王 彥，馬 丹，張國輝

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶163712)

1 問題提出

所謂分層次教學是指在學生個體素質(zhì)差異較大前提下，采用分組教學，不同組別采用不同教學方法或教學手段的一種教學模式。分層次教學需要精心組織，抓住不同組別采用不同教學方法或教學手段這個關鍵環(huán)節(jié)，周密實施，可以提高教學質(zhì)量。

通常的組織方法都是采用單科成績或總成績排隊來分組編班，然而這樣的分組編班，由于同學們心理素質(zhì)的不同導致考試時發(fā)揮的不同，不能客觀地將個體素質(zhì)差異不大的同學分到同一組，使得仍然個體差異較大的學生被分到同一組，導致不便于教學。為此，我們認為有必要對分層次教學的分組編班進行研究。通過對影響因素進行分析，我們認為學生的個體素質(zhì)有些是通過各科成績來表現(xiàn)的，而并非各科成績能表現(xiàn)全部素質(zhì)，換句話說，素質(zhì)是蘊涵在學生各科成績之中，素質(zhì)難以定量評價。

2 分層次教學的模糊聚類分組模型的構(gòu)建

分類是人們認識世界的基礎。難以定量分析的事情，人們大都采用分類的方法來了解與認識。在社會、經(jīng)濟及自然現(xiàn)象的研究中，存在著大量分類研究的問題。我們時常要把所接觸到的事物(樣本)，按其性質(zhì)、用途等進行分類，這種分類過程我們稱為聚類分析。聚類分析的基本思想是根據(jù)對象間的相似程度進行類別的聚合。在進行聚類分析之前，類別是隱蔽的。通過聚類分析所產(chǎn)生的類具有同一類中的個體之間有較大的相似性，不同類中的個體之間差異性很大的特點。

聚類涉及事物之間的模糊界限時，需運用模糊聚類分析[1]。 模糊聚類分析廣泛應用在氣象預報、地質(zhì)、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等方面。 通常把被聚類的事物稱為樣本，將被聚類的一組事物稱為樣本集。模糊聚類分析有兩種基本方法：系統(tǒng)聚類法和逐步聚類法。系統(tǒng)聚類法是基于模糊等價關系的模糊聚類分析法。

學生個體素質(zhì)難以定量分析，素質(zhì)高低界限模糊，我們試圖用模糊聚類分析方法進行分類。把需要分組編班的學生看作為待分類的一個集合U={u1,u2,…ui,…un},假設其中每個元素ui(i=1,2,…n)，即待分班的學生，有m項入學時各科成績ui1,ui2,…uim(i=1,2,…n)，則可以用m維向量描述待分類的元素，即ui=(ui1,ui2,…uim),i=1,2,…n，相應的模糊聚類分組，按下列步驟進行：

(1)數(shù)據(jù)標準化處理。即對待分組編班學生集合U中的每個學生ui的各科分數(shù)數(shù)據(jù)ui1,ui2,…uim標準化處理：若uik是百分數(shù)，記u`ik=100-1uik，則u`ik∈[0,1]i=1,2,…n;k=1,2,…m。

(2)建立模糊相似矩陣[2]R=(rij)n×n其中

適當選取實數(shù)c，使得0≤rij≤1。

(3)依據(jù)所求得的模糊相似矩陣R=(rij)n×n和模糊矩陣的運算理論，求模糊等價矩陣[3]Rλ。

(4)根據(jù)所求的模糊等價矩陣Rλ進行模糊聚類分析，適當選取λ值，對學生進行分組編班。

3 分層次教學的模糊聚類分組模型的應用舉例

為了敘述方便起見，我們?nèi)?010級10名學生的四門入學成績?yōu)槔?，對模型的使用加以說明：

表1 學生的入學成績

對上述取定的10同學的成績進行標準化處理：

表2 學生的入學成績標準化處理

取c=0.8，按絕對值減數(shù)法進行計算，得到模糊相似矩陣R：

經(jīng)過計算得到傳遞矩陣[4]R*：

在R*中取λ=0.87，得到相應的λ截矩陣R0.87：

對應的元素為：u1，u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8，u9，u10。當λ=0.87時，將U分成三類：{u1}、{u3}、{u2,u4,u5,u6,u7,u8,u9,u10}。

4 分層次教學的模糊聚類分組模型的應用

我們對數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2010級173名新生，依據(jù)入學的各科成績，應用了上述模糊聚類分組模型進行分組編班，共分了四個教學班，其中一班44名學生，二班42名學生，三班41名學生，四班46名學生。 一班和二班合班上課，三班和四班合班上課，根據(jù)授課班學生的具體情況采用適當?shù)慕虒W策略和教學方法，經(jīng)過三個學期的教學，各科教學的教師認為，由于這樣的分組編班教學，每個教學班學生的基本素質(zhì)差異較小，認知理解能力的水平基本相當，課堂教學過程順暢，教學任務容易完成，通過每個教學班期末考試成績看出，優(yōu)劣生的學習成績相差的不懸殊。

5 分層次教學的模糊聚類分組模型的評價

通過實踐，我們認為分層次教學的模糊聚類分組模型有如下的優(yōu)點：

1)應用分層次教學的模糊聚類分組模型進行分組編班，比按單科成績或總分進行分組編班更能符合學生的實際情況，素質(zhì)差異較小，基礎差別不大的學生分到一個教學班，方便教學,有利于提高教學水平。

2)分層次教學的模糊聚類分組模型不僅能用于新生編班，還可以用于平時對學生進行分類，比如每學期末利用本學期所開設的各門課程的成績重新聚類，看學生類別變動情況，為教學質(zhì)量分析提供依據(jù)。

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