胡同瑞，夏遵義，劉永皓

(大慶師范學(xué)院 物理與電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶163712)

在量子力學(xué)建立初期，維恩根據(jù)經(jīng)典理論求出了平衡輻射的能量密度與頻率和溫度的依賴(lài)關(guān)系，即維恩公式，但維恩公式在高頻率段與實(shí)際符合的很好，在低頻段出現(xiàn)嚴(yán)重的缺陷。二十世紀(jì)初期，瑞利同樣用經(jīng)典理論也求出了上述關(guān)系公式，后經(jīng)金斯的補(bǔ)充，得出瑞利-金斯公式，但瑞利-金斯公式只適用于低頻段，對(duì)高頻段存在嚴(yán)重缺陷。在二十世紀(jì)初期，普朗克把平衡輻射當(dāng)作光子氣體，光子的自旋量子數(shù)為1，在動(dòng)量方向上的投影為±h，有兩個(gè)可能的值，相當(dāng)于左、右兩個(gè)方向的偏振。得出了無(wú)論在高頻段或低頻都正確的結(jié)論，即普朗克公式。

1 平衡輻射的經(jīng)典理論

1.1 平衡輻射的圓頻率

空間內(nèi)的平衡輻射場(chǎng)可以分解為無(wú)窮多個(gè)單色平面波，電場(chǎng)強(qiáng)度用ε表示，如果采用周期性邊界條件，單色平面波的電場(chǎng)分量為(由電動(dòng)力學(xué)可知)[1]

ε=ε0ei(kr-ωt)

其中ω是圓頻率，k是波矢。

根據(jù)連續(xù)性方程

(1)

其中拉普拉斯算符

(2)

將ε=ε0ei(kr-ωt)代入上式得

解得

ω=ck

這就是圓頻率與波矢的關(guān)系。

1.2 瑞利-金斯公式

設(shè)波矢k的三個(gè)分量為kx，ky，kz，則可能值為[2]

解出nx,ny,nz

由于n為量子數(shù)，nx，ny，nz相乘應(yīng)是量子態(tài)的數(shù)量。

k1=ksinθ,dθ=kdθ,dφ=ksinθdφ，dkxdkydkz=dθdφdk=k2sinθ·dθ·dφ·dk

對(duì)sinθ·dθ·dφ積分得

因此

dkxdkydkz=k2sinθ·dθ·dφ·dk=4πk2dk

由于平面波有兩個(gè)偏振方向，上式要乘以2，則偏振數(shù)為

又根據(jù)圓頻率與波矢的關(guān)系ω=ck

所以輻射場(chǎng)的能量為

(3)

這結(jié)果叫瑞利-金斯公式。

1.3 瑞利-金斯公式的缺陷

對(duì)瑞利-金斯公式積分

當(dāng)頻率趨于無(wú)窮大時(shí)，其積分值也趨于無(wú)窮大是不對(duì)的。不可能電磁波的能量隨頻率的增大而無(wú)窮地增大，這種錯(cuò)誤的原因是電動(dòng)力學(xué)輻射場(chǎng)具有無(wú)窮多個(gè)振動(dòng)自由度，而推導(dǎo)過(guò)程中又根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理，每個(gè)振動(dòng)自由度的能量為kT。由此可見(jiàn)，經(jīng)典物理存在根本性的錯(cuò)誤。

2 普朗克的量子理論

2.1 平衡輻射的可能狀態(tài)數(shù)

普朗克把平衡輻射看作光子氣體。光子的自旋量子數(shù)為1，在動(dòng)量方向上的投影為±h，有兩個(gè)可能的值，相當(dāng)于左、右兩個(gè)方向的偏振。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們首先討論一維情況。設(shè)平衡輻射處在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維容器中，其德布羅意波長(zhǎng)與L的關(guān)系為[3]

L=|nx|λnx=0，±1，±2，±3，…

而其波矢的可能值為

由德布羅意關(guān)系可知，一維光子的動(dòng)量的可能值為

一維光子的能量的可能值為

對(duì)于三維情況，粒子的三個(gè)動(dòng)量分量的可能值為

在p+dp范圍內(nèi)，動(dòng)量的三個(gè)分量的可能狀態(tài)數(shù)為

在體積V=L3內(nèi)，平衡輻射的量子態(tài)數(shù)可能值為

我們用動(dòng)量的球坐標(biāo)求出平衡輻射的可能狀態(tài)數(shù)為

由于光子有±h兩個(gè)可能的值，上式應(yīng)乘以2。

2.2 平衡輻射的普朗克公式

光子的自旋量子數(shù)為1，光子是玻色子，平衡時(shí)滿(mǎn)足玻色分布，且其化學(xué)勢(shì)為0，根據(jù)化學(xué)勢(shì)與α的關(guān)系為：

可知：α=0

這樣平衡輻射的玻色分布為

所以每個(gè)狀態(tài)的平均光子數(shù)為

光子氣體符合德布羅意關(guān)系

ε=hω

由于圓頻率與波矢k存在以下關(guān)系

ω=ck

可知：ε=cp

因此，輻射場(chǎng)的內(nèi)能為

(4)

這就是著名的普朗克公式,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相符。

3 普朗克公式的重要推論

(5)

這就是瑞利-金斯公式。

(6)

這就是維恩公式。

3)對(duì)普朗克公式積分，可求得空間輻射的內(nèi)能

積分得

(7)

這就是斯特藩-玻耳茲曼定律。

4)維恩位移定律

利用上式可得輻射場(chǎng)圓頻率的極大值，即

可得 3-3e-x=x

ωm≈2.822kT/h

此結(jié)論說(shuō)明，圓頻率的極大值與溫度成正比，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為維恩位移定律。

4 結(jié)語(yǔ)

普朗克的量子統(tǒng)計(jì)理論徹底摒棄了經(jīng)典理論的缺陷，把量子統(tǒng)計(jì)物理提高到一個(gè)嶄新的階段。其對(duì)平衡輻射的高頻段和低頻率段的研究運(yùn)用，取得了與實(shí)踐完全一致的結(jié)果，并科學(xué)地把瑞利-金斯公式和維恩公式結(jié)合在一起。利用普朗克的量子統(tǒng)計(jì)理論還可以推導(dǎo)出很多其他的重要結(jié)論，這一理論對(duì)量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的創(chuàng)建起到極為重要的作用。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 林宗涵.熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社,2007:282-284.

[2] 崔海寧.熱力學(xué)系統(tǒng)理論[M].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社,2009:140-142.

[3] 李鴻寅.熱力學(xué)及統(tǒng)計(jì)物理[M].鄭州：河南大學(xué)出版社,1988:250-254.