蔣建林，王璨璨

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210016)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革思路研究與實踐
——以南京航空航天大學(xué)為例①

蔣建林，王璨璨

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210016)

高等數(shù)學(xué)課程是理工科院?；A(chǔ)課程中的重中之重，其對創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)具有重要作用。結(jié)合南京航空航天大學(xué)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀，分析高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，并從四個方面提出高等數(shù)學(xué)改革思路:提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想;分層次安排教學(xué);創(chuàng)設(shè)啟發(fā)式教學(xué)情境。實踐證明這些改革思路對于提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量是有效的。

高等數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)興趣;數(shù)學(xué)思想;啟發(fā)式教學(xué)環(huán)境

高等數(shù)學(xué)是理工科院校低年級學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程，是理工科學(xué)生學(xué)好后續(xù)課程的工具課，而且高等數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，包括邏輯推理能力、抽象思維能力、思想方法和知識結(jié)構(gòu)的形成等方面都有著其它課程無可替代的作用與優(yōu)勢。然而，從筆者多年來的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐以及學(xué)生的反饋信息來看，教師和學(xué)生作為教育的2個主體普遍感覺到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中存在著一定的問題。所以深化高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革，提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量是當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的一項重要任務(wù)。

一 目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

我們以南京航空航天大學(xué)為例對高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題進(jìn)行說明。一方面，從教師主體的角度來看，教師認(rèn)為高等數(shù)學(xué)難教，主要表現(xiàn)在學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的興趣和主動性，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一種被動接受的過程;另一方面，從學(xué)生主體的角度來看，很多學(xué)生認(rèn)為高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容繁雜，理論性強，對于這一課程“為什么學(xué)”和“怎么學(xué)”幾乎沒有概念。這兩方面的結(jié)果往往是高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量不是很理想，每次期末考試成績大概會有超過10%的不及格率。細(xì)細(xì)探究其原因，筆者認(rèn)為主要有以下幾個方面:

(一)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不強以及動機(jī)不明確是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中最為嚴(yán)重的問題。高等數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)課程，內(nèi)容以理論為主，配以少量的相關(guān)例題。但是這些例題往往與學(xué)生的專業(yè)或?qū)嶋H問題沒有直接關(guān)系。因此在學(xué)習(xí)過程中，教師經(jīng)常遇到很多學(xué)生問同樣的一個問題:高等數(shù)學(xué)這門課究竟有什么用?事實上，如果我們不能很好地回答這個問題，學(xué)生對學(xué)習(xí)這門課的原因和目的就會毫無概念，這將會導(dǎo)致其對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)動機(jī)和興趣降低。

(二)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

由于高考競爭的壓力以及高中數(shù)學(xué)知識點較少的特點，剛進(jìn)入大學(xué)校園的新生依舊習(xí)慣于中學(xué)階段學(xué)校和家長對其學(xué)習(xí)情況的實時監(jiān)督，教師對各個知識點的深入指導(dǎo)，各種家教對知識點的鞏固與提高。這些很大程度上導(dǎo)致了學(xué)生學(xué)習(xí)依賴性太強，缺乏自主性學(xué)習(xí)習(xí)慣。而高等數(shù)學(xué)中知識點相對于中學(xué)數(shù)學(xué)多得多，對于各個知識點教師不能面面俱到地都詳細(xì)講解，這將與他們已有的依賴性學(xué)習(xí)習(xí)慣有所不同，從而導(dǎo)致學(xué)生無所適從。

(三)學(xué)生的思維方式

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要是題海模式，對同一個知識點進(jìn)行大量的反復(fù)訓(xùn)練，最后達(dá)到對求解一類問題的思維直覺。這種學(xué)習(xí)“填鴨式”的教育方式導(dǎo)致學(xué)生在解題的過程中思維不夠開闊，喜歡套用以往的解題思路。但是高等數(shù)學(xué)中很多知識點不是通過被動接受教出來的，而是需要學(xué)生通過開放式的思維，自己慢慢體會和領(lǐng)悟的，比如數(shù)列極限的定義和函數(shù)極限的定義。

(四)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容

中學(xué)時學(xué)生接觸到的是相對直觀的數(shù)學(xué)概念、較少的理論以及簡單的計算;而高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容相對抽象，并且注重嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)。與此同時，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容也很多，剛學(xué)過的知識學(xué)生可能還未完全理解，新的知識就又接踵而來，長此以往將會形成惡性循環(huán)，從而導(dǎo)致整個高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)如同一團(tuán)亂麻，學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的理解也只限于一些模糊的概念和定理，而沒有形成系統(tǒng)和整體的認(rèn)識。

鑒于以上高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，深化高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量是當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要任務(wù)。多年來，我校高等數(shù)學(xué)教研組的各位老師就高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面進(jìn)行了一系列探索性改革，取得了不錯的成績。結(jié)合整個教研組在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中取得的成績，筆者在此討論自己的一些改革思路與體會。

二 高等數(shù)學(xué)的改革思路與探索

高等數(shù)學(xué)的改革應(yīng)該是多方面的和立體式的，我們不能期望僅從某一方面努力就能全面提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。歸納一下我校高等數(shù)學(xué)教研組的教學(xué)實踐，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革可以從如下方面進(jìn)行。

(一)多方面提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和動機(jī)

克萊因是20世紀(jì)美國著名數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家，他將激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣作為數(shù)學(xué)課程的四大基本原理之一。他指出:“不論以何種方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，我們都必須為所教的數(shù)學(xué)提供動機(jī)和目的。”［1］因此在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，如果教師只是注重數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)定理之間的推導(dǎo)，則會給學(xué)生造成一種“為了學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)”的錯覺，使其失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動機(jī)。如果我們能做到如下幾點，往往能夠極大地增強學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

1．通過數(shù)學(xué)建模思想提高學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)建模作為一種數(shù)學(xué)的思考方法，主要包括如下步驟:模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型營養(yǎng)和改進(jìn)［2］。因為高等數(shù)學(xué)很抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中因為認(rèn)識不到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義而感到枯燥無味。但如果將其與一些與我們息息相關(guān)的經(jīng)濟(jì)社會生活中的問題通過數(shù)學(xué)建模聯(lián)系起來，就能讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)與實際生活是如此之近，從而極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，把高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的“要我學(xué)”變成發(fā)自內(nèi)心的“我要學(xué)”。

數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中還能夠極大地提高學(xué)生的分析推理能力和解決實際問題的能力。同時，數(shù)學(xué)建模沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，通過不同的數(shù)學(xué)思路解決問題，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2．適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事提高學(xué)習(xí)興趣

在很多人眼中，數(shù)學(xué)就是一堆冷冰冰的定理累加、推導(dǎo)而形成的一門令人望而生畏的學(xué)科。事實上，數(shù)學(xué)是人類思維活動的集中體現(xiàn)，其每一個概念和定理背后，往往有其特定的文化背景和生動的故事。然而，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)活動中，我們往往只注重羅列定理和結(jié)論，而將這些生動的背景和故事略去。但是正是這些看似不太重要的背景和故事往往能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，在講授洛必達(dá)法則這一節(jié)的時候，我們可以提供給學(xué)生洛必達(dá)法則來源與歸屬問題的故事［3］。當(dāng)學(xué)生聽完這則故事后，必定會對洛必達(dá)法則產(chǎn)生濃厚興趣，并自然而然地想掌握這一求極限的重要方法。再比如，高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常提到Leibniz，如求定積分的Newton－Leibniz公式，交錯級數(shù)的Leibniz準(zhǔn)則等。學(xué)生往往會感覺到有關(guān)Leibniz的定理多而且分散，不太會主動去理解和記憶這些定理。在授課時，筆者首先對Leibniz進(jìn)行了一個簡介，然后引出Leibniz和筆者淵源的故事(筆者的博士生導(dǎo)師是在德國攻讀的數(shù)學(xué)博士學(xué)位，經(jīng)考證Leibniz是筆者導(dǎo)師的師祖，同樣是筆者的師祖)，同時介紹Euler和Gauss這兩個大數(shù)學(xué)家與Leibniz的師承關(guān)系。

在課堂教學(xué)中，適當(dāng)?shù)刂v述一些定理背后的數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)史，并不是在浪費寶貴的授課時間?！澳サ恫徽`砍柴工”，這些小故事往往會起到意想不到的教學(xué)效果。

3．引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美以提高學(xué)習(xí)興趣

克萊因說過:“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能提供以上一切。”［4］我國著名數(shù)學(xué)家徐利治也指出:“數(shù)學(xué)教育與教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)美的審美能力，從而既有利于激發(fā)他們對數(shù)學(xué)科學(xué)的愛好，也有助于增長他們的創(chuàng)造發(fā)明能力?！保?］

人們喜歡和向往美好的東西，“愛美之心，人皆有之”。如果我們在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)活動中主動引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會到美感，這將極大提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美能力，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。比如通過極限的定義發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美和簡潔美;通過函數(shù)的泰勒級數(shù)和泰勒公式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美;通過維爾斯特拉斯構(gòu)造的處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)感受數(shù)學(xué)的奇異美;通過定積分的第一類和第二類換元法感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美;通過多元函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t感受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美等等。

(二)引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想而不僅僅是數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的兩個重要因素:數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的精神實質(zhì)和理論基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓;而數(shù)學(xué)方法則是解決數(shù)學(xué)問題的具體方法、手段，是數(shù)學(xué)思想的外在表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)方法很重要，具體的數(shù)學(xué)問題最后都是歸結(jié)到運用某種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解。但數(shù)學(xué)思想往往更重要，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往只重視傳授具體的理論和方法，而忽視挖掘其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想。事實上，掌握數(shù)學(xué)思想才能夠使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)的價值，高屋建瓴地用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決問題。俗話說，“授之以魚不如授之以漁”，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，我們需要引導(dǎo)學(xué)生不斷熟悉和掌握數(shù)學(xué)思想。

在眾多的數(shù)學(xué)思想中，除了前面談到的解決實際問題的數(shù)學(xué)建模思想，我們還可以通過劉徽的割圓術(shù)及導(dǎo)數(shù)積分定義讓學(xué)生掌握無限逼近的極限思想;通過連續(xù)函數(shù)零點定理及零點的求解讓學(xué)生掌握二分法思想;通過拉微積分中值定理掌握構(gòu)造法思想;通過函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)冪級數(shù)展開的間接法掌握化歸思想;通過極限的和定義中任意給定的掌握辯證統(tǒng)一的唯物思想等等。

(三)通過分層次教學(xué)提高教學(xué)質(zhì)量

隨著我國高校招生規(guī)模的不斷擴(kuò)大，大學(xué)教育已經(jīng)從最初的“精英教育”轉(zhuǎn)化為目前的“大眾教育”，隨之而來的是學(xué)生生源質(zhì)量變得參差不齊。如果對所有專業(yè)和所有學(xué)生都按照同一要求組織高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，必將造成“好的學(xué)生吃不飽，差的學(xué)生吃不了”的困境，導(dǎo)致補考、重修率大幅上升。而分層次教學(xué)則是承認(rèn)了不同專業(yè)和不同學(xué)生之間的數(shù)學(xué)差別，將學(xué)生分為不同層次的教學(xué)班，有區(qū)別地確定教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求、組織教學(xué)內(nèi)容、控制教學(xué)進(jìn)度、確立評估體系。分層次教學(xué)完美地體現(xiàn)了“學(xué)生為本，因材施教”的教育原則。

分層次教學(xué)能夠使得各層學(xué)生學(xué)有所得，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性，促進(jìn)學(xué)生的自主性學(xué)習(xí);同時，這種教學(xué)形式對不同層次的學(xué)生有較強的針對性，有利于安排教學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)效率。

(四)創(chuàng)設(shè)啟發(fā)式教學(xué)情境培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)方式和開放式思維方式

問題是數(shù)學(xué)知識的心臟，數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是提出問題、分析問題并解決問題。因此高校教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于適時地創(chuàng)設(shè)啟發(fā)式教學(xué)情境，設(shè)置啟發(fā)式問題，鼓勵學(xué)生應(yīng)用多種數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行探索，，并學(xué)會自己提出問題、分析問題和解決問題。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于啟發(fā)式的教學(xué)情境，他們的思維就會更主動、更積極，就會更有利于發(fā)現(xiàn)并解決問題，并在思考和解決問題的過程中逐步形成自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式和開放式思維方式。

比如，在多元函數(shù)條件極值中，高等數(shù)學(xué)教材往往只討論等式約束的情形，此時我們可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考不等式約束的極值問題。再如，等價無窮小代換要求代換項是函數(shù)因子而不是加減項，很多學(xué)生對這一要求的本質(zhì)不理解。但是當(dāng)泰勒公式內(nèi)容講授完后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生分析等價無窮小代換與泰勒公式間的關(guān)系，就會很容易找到這一要求的原因。

三 改革思路的試驗實踐與分析

為了驗證上述教學(xué)改革思路的成效性，筆者選擇了本校自動化學(xué)院2010級和2011級2個高等數(shù)學(xué)班進(jìn)行了教學(xué)試驗。2個班級的學(xué)生來自于同一學(xué)院，最大程度上保證了學(xué)生基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力的相似性;同時，兩年的高等數(shù)學(xué)試卷無論從題型、難易程度還是知識點全面性等方面都具有一定的連續(xù)性。選用這2個班級進(jìn)行試驗與比較，其結(jié)果更具客觀性。對于前者筆者使用的是傳統(tǒng)教學(xué)方式，而在后者的教學(xué)中筆者突出了上述改革思路1，2和4(分層次教學(xué)已經(jīng)被證明是行之有效的教學(xué)手段，而且因為兩個班級是分層次后得到的班級，我們沒有辦法對改革思路3進(jìn)行試驗)。表1給出了2個班級高等數(shù)學(xué)II上冊的期末考試成績統(tǒng)計數(shù)據(jù)，括號中的數(shù)字表示班級中各種成績的人數(shù)占班級總?cè)藬?shù)的百分比。

表1 2010級和2011級學(xué)生在應(yīng)用改革思路前后的成績統(tǒng)計表

從表1可以看出，在兩種不同的教學(xué)思路下，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績存在顯著的差異。在新的教學(xué)改革思路下，優(yōu)秀和良好的學(xué)生比例從30．58%提高到了59．73%，幾乎增長了一倍;而不及格學(xué)生的比例由12．74%下降到了7．64%。此外，學(xué)生平均分從2010級的70．81增加到2011級的78.00，學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況有了較大的提高。

在2011級學(xué)生的課堂教學(xué)中，筆者觀察到學(xué)生們精神飽滿，注意力集中，能夠緊扣筆者的教學(xué)思路進(jìn)行學(xué)習(xí)，并且跟筆者之間形成了良好的教與學(xué)之間的互動。同時，學(xué)生對于筆者提出的啟發(fā)式問題勤于思考與解決，學(xué)生自己也逐步敢于并善于提出問題。所有這些不僅表明了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的不斷提高，開放式思維的逐漸培養(yǎng)，同時對筆者的教學(xué)工作也是一種促進(jìn)和提高，使得筆者在教學(xué)過程中不斷完善和提高自己的教學(xué)水平。

［1］Kline M．The ancients versus the moderns:a new battle of the books［J］．Mathematics Teacher，1958(51):418－427．

［2］王振友．“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想和方法的研究［J］．廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)，2007 (7):146－151．

［3］Struik D J．The origin of L’Hopital’s rule［J］．Mathematics Teacher，1963(56):257－260．

［4］徐樹道．?dāng)?shù)學(xué)方法論［M］．桂林:廣西師范大學(xué)出版社，2002．

［5］徐利治．?dāng)?shù)學(xué)方法論選講［M］．武漢:華中理工大學(xué)出版社，2000．

(責(zé)任編校 晏小敏)

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1674－5884(2012)06－0092－03

2012－04－03

國家自然科學(xué)基金青年基金項目(11101211);江蘇省自然科學(xué)基金項目(BK2011719)

蔣建林(1977－)，男，江蘇東臺人，副教授，主要從事線性與非線性規(guī)劃、設(shè)施選址模型研究與應(yīng)用。