吳紅江

（國家輕工業(yè)樂器質量監(jiān)督檢測中心，北京 100122）

如同兩點確定一條直線，三點確定一個平面，鋼琴完美音律中的每一個音都需要通過與其具有不同音程關系的若干樂音來確定它的實際音高頻率。

1 琴弦振動存在著非諧性

琴弦的橫振動是一種復合振動，在整體（1/1）振動的同時還會分別作1/2、1/3、1/4……分段振動。琴弦振動示意圖見圖1。

所有橫振動產生的聲波的可聞域部分統(tǒng)稱諧音。大字組C音的諧音列如圖2所示：

諧音列的諧音序數(shù)內在含義如下：

（1）表示弦分幾段振動；

（2）表示各次諧音相對于基音（第一諧音）頻率的倍數(shù)；

（3）表示各個諧音之間的頻率比；

（4）表示各個諧音構成的音程之間的頻率比。

如果某一樂音的某次諧音與另一樂音的某次諧音的頻率相等，則此諧音為這兩個樂音的吻合諧音。如果構成某種音程的根音和冠音的吻合諧音的頻率出現(xiàn)偏離，則兩個聲波相互干涉而產生拍，其合成波出現(xiàn)周期性的幅值變化。拍的幅值變化會影響人

圖1 琴弦全長振動與分段振動示意圖

圖2 琴弦橫振動的諧音序列

注：五線譜中的第 7、11、14音明顯偏低，第13音明顯偏高的聽覺感受，調律就是要使諧和音程的拍幅值變化不要過于強烈，從而避免使人聽覺不適。

鋼琴琴弦的材料特性使得它的振動存在著非諧性。簡而言之，鋼琴琴弦的剛性使得它的實際振動長度短于理論振動長度，實際音高頻率要高于理論音高頻率。其示意圖見圖3：

圖中，f0為弦理想振動長度；f0'為受非諧性影響的弦振動的實際長度；f2為受非諧性影響的弦的1/2振動（產生2次諧音）的實際長度；f4為受非諧性影響的弦的1/4振動（產生4次諧音）的實際長度。圖2直觀地顯示出隨著諧音序數(shù)的增加，琴弦的諧音非諧性逐漸增大。

由于鋼琴調律是用音程之間的拍頻來進行音準校正，所以，琴弦振動的非諧性對其諧音頻率的影響就成為調律實踐必須考慮的問題。

2 為什么要使用檢驗音程

資深調律專家許音提出：根據 37A上行調試的八度音61A修正值為881.01 Hz，而不是理想的880.00 Hz。他給出修正公式如下：

即：某次諧音的頻率=諧音序數(shù)×該音基頻（由琴弦整體振動產生）×

其中，E為琴弦的縱向彈性模量、直徑、長度、張力等因素共同決定的常量。

不用考慮許音的公式從何而來，也不用考慮修正值從何而來，這些并不重要，因為琴弦的非諧性振動對應的現(xiàn)實頻率值必定存在一個偏離理論頻率值的常量關系。利用許音給出的修正公式，推出能說明調律方法的常量值即可。

在理想的平均律里面，各音的頻率值符合根據音程頻率比計算出的理論值。在調律實踐中，大三度經常被用作八度擴展的檢驗音程，現(xiàn)以利用大三度33F～37A檢驗八度37A～49A為例，根據許音公式及導出的常量值分析如下：（為了方便計算，假設根據《十二平均律音分頻率對照表》查得頻率值的各音的基頻完全等于理論值。）

（1）根據許音公式導出常量E：

（2）大三度音程頻率比為5:4，根據《十二平均律音分頻率對照表》可知37A=220.00 Hz，33F=174.61 Hz，則：

37A四次諧音的頻率修正值≈49A，二次諧音的頻率修正值=881.01 Hz；

33F五次諧音的頻率修正值

圖3 琴弦非諧性振動示意圖

可知，利用大三度33F～37A檢驗八度37A～49A所確定的49A的頻率值與利用八度37A～49A確定的49A的頻率值不等。若要使大三度33F～37A與大十度33F～49A在聽覺上拍頻一致（理論上一致），必須要使49A在八度37A～49A與大十度33F～49A（大三度33F～37A）之間做頻率折衷。（實踐中總能找到大三度與大十度拍頻一致的點，從側面證明了八度“純點”很寬的說法。）

上述結果表明，由于琴弦振動存在非諧性這一特性，通過某個音程而確定的某音的音高頻率，對于由該音所構成的其他音程而言并不完美。因為，鋼琴所使用的十二平均律是方便轉調的折衷律，因而任一音的音高頻率也要盡可能地適配較多的音程。這就是調律中要使用檢驗音程的原因。

3 在八度擴展中使用的檢驗音程

在八度擴展中常用的檢驗音程有雙八度（包括三八度等）、四度、五度、大三度（包括十度、十七度、二十四度等）。上文已對大三度音程檢驗對于八度擴展調律的影響作了分析，下面再分析一下四、五度音程檢驗對于八度擴展調律的影響。

（1）44E～49A為四度音程，音程頻率比為4:3，根據《十二平均律音分頻率對照表》可知49A=440.00 Hz，44E=329.63 Hz，則：

49A三次諧音的頻率修正值

44E四次諧音的頻率修正值

四度44E～49A修正頻率值拍頻=1323.56 Hz～1324.85 Hz=-1.29 Hz

四度44E～49A理論拍頻值=440 Hz×3-329.63 Hz×4=1320 Hz -1318.52 Hz=1.48 Hz

二者不但值不同，而且調試方向相反，現(xiàn)實中的上行四度出現(xiàn)了負拍（理論上是正拍）。如果想減輕聽覺不適，盡量保持和聲色彩，就要相互參照同冠音的（八度和五度）音程進行折衷調試。

（2）42D～49A為五度音程，音程頻率比為3:2，根據《十二平均律音分頻率對照表》可知42D=293.66 Hz，則：

五度42D～49A修正頻率值拍頻=881.01 Hz-883.36 Hz=-2.35

五度42D～49A理論拍頻值=440 Hz×2-293.66 Hz×3

=880.00 Hz -880.98 Hz =-0.98 Hz

二者調試方向一致，但現(xiàn)實中的拍頻明顯較快，使人聽覺不適，需要參照同冠音的（八度、四度）音程進行折衷調試。

將上述大三度音程與五度音程的計算結果對比如下：

三個值相對接近但還是存在著差異。由此可以再次證明：通過某個音程而確定某音的音高頻率對于由該音所構成的其他音程而言并不完美。因為，鋼琴所使用的十二平均律是方便轉調的折衷律，因而任一音的音高頻率也要盡可能地適配較多的音程。

由于音程寬窄決定和聲色彩，因此還可以導出一個重要概念：使用不同的音程進行檢驗所確定的八度音存在頻率差異，使用四、五度檢驗八度，還是使用大三度檢驗八度，是由曲子、演奏者或調律者所需要的和聲色彩決定的。

表1 理論值與頻率修正值之間的對比

表2 頻率修正值之間的對比

3 分律中的檢驗音程

從音樂的角度而言，現(xiàn)代分律法中普遍使用四度、五度、三度、六度音程的原因為：主音、屬音和下屬音是構成一個調式的最主要的三個音；屬音和下屬音分別與主音構成五度和四度音程；三度是構成和弦的基本音程，六度是三度的轉位。

從聽覺的角度實用性而言，現(xiàn)代分律法中普遍使用四度、五度、大三度、小三度、大六度作為分律音程。（小六度拍頻較快，一般無法作為拍頻參照音程使用。）在這些音程之間，拍頻存在如下幾組規(guī)律：

（1）圍繞五度音程的一組拍頻規(guī)律：小三度的根音與其冠音上方大三度構成五度音程，其中小三度拍頻快于大三度；

（2）圍繞四度音程的一組拍頻規(guī)律：大三度的根音與其冠音上方四度構成同根音的大六度音程，其中大六度拍頻快于大三度；

（3）圍繞四、五度音程間拍頻關系的一組規(guī)律：同根音或同冠音的四、五度音程中，四度拍頻快于五度。

其中，圍繞五度音程的一組拍頻規(guī)律與圍繞四度音程的一組拍頻規(guī)律又相互交織，在實踐中“你中又我”、“我中有你”，使分律結果具有了較高的精度。

為了削減琴弦振動非諧性對分律的影響，現(xiàn)代分律法一般將分律音程確定在一個八度之內，稱之為基準音組。目前國際上較普遍的方式是將基準音組設定在33F～44E（45F）。這是因為這一區(qū)域存在如下特點：

（1）各檢驗音程拍頻適中，人耳易于聽辨；

（2）琴弦全部為裸弦，長度適中，琴弦振動的非諧性成分影響較小，音高頻率接近理論值。

[1] 許音. 鋼琴維修調整與鋼琴調律[M]. 北京：中國輕工業(yè)出版社， 2002.