陳 磊 劉永善

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081）

對于氣動外形軸對稱的導(dǎo)彈，側(cè)滑轉(zhuǎn)彎是最常用的一種控制方式，即利用改變攻角、側(cè)滑角的方法來獲得俯仰或偏航方向的過載.在這種控制方式下，必須對導(dǎo)彈的滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行穩(wěn)定，使其的變化保持在一定的范圍內(nèi)，防止俯仰和偏航兩個方向?qū)б噶罴翱刂菩盘柊l(fā)生混亂，所以要將滾轉(zhuǎn)通道設(shè)計成為一個滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定回路.在傳統(tǒng)的設(shè)計方法中，基本上使用PID方式對滾轉(zhuǎn)自動駕駛儀進(jìn)行設(shè)計，設(shè)計時使用的是在“系數(shù)凍結(jié)”、“小擾動”等假設(shè)前提下得到的線性化彈體數(shù)學(xué)模型.導(dǎo)彈飛行過程中，高度在幾千米甚至上萬米的范圍內(nèi)變化，速度變化也非常大，空氣密度、動壓等相關(guān)參數(shù)變化劇烈，而且是非線性的；從另一方面來看，導(dǎo)彈自身的數(shù)學(xué)模型也是非線性的.這些都對PID駕駛儀的適用性及魯棒性都提出了很大的挑戰(zhàn)，而變結(jié)構(gòu)控制是一類特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性.這種控制方式與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”并不固定，而是可以在動態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)有目的地不斷變化，使系統(tǒng)按照預(yù)定的“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動[1].這種控制方法通過控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面滑動，使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動和外干擾時具有不變性，具有很強(qiáng)的魯棒性.變結(jié)構(gòu)控制的這些特點都非常適合于導(dǎo)彈飛行這一非線性狀態(tài)的控制，這也得到了越來越多人的關(guān)注.

1 變結(jié)構(gòu)控制的簡述

構(gòu)成一個變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)主要是通過應(yīng)用“滑模變結(jié)構(gòu)控制”這一控制策略實現(xiàn)的。這種控制策略要求尋找一種控制方法和一個“滑模面”，系統(tǒng)在這種控制方法的控制下，強(qiáng)迫系統(tǒng)在滑模面附近，沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡做高頻率、小幅度的上下運動.這樣的運動是可以被設(shè)計的，與系統(tǒng)的實時狀態(tài)及外界擾動無關(guān).

可見，變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的設(shè)計可以分為兩個獨立的部分，即：設(shè)計切換函數(shù)s(x)（滑模面），和設(shè)計滑模控制律u(x).一旦這兩個函數(shù)確定，變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)也就建立起來了.兩個函數(shù)設(shè)計方法及要求如下：

（1）s(x)設(shè)計要滿足可達(dá)性

當(dāng)x(0)這一系統(tǒng)初始點不在s=0上或是附近時，系統(tǒng)的運動軌跡必須要趨近滑模面s=0，即滿足可達(dá)性條件，否則系統(tǒng)無法啟動滑模運動，可達(dá)性條件為ss˙＜0；同時，切換面函數(shù)s(x)滿足可微以及s(0)=0.

（2）u(x)的設(shè)計方法

求解控制函數(shù) u(x)使得系統(tǒng)x˙=f(x，u，t)可以在滑模面 s(x)上做滑模運動即可.常用的控制函數(shù)有三種：

ⅰ.常值切換控制：u(x)=u0sgn(s(x)).

ⅲ.函數(shù)切換控制：u(x)=ueq+u0sgn(s(x))，這里ueq為等效控制.

2 變結(jié)構(gòu)自動駕駛儀模型建立與設(shè)計

導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)通道傳遞函數(shù)為：

這里以舵機(jī)（執(zhí)行機(jī)構(gòu)）舵偏角δx做為輸入信號，滾轉(zhuǎn)角速度 γ為響應(yīng)輸出[2].在導(dǎo)彈飛行彈道中的某個特征點附近進(jìn)行設(shè)計，在此特征點，kγ=-15.8751，Tγ=0.0702.

將其寫為狀態(tài)方程的形式如下：

其中，狀態(tài)方程的狀態(tài)變量為：x1=γ，x2=x1=γ，狀態(tài)方程的輸出量為：y=x1=γ，控制變量為：u=δx

設(shè)計變結(jié)構(gòu)滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定自動駕駛儀框圖如圖1所示：

圖1 滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定自動駕駛儀結(jié)構(gòu)圖

考慮到變結(jié)構(gòu)控制策略的特點，下面的關(guān)鍵點在于設(shè)計一個合適的滑模面和一個合適的控制策略，使得系統(tǒng)狀態(tài)可以在滑模面附近運動，達(dá)到滿意的控制效果.前邊已經(jīng)介紹過，STT控制方式的導(dǎo)彈要求滾轉(zhuǎn)通道穩(wěn)定在一個小角度范圍內(nèi)，防止俯仰通道和航向通道發(fā)生耦合，也就是要求導(dǎo)彈的滾轉(zhuǎn)角盡量小（滾轉(zhuǎn)角等于 0°則是最佳控制效果）.結(jié)合導(dǎo)彈控制要求及變結(jié)構(gòu)控制的特點，可將滑模面設(shè)計為：

其中：C=[15 1].當(dāng)在滑模面上或是附近運動時，系統(tǒng)兩個狀態(tài)變量的值都為零或是趨于零的小值，這樣就保證了滾轉(zhuǎn)通道的穩(wěn)定；而矩陣C的選擇則是調(diào)配兩個狀態(tài)量在滑模面中的權(quán)重，可以根據(jù)對兩變量的限制要求進(jìn)行選擇.上述設(shè)計中，對滾轉(zhuǎn)角的限制作用強(qiáng)于對滾轉(zhuǎn)角速度的限制.

根據(jù)不同控制方式設(shè)計控制器的不同特點[1]發(fā)現(xiàn)，比例切換控制等不適用于導(dǎo)彈飛行控制，這主要是由于導(dǎo)彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)（舵機(jī)）有一定的幅值和頻率的限止，所以選擇趨近律作為控制器的設(shè)計策略.趨近律是將系統(tǒng)運動分為趨近運動和滑模運動兩部分，有利于抑制抖動，改善滑模運動特性.常用的趨近律主要有等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律以及一般趨近律.

（1）基于等速趨近律的駕駛儀設(shè)計

其中：ε=50，等速趨近律的趨近速度是由ε的大小決定.

當(dāng)初始滾轉(zhuǎn)角為5o，滾轉(zhuǎn)角速度為0時，響應(yīng)結(jié)果仿真圖如圖2所示.

圖2中四幅仿真圖分別是：滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)、滾轉(zhuǎn)角速度響應(yīng)、控制器輸出與滑模面運動圖.對其進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，使用等速趨近率時，到達(dá)滑模面前的控制器有很好的輸出特性，但到達(dá)滑模面附近后，輸出具有高頻率、大幅值的抖振，這對于控制器的物理實現(xiàn)來說，是幾乎不可能的.從響應(yīng)時間來看，等速趨近率的響應(yīng)時間可以比較短，如果要實現(xiàn)快速響應(yīng)則在設(shè)計時要求ε的取值很大，這將使系統(tǒng)運動到滑模面附近后，控制器輸出有大幅值、高頻率的抖振.

圖2 等速趨近律駕駛儀仿真圖

（2）基于指數(shù)趨近律的駕駛儀設(shè)計

通過上邊分析，變結(jié)構(gòu)駕駛儀要解決兩個方面的問題：第一，在ε較小的情況下，要加速趨近運動；第二，去掉滑模面附近狀態(tài)運動抖動.結(jié)合這兩個要求，本文使用指數(shù)趨近律用以加快趨近運動的速度，使用準(zhǔn)滑動模態(tài)控制解決在滑模面附近運動時的抖振問題.

趨近律形式為：

準(zhǔn)滑動模態(tài)使用：

經(jīng)反復(fù)驗證，ε取為5，k取為10時可以兼顧快速趨近與減小滑模面附近運動抖振這兩方面的要求.

方程（7）中δ是很小的正數(shù)，這稱為“將切換函數(shù)的繼電特性連續(xù)化”的方法.具體使用中，使用連續(xù)函數(shù)θ(s)，取代符號函數(shù)sign(s)，δ取在0.1左右.

當(dāng)初始滾轉(zhuǎn)角為5o，滾轉(zhuǎn)角速度為0時；未加入準(zhǔn)滑動模態(tài)時響應(yīng)結(jié)果如圖3所示：

圖3 指數(shù)趨近律駕駛儀仿真圖

由圖3的各響應(yīng)圖可知，使用等速趨近率后，滑模面附近舵面的偏轉(zhuǎn)幅值已經(jīng)較小，只有±1o左右，而且并沒有影響響應(yīng)速度.但在滑模面附近控制器還是有高頻抖振，執(zhí)行機(jī)構(gòu)依然無法在物理上實現(xiàn)這樣的控制要求.如果使用這樣的控制律，不但達(dá)不到良好控制效果，還會損壞舵機(jī)，所以還要改進(jìn).

加入準(zhǔn)滑模面控制，即將方程（7）的作用考慮進(jìn)去，用其替換方程（6）中的符號函數(shù)（sgn(s)），其中δ=0.05，初始滾轉(zhuǎn)角及其角速度不變.響應(yīng)結(jié)果仿真圖如圖4所示.

圖4 加入準(zhǔn)滑動模態(tài)的指數(shù)趨近律駕駛儀仿真圖

對圖4進(jìn)行分析會發(fā)現(xiàn)，在保持了前邊趨近律方式設(shè)計的滾轉(zhuǎn)自動駕駛儀的各項特性的基礎(chǔ)上，加入準(zhǔn)滑模運動還去掉了系統(tǒng)運動在滑模面附近時控制器輸出的高頻抖振，這就保證了該駕駛儀在保證控制效果的前提下，在物理上也是可以實現(xiàn)的.

3 變結(jié)構(gòu)滾轉(zhuǎn)自動駕駛儀與 PID滾轉(zhuǎn)自動駕駛儀控制效果對比

PID控制方式的自動駕駛儀結(jié)構(gòu)如圖5所示，主要通過調(diào)整 ks,kγ,kγ˙三個系數(shù)來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的時域指標(biāo)和頻域指標(biāo)[3].

圖5 PID自動駕駛儀結(jié)構(gòu)框圖

這里在同一個特征點進(jìn)行設(shè)計，kγ=-15.8751，Tγ=0.0702.其響應(yīng)結(jié)果仿真圖如圖6所示.在該特征點，通過調(diào)整三個比例系數(shù)，阻尼為0.707，過渡時間0.35s左右.

圖6 PID自動駕駛儀響應(yīng)仿真圖

將圖5與圖6進(jìn)行對比分析發(fā)現(xiàn)，5°的初始滾轉(zhuǎn)角通過0.35s左右就可以調(diào)整為0，兩駕駛儀有響應(yīng)速度都比較快，但是變結(jié)構(gòu)駕駛儀在調(diào)整過程中沒有超調(diào)，可以直接控制到0°，但PID駕駛儀會有9%左右的超調(diào)量；從滾轉(zhuǎn)角加速度來看，PID駕駛儀最大到-50deg/s，而變結(jié)構(gòu)駕駛儀只有-30deg/s，變結(jié)構(gòu)駕駛儀效果較好；從對執(zhí)行機(jī)構(gòu)的要求來看，PID駕駛儀最在需求舵偏角達(dá)到了 10°，而且有一定超調(diào)存在，變結(jié)構(gòu)駕駛儀最大舵偏只有4.5°左右就可以完成控制并且沒有超調(diào).

4 結(jié)束語

本文采用變結(jié)構(gòu)控制理論，結(jié)合導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)通道數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了基于變結(jié)構(gòu)控制理論的滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定自動駕駛儀.設(shè)計過程中采用了指數(shù)趨近律設(shè)計，將滑模運動分為了趨近運動和滑模運動兩部分，減小了系統(tǒng)在滑模在附近運動時的抖振；為了完全解決滑模面附過抖振問題，又引入了準(zhǔn)滑模運動的理論，完成了去抖任務(wù).最后，將所設(shè)計的變結(jié)構(gòu)自動駕駛儀與傳統(tǒng)PID設(shè)計方式的駕駛儀控制效果進(jìn)行仿真對比，證明了變結(jié)構(gòu)駕駛儀的優(yōu)越性.本文只針對導(dǎo)彈彈道中的某特征點進(jìn)行了設(shè)計，在實際應(yīng)用中可以在全彈道的多個特征點進(jìn)行設(shè)計，然后通過線性插值應(yīng)用到全部彈道中，可以取得良好的控制效果.

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