張 霞， 高 巖， 夏尊銓

（1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，大連 116024；2.浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院東方學(xué)院 信息分院，海寧 314408；3.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

微分對(duì)策理論是現(xiàn)代控制理論中的一個(gè)重要研究課題，也是對(duì)策論的一個(gè)重要分支.微分對(duì)策是指在局中人之間進(jìn)行對(duì)策活動(dòng)時(shí)要用到微分方程（組）來(lái)描述對(duì)策現(xiàn)象或規(guī)律的一種對(duì)策，是解決對(duì)抗與競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題的有力工具.微分對(duì)策理論的研究可追溯到20世紀(jì)40年代，當(dāng)時(shí)因軍事上的需要，由Isaacs帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)研究了導(dǎo)彈對(duì)抗飛行器策略問(wèn)題，以此為開(kāi)端，微分對(duì)策的基本概念及理論相繼提出，最早的文獻(xiàn)見(jiàn)于Isaacs的《Differential Games》一書(shū)［1］.微分對(duì)策理論的進(jìn)一步發(fā)展來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面：一是最優(yōu)控制理論；二是對(duì)策論.從最優(yōu)控制到微分對(duì)策可看作是從一方控制發(fā)展到雙方或多方控制；從對(duì)策論到微分對(duì)策，又可看作是從靜態(tài)的對(duì)策理論發(fā)展到動(dòng)態(tài)的對(duì)策理論.因此，微分對(duì)策理論的研究對(duì)控制領(lǐng)域和對(duì)策論中問(wèn)題的解決起著重要的作用［2］.而且隨著該理論的不斷發(fā)展，現(xiàn)在也被廣泛應(yīng)用到科學(xué)研究、工程技術(shù)、交通運(yùn)輸、航天航空、環(huán)境保護(hù)、經(jīng)濟(jì)管理和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等許多方面［3－5］.

根據(jù)提法的不同，微分對(duì)策問(wèn)題有多種形式.本文將考慮單目標(biāo)兩人追捕逃逸型微分對(duì)策問(wèn)題（pursuit－evasion games），它是由Isaacs最早提出并命名的.描述如下：

考慮兩控制變量的微分動(dòng)力系統(tǒng)

其中，x∈Rn是狀態(tài)變量；u∈U，v∈V是控制變量；U，V?Rm，f（x，u，v）為Rm＋n到Rm上的利普希茨函數(shù).設(shè)Ω為Rn中開(kāi)子集，也稱(chēng)為目標(biāo).引入兩個(gè)局中人，第一個(gè)局中人為Ursula，控制變量為u，要使系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)目標(biāo)Ω；另一個(gè)局中人為Victor，控制變量為v，卻力爭(zhēng)使系統(tǒng)狀態(tài)永遠(yuǎn)避開(kāi)此目標(biāo)Ω，這就是單目標(biāo)兩人追捕逃逸型微分對(duì)策問(wèn)題.

Krasovskii及Subbotin研究了追捕逃逸型微分對(duì)策問(wèn)題的無(wú)優(yōu)先規(guī)則的位置策略［2，6］，并證明了選擇定理.即在任何初始點(diǎn)x0，或者Ursula贏(yíng)，或者Victor贏(yíng)，二者擇一.然而，在Caratheodory意義下系統(tǒng)（1）無(wú)解，為此他們推廣了解的定義，給出了近似微分對(duì)策.與位置策略的研究方法不同，文獻(xiàn)［7］使用了無(wú)預(yù)見(jiàn)性策略（nonanticipative stragies），故局中人都可以通過(guò)對(duì)方行動(dòng)的信息來(lái)決定自己的行動(dòng)，這在現(xiàn)實(shí)中有很多應(yīng)用事例.文獻(xiàn)［7］的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)在于通過(guò)幾何方式去研究勝利域（victory domain，指無(wú)論對(duì)方如何行動(dòng)，局中人都能贏(yíng)的初始點(diǎn)的集合），據(jù)此可以繼續(xù)作勝利域的數(shù)值計(jì)算［8－9］.隨后又在文獻(xiàn)［10］中給出了具有狀態(tài)約束的追捕逃逸型問(wèn)題，并證明了微分對(duì)策值的存在性.近期作者又將這一理論推廣到混雜系統(tǒng)［11］.

就具體應(yīng)用問(wèn)題來(lái)講，微分對(duì)策系統(tǒng)識(shí)別域（discriminating domain）的判別很重要，它直接關(guān)系到勝利域的表示以及微分對(duì)策問(wèn)題的解.然而，正如對(duì)一般的非線(xiàn)性控制系統(tǒng)可生存性判別的充要條件很難具體使用一樣［12］，目前關(guān)于微分對(duì)策問(wèn)題的識(shí)別域判別還沒(méi)有切實(shí)可行的判別準(zhǔn)則.為此，本文參照文獻(xiàn)［13］的方法，研究了一類(lèi)重要的控制系統(tǒng)即仿射非線(xiàn)性控制系統(tǒng)下的追捕逃逸型微分對(duì)策問(wèn)題，給出該問(wèn)題的系統(tǒng)識(shí)別域判別的方法，并結(jié)合凸可行問(wèn)題的算法給出該判別問(wèn)題的投影算法，最后給出這類(lèi)微分對(duì)策問(wèn)題的選擇定理.

2 識(shí)別域的判別方法

首先給出文中用到的幾個(gè)定義.

定義1K為Rn的閉子集，x∈K，若dK（x＋p）＝‖p‖，則稱(chēng)向量p∈Rn為K在x處的近似法向量，所有p的集合記為NPK（x）.

定義2 若任意x∈D，任意p∈NPD（x），則稱(chēng)D為f的識(shí)別域.Rn的閉子集K所包含的f的最大識(shí)別域稱(chēng)為f的識(shí)別核，記作Discf（K）.

定義3 若任意x∈D，任意p∈NPD（x），則稱(chēng)D為f的領(lǐng)導(dǎo)域（leadership domain）.Rn的閉子集K所包含的f的最大的領(lǐng)導(dǎo)域稱(chēng)為f的領(lǐng)導(dǎo)核，記作Leadf（K）.

下面討論識(shí)別域的判別問(wèn)題.考慮如下仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)

其中，w（x）為Rn到Rn的利普希茨函數(shù)，g（x）和h（x）為Rn到Rm＋n的利普希茨函數(shù)，u∈U為一度量緊空間.v∈V＝｛v∈Rm｜ai（v）≤0，i＝1，2，…，r｝，ai（v）為Rm上的凸函數(shù).

定義區(qū)域

這里給定φj（x）為Rn上的連續(xù)可微函數(shù).定義指標(biāo)集

為方便問(wèn)題的研究，在此給出本文所用到的假設(shè)條件及已知命題.

假設(shè)1

a.f（x，u，v）｜Rn×U×V→Rn為連續(xù)函數(shù).

b.對(duì)任意u∈U，v∈V，f（·，u，v）為利普希茨連續(xù).

假設(shè)2［14］存在y0∈Rn，使得φj（x）Ty0＜0，j＝1，2，…，s.

假設(shè)3［14］cl（γ（x））＝Γ（x）成立，其中

這里cl為閉包.

命題1［14］若假設(shè)2及假設(shè)3成立，則TD（x）＝Γ（x）.其中

命題2［15］若假設(shè)1成立，則D為f的識(shí)別域的充要條件是：

任意x∈D，任意u∈U，f（x，u，V）∩TD（x）≠φ其中為空集.

下面給出判別系統(tǒng)（2）的識(shí)別域的充分必要條件.

定理1 在假設(shè)1～3成立的條件下，區(qū)域D為系統(tǒng)（2）中f的識(shí)別域當(dāng)且僅當(dāng)不等式組

是相容的.其中，v∈Rm為變量.

證明 由命題1知，區(qū)域D為f的識(shí)別域的充要條件是：

任意x∈D，任意u∈U，f（x，u，V）∩TD（x）≠φ.當(dāng)x屬于區(qū)域D的內(nèi)部時(shí)，TD（x）＝Rn，定理顯然成立.因此只需考慮邊界點(diǎn)的情況，即集合.此時(shí)由命題1知，

所以f（x，u，V）∩TD（x）≠φ等價(jià)于下面的不等式組有解

將y＝w（x）＋g（x）u＋h（x）v代入上面的第二個(gè)不等式，即得式（4a）和式（4b），證畢.

3 投影算法及選擇定理

下面給出判別系統(tǒng)（2）的識(shí)別域的算法.

因?yàn)槭剑?a）是關(guān)于變量v的線(xiàn)性不等式組，故可與式（4b）一起組成下面的凸不等式組

其中，v∈Rm為變量，q為式（4a）和式（4b）中全部不等式的個(gè)數(shù).

判別該凸不等式組的相容性又可視為凸可行問(wèn)題，令

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找v∈Ψ.解決此問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的方法是投影算法［16］，下面給出判別識(shí)別域的投影算法.

Step 2i＝0，0＜η≤1，取v0∈Rm.

Step3 若點(diǎn)列｛vi｝收斂，則停止，x∈D為f的識(shí)別域中的點(diǎn).否則轉(zhuǎn)至Step 4.

Step 4 計(jì)算σk∈?ak（vi）＝｛σk∈Rn｜z∈Rn，ak（z）≥ak（vi）＋［vi，z－vi］｝，

Θi＝｛y∈Rn｜ak（vi）＋〈σk，y－vi〉≤0，k＝1，2，

Step 5 選擇ωi｜η≤ωi≤2－η，計(jì)算vi＋1＝vi＋ωi（yi－vi）.

Step 6i＝i＋1，轉(zhuǎn)至Step 3.

定理2（收斂性） 在下列條件成立的情況下，算法收斂，即｛vi｝→v∈Ψ.

a.ai（v）≤0，i＝1，2，…，r為凸連續(xù)函數(shù)；

b.Ψ≠φ；

c.對(duì)任意v，?ai（v）是有界的，i＝1，2，…，r.

最后回到兩人追捕逃逸型微分對(duì)策問(wèn)題，給出在仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)下的選擇定理.

定理3 設(shè)f滿(mǎn)足假設(shè)1，令Ο＝Rn＼Ω，則Victor的勝利域?yàn)镈iscf（Ο），Ursula的勝利域?yàn)棣蹹iscf（Ο）.

證明 參照文獻(xiàn)［7］的選擇定理可以得到Victor的勝利域?yàn)镈iscf（Ο），Ursula的勝利域?yàn)棣躄eadf（Ο）.又因?yàn)閒（x，u，v）＝w（x）＋g（x）u＋h（x）v，故

即Isaacs條件滿(mǎn)足，所以L(fǎng)eadf（Ο）＝Discf（Ο），故結(jié)論成立，證畢.

由此可見(jiàn)，在這種特殊情況下，局中兩人的勝利域瓜分了目標(biāo)集的補(bǔ)集.而且該微分對(duì)策問(wèn)題與無(wú)優(yōu)先規(guī)則的位置策略相同，故只要知道系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就能確定兩人的對(duì)策結(jié)局.

4 結(jié) 論

本文基于非光滑分析及生存理論得出了一類(lèi)仿射非線(xiàn)性微分對(duì)策問(wèn)題在不等式約束區(qū)域上系統(tǒng)識(shí)別域的判別方法，該方法可具體實(shí)現(xiàn)；并給出了算法，以及兩人追捕逃逸型微分對(duì)策問(wèn)題的選擇定理.雖然微分對(duì)策理論的研究及應(yīng)用有了極大的發(fā)展，但在追捕逃逸型微分對(duì)策模型的建立和求解以及不確定型微分對(duì)策等方面的研究尚不充分，這可作為進(jìn)一步研究的課題.

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