(shù)也叫抽象代數(shù)，這門課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)必開的一門重要的基礎(chǔ)課，而且對于以后攻讀代數(shù)學(xué)方向碩士研究生的學(xué)生來說，近世代數(shù)功底的深厚也直接影響著他們今后的學(xué)習(xí)情況.對于我們這類院校的學(xué)生來說，近世代數(shù)具有嚴(yán)密的邏輯性和特有的抽象性，學(xué)生很難學(xué)透，即使像群、子群、環(huán)、子環(huán)這樣的基本概念，學(xué)生要想真正掌握也非常吃力.許多學(xué)生對近世代數(shù)產(chǎn)生了畏難甚至厭惡情緒，再加上學(xué)時有限，要想讓學(xué)生在這有限的學(xué)時內(nèi)較好的掌握近世代數(shù)的內(nèi)容要領(lǐng)，在講課方法上必須仔細(xì)揣摩.

實(shí)際上對于大學(xué)的數(shù)學(xué)課都適合運(yùn)用由具體到抽象原則的講課方法，尤其對于抽象的近世代數(shù)課程，在講解定義、定理時更應(yīng)采用這種方法.所謂由具體到抽象的原則是指先舉出具體實(shí)例，由具體實(shí)例得出性質(zhì)、結(jié)論，進(jìn)而猜想抽象到一般情況是否成立，再利用邏輯推演證明其正確性，若能按照這樣的思路來處理每一個問題，勢必會使學(xué)生感覺到近世代數(shù)也不是那么難，也是有例可尋的.在近世代數(shù)中一個常被我們做引例而學(xué)生又比較熟悉的群就是三元對稱群，本文將以有限群論中Sylow定理的探求為例介紹由具體到抽象的原則，再簡要介紹這一原則在群的同態(tài)定理中的應(yīng)用方式［1］.

1 Sylow定理的探求

三元對稱群S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}.

例1A3={（1），（123），（132）}，A3是S3的正規(guī)子群，商群S3/A3={A3，（12）A3}，|S3|=6=3×2，觀察發(fā)現(xiàn)有關(guān)于這三個群的一個命題.

命題1A3是S3的正規(guī)子群，則|S3|=|A3|·|S3/A3|

思考:用一般有限群G去替換特殊有限群S3命題是否仍然成立.由此提出如下猜想.

猜想1 若H是G的正規(guī)子群，則|G|=|H|·|G||G/H|.

結(jié)論是肯定的.由此還可以進(jìn)一步驗(yàn)證若m|n，|G|=n，G中是否存在階為m的子群H?這對有限交換群的確是成立的，可用于證明Sylow第一定理.

例2S3的共軛類劃分S3=C（1）∪C（12）∪C（123），即為S3的共軛類的不交并，其中

于是|S3|=6=1+3+2，觀察發(fā)現(xiàn)命題2.

命題2S3的共軛類劃分為S3=C（1）∪C（12）∪C（123），則

其中，C（1）是S3的中心，C（12）、C（123）中元素均大于1個.將這個等式抽象到一般有限群G便可得到類方程.

引理1［2］有限群G的中心C的元素個數(shù)c0，別的共軛類（如果存在，每類中元素的個數(shù)都大于1）設(shè)為C1，C2，…，Cm，且|Ci|=ci，i=1，2，…，m，于是有限群G的類方程|G|=c0+c1+…+cm.

注:類方程可應(yīng)用于證明Sylow第一定理.

例3S3的共軛類劃分S3=C（1）∪C（12）∪C（123），進(jìn)一步考察共軛類中元素的正規(guī)化子，得到

由此可得到關(guān)于特殊群S3的一個命題.

命題3a∈CaS3，有［S3:N（a）］=|Ga|.

進(jìn)一步考慮用一般有限群G去替換特殊有限群S3命題是否仍然成立.

猜想2a∈CaG，有［G:N（a）］=|Ca|，其中，G為任一有限群，Ga為元素a的共軛類.

結(jié)論當(dāng)然是肯定的，即為［1］中的引理7.10，結(jié)論可用于證明Sylow第一定理.

例4 考察三元對稱群S3的子群N（（12））={（1），（12）}=＜（12）＞的共軛子群類

命題4 有限群S3的P（素數(shù)）階子群是相互共軛的.

猜想3 有限群G的P（素數(shù)）階子群是相互共軛的.

經(jīng)討論猜想3有肯定的回答，結(jié)論可用于證明Sylow第二定理.有了以上的這些理論作為基礎(chǔ)，對于Sylow定理的證明便可迎刃而解.

2 群的同態(tài)定理的探求

保持運(yùn)算的同態(tài)映射把群G中所有運(yùn)算關(guān)系（指涉及元素和運(yùn)算的所有等式）都傳遞給G的同態(tài)象.所以保持著G中的某些結(jié)構(gòu).群G的同態(tài)象可以設(shè)想為群G的一個“粗略”的模型:忽略了G中某些元素之間差異而又維持G中的運(yùn)算關(guān)系.群的第一同態(tài)定理說群G的所有可能的“粗略”模型就是群G的那些商群;群的第二同態(tài)定理說明了群與它商群的子群之間的關(guān)系.

例5 群（Ζ，+）與群（C12，·）之間存在同態(tài)映射 φ:a|→ρa(bǔ)θ，其中C12={ρa(bǔ)θ|θ=，a∈Ζ}={ρa(bǔ)θ|0≤a≤11}，群（G12，·）=Imφ={φ（a）|a∈Ζ}，Kerφ={12t|t∈Ζ}=＜12＞是群 （Ζ，+）的正規(guī)子群，我們會發(fā)現(xiàn)商群Ζ/Kerφ≌Imφ，其中映射為a+k|→ φ（a）.

由此我們可以抽象出群的第一同態(tài)定理.

例6 進(jìn)一步對于群（Ζ，+）的幾個包含＜12＞=Kerφ的子群，有如下關(guān)系:＜12＞≤＜6＞≤＜3＞≤＜1＞=Ζ，其相應(yīng)的象有＜ρ0θ＞≤＜ρ6θ＞≤＜ρ3θ＞≤＜ρθ＞，而且還保持一種正規(guī)性，比如:＜ρ3θ＞＜ρθ＞＜3＞＜1＞，并且在這個條件下有關(guān)系＜ρθ＞/＜ρ3θ＞≌＜1＞/＜3＞.由此我們可以抽象出群的第二同態(tài)定理.

3 結(jié)語

總之，由具體到抽象的這一教學(xué)方法不僅可以使學(xué)生很好的學(xué)習(xí)近世代數(shù)知識，有效培養(yǎng)學(xué)生的思維，同時也可以使學(xué)生掌握這樣一種學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的通用方法，對他們以后的學(xué)習(xí)受益匪淺.對于近世代數(shù)這門比較抽象的理論課程，其教學(xué)方法是值得我們數(shù)學(xué)工作者進(jìn)一步研究的.

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［1］劉紹學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［2］楊子胥.近世代數(shù)［M］.第2版.北京:高等教育出版社，2003.

［3］張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］.北京:人民教育出版社，1978.

［4］顧沛.抽象代數(shù)教學(xué)中的素質(zhì)教育［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（3）:9 －13.

［5］夏靜波，鄒庭榮，張四蘭.近世代數(shù)的教學(xué)技巧［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（1）:5 －8.