Grassmann流形Gr(2+1，2)上的非線性聯(lián)絡(luò)*

何建新

(九江學(xué)院理學(xué)院 江西九江 332005)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1：n維向量空間in中全體m維線性子空間的集合記作G(m,n),它是m(n-m)維光滑流形，稱(chēng)為Grassmann流形[1].

定義2：主叢P(M,G)上的一個(gè)聯(lián)絡(luò),就是對(duì)全空間P的每一個(gè)x,指定切空間TxP的一個(gè)子空間Hx，稱(chēng)為在x點(diǎn)的水平子空間，使?jié)M足下列3個(gè)條件：

(1)TxP=Vx⊕Hx，這里⊕代表直和；

(2)對(duì)每一個(gè)元素a∈G,和每一點(diǎn)x∈P,恒存在關(guān)系：(Ra)*Hx=Hxa,(a∈G)；

(3)水平子空間Hx光滑地依賴(lài)于x[2].

2 主要結(jié)果

計(jì)算實(shí)Grassmann流形空間Gr(2+1,2)上的非線性聯(lián)絡(luò).類(lèi)似于射影聯(lián)絡(luò)的例[3]，設(shè)空間上一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為：

得：

取李群SL(3,i)做結(jié)構(gòu)群，

將其轉(zhuǎn)化為流形上的點(diǎn)的局部坐標(biāo)形式，

(1)

由(1)式可計(jì)算得：

(2)

其中：t=(1+ε0+ε2m)(1+ε4+ε5n)-(ε1+ε2n)(ε3+ε5m)

非線性聯(lián)絡(luò)可寫(xiě)為：

參考文獻(xiàn)：

[1]陳維桓.微分流形初步[M].北京:高等教育出版社,2001.90

[2]黃正中.微分幾何導(dǎo)引[M].南京:南京大學(xué)出版社,1992.213

[3]陳婧婷.Grassmann流形上的非線性聯(lián)絡(luò)[D].北京：首都師范大學(xué),2008.26.