董正方，王君杰，王文彪，姚毅超

(同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海 200092)

20世紀(jì)70年代，研究者據(jù)地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)特征提出地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的反應(yīng)位移法。文獻(xiàn)［1-6］對(duì)其地基彈簧剛度、地震荷載的確定開(kāi)展大量研究。

反應(yīng)位移法所需的土層沿深度變化地震位移、剪應(yīng)力、加速度等數(shù)據(jù)可通過(guò)土層一維地震反應(yīng)分析獲得。工程場(chǎng)地地震安全性評(píng)價(jià)中會(huì)提供地震動(dòng)位移隨深度的變化，且地震動(dòng)峰值位移沿深度取值方法已有研究成果，直接應(yīng)用該成果可得土層沿深度變化的地震位移，但一般得不到土層剪應(yīng)力。因此研究土層剪應(yīng)力未知時(shí)，直接基于土層位移差求解反應(yīng)位移法很有必要。

1 反應(yīng)位移法理論推導(dǎo)

分析時(shí)分解成挖空土層與結(jié)構(gòu)，如圖1所示。其中FI為二者相互作用力向量;uI為二者接觸面總位移向量，等于挖空土層的位移uII與相互作用力FI產(chǎn)生的位移uI2之和;FI=kuI2，k為地基彈簧剛度矩陣。忽略阻尼影響，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:下標(biāo)I表示結(jié)構(gòu)與土層接觸面節(jié)點(diǎn)，S表示其余節(jié)點(diǎn);M，K為質(zhì)量、剛度矩陣;為加速度向量;R為影響系數(shù)向量;為地震加速度。

圖1 體系分解示意圖Fig.1 System decomposition

圖2 反應(yīng)位移法計(jì)算示意圖Fig.2 Response displacement method

將FⅠ用剛度與位移替換，移項(xiàng)慣性力，得:

式中:右邊加速度項(xiàng)括號(hào)內(nèi)之和為絕對(duì)加速度;利用上式求解即可無(wú)需土層剪應(yīng)力;uII為挖空土層位移，實(shí)際計(jì)算常用未挖空時(shí)位移uII，二者不同原因?yàn)榇嬖谕翆又g的剪力FF;因此式(2)可改為:

式中:上標(biāo)t表示絕對(duì)加速度，式(3)即常用反應(yīng)位移法理論方程。

推導(dǎo)過(guò)程表明，反應(yīng)位移法的地震荷載包括土層相對(duì)位移差、土層剪應(yīng)力、結(jié)構(gòu)慣性力。文獻(xiàn)［4］指出，除像輸水隧道等內(nèi)部質(zhì)量很大以外，在一般隧道中，慣性力影響增加不足1%。因本文重點(diǎn)研究土層位移與剪應(yīng)力影響，故可忽略慣性力。土層相對(duì)位移與剪應(yīng)力一般通過(guò)土層一維地震反應(yīng)分析得到;對(duì)土層簡(jiǎn)單情況，也可由計(jì)算得到［7］:

式中:u為土層位移，H為土層厚度，G為土動(dòng)剪切模量，τ為土層剪應(yīng)力，Sv為基巖速度反應(yīng)譜，T1為土層特征周期，z為深度。用公式看似簡(jiǎn)單，實(shí)際卻存在困難，尤其基巖速度反應(yīng)譜國(guó)內(nèi)并不常用。工程場(chǎng)地地震安全性評(píng)價(jià)中地震動(dòng)位移隨深度的變化及其它地震動(dòng)峰值位移沿深度的取值方法，均為未挖空土層位移。使用反應(yīng)位移法時(shí)，還需土層剪應(yīng)力。但土層剪應(yīng)力隨深度變化的研究較少。由上述推導(dǎo)可知，若有挖空土層位移，反應(yīng)位移法無(wú)需土層剪應(yīng)力。

挖空土層位移可通過(guò)二維土層地震反應(yīng)分析得到，但計(jì)算量較大;也可通過(guò)未挖空時(shí)位移得到挖空位移，只要知道二者關(guān)系即可。

2 土層位移關(guān)系

2.1 未挖空土層位移

無(wú)限土層在垂直向上的剪切地震波作用下的計(jì)算，可等效為在無(wú)限遠(yuǎn)處承受一定荷載Q的彈性理論平面接觸問(wèn)題，見(jiàn)圖 3［8］。

圖3 平面接觸模型Fig.3 Plane contact problem model

對(duì)圖3(a)，由彈性理論知在h范圍內(nèi)的挖空土層的水平位移差為［9］:

式中:γ為土層剪應(yīng)變;Δu為h范圍內(nèi)土層位移差。

而對(duì)圖3(b)需應(yīng)用平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)理論求解出復(fù)勢(shì)函數(shù)。將z平面上一個(gè)給定區(qū)域變成另一個(gè)復(fù)平面ζ上單位圓的外域映射函數(shù)普遍形式，用Laurent級(jí)數(shù)形式［10］表示為:

式中:R為正實(shí)數(shù)，反應(yīng)孔形大小;工程結(jié)構(gòu)通常至少有一個(gè)豎向?qū)ΨQ(chēng)軸，則Ck必為實(shí)數(shù);一般情況下，級(jí)數(shù)中只需取很少幾項(xiàng)即足夠精確。

2.2 圓形孔挖空位移

對(duì)圓形孔，其映射函數(shù)變?yōu)椋?0］:

式中:R為圓孔半徑。

其復(fù)勢(shì)函數(shù)可表示為:

代入已知量，利用柯西積分公式，得:

由位移公式［9］:

式中:ν為土體泊松比，分離實(shí)部與虛部得水平位移:

ρ取1，θ取 90°、270°時(shí)，可得圓孔上下部水平位移，二者相減得水平位移差為:

將式(5)代入，得兩位移關(guān)系為:

其中:η為位移差放大系數(shù)。因土體泊松比一般為0.2～0.4，故η的取值范圍為2.4 ～3.2。

2.3 矩形孔挖空位移

對(duì)矩形孔，其映射函數(shù)變?yōu)椋?1］:

式中:c為與矩形大小有關(guān)的實(shí)數(shù);cn(n=1，3，5，7)算式為［11］:

式中:k取決于矩形高寬比。c的計(jì)算式為:

式中:a，b為矩形寬、高度。假設(shè)一個(gè)k，通過(guò)式(17)求出cn，可得計(jì)算高寬比λ:

與實(shí)際高寬比b/a相比，反復(fù)迭代使誤差滿足要求，即可得到c。

為簡(jiǎn)化，映射函數(shù)可只取前兩項(xiàng)。推導(dǎo)過(guò)程同圓形孔，篇幅所限，只給出最后結(jié)果:

放大系數(shù)與土體泊松比及矩形形狀有關(guān)。

3 算例

利用上述關(guān)系，用反應(yīng)位移法即可由未挖空位移差得到挖空位移差，然后加到模型上，不再施加剪應(yīng)力，可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，尤其在未知剪應(yīng)力時(shí)。用典型算例驗(yàn)證上述方法的適用性。

3.1 典型結(jié)構(gòu)

選軟土中典型盾構(gòu)隧道及地下車(chē)站。盾構(gòu)隧道外徑7 m、內(nèi)徑6.3 m，中心埋深18.2 m;矩形地下車(chē)站高13 m、寬20.6 m，中心埋深9.467 m。土層參數(shù)按土層厚度加權(quán)平均，等效為中軟土，土層厚度100 m下為基巖。其余參數(shù)見(jiàn)表1。結(jié)構(gòu)尺寸見(jiàn)圖4。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters

圖4 結(jié)構(gòu)尺寸圖(單位:m)Fig.4 Cross section of structure(unit:m)

3.2 計(jì)算工況

考慮土體軟硬程度的影響，分別用假設(shè)的硬土與軟土代替中軟土;考慮本文方法的適用性，反應(yīng)位移法荷載分三種情況:① 使用一維土層地震反應(yīng)分析計(jì)算位移差及剪應(yīng)力，并作為基準(zhǔn)工況;② 使用①的位移差，不加剪應(yīng)力;③ 使用①的位移差乘以放大系數(shù)，不加剪應(yīng)力。各計(jì)算工況見(jiàn)表2。

表2 計(jì)算工況Tab.2 Computational cases

以結(jié)構(gòu)內(nèi)力為對(duì)象，考慮水平地震作用，選計(jì)算模型中關(guān)鍵截面作為控制截面，如圖5所示。

圖5 結(jié)構(gòu)截面力考察位置分布Fig.5 Distribution of observation points in the cross section

采用自編的Aduts有限元軟件，用三種方法分別計(jì)算不同工況。一維自由土層地震反應(yīng)計(jì)算用Pro-Shake，土應(yīng)力-應(yīng)變特性曲線與阻尼特性曲線分別用Seed和Idriss提出的砂土模型曲線;為較全面驗(yàn)證，基巖輸入地震波采用Taft波(下稱(chēng)Ta波)、Treas波(下稱(chēng)Tr波)及Petrolia波(下稱(chēng)Pe波)，如圖6所示，峰值加速度調(diào)整為0.1 g。

圖6 三條地震波Fig.6 Three earthquake accelerograms

3.3 基本參數(shù)計(jì)算結(jié)果

反應(yīng)位移法地基彈簧剛度用靜力有限元法計(jì)算;盾構(gòu)隧道壓縮彈簧剛度取平均值，剪切彈簧剛度取壓縮剛度的0.5倍［12］;地下車(chē)站底板、頂板、側(cè)板地基壓縮彈簧剛度分別取平均值，剪切彈簧剛度分別取壓縮彈簧剛度的1/3［13］。土層動(dòng)剪切模量取一維自由土層地震反應(yīng)結(jié)果;位移差放大系數(shù)按式(15)、(20)計(jì)算。Ta波結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 基本參數(shù)Tab.3 Essential parameters

3.4 結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算結(jié)果

結(jié)構(gòu)位置處的內(nèi)力最大值見(jiàn)表4、表5，誤差是相對(duì)法1的，車(chē)站A點(diǎn)取側(cè)板頂部?jī)?nèi)力，車(chē)站B點(diǎn)取側(cè)板彎矩及剪力、中板軸力。篇幅所限，只給出工況2、5的Ta波彎矩、剪力、軸力的分布圖，如圖7～圖12，其它工況結(jié)果類(lèi)似。

表4 隧道截面內(nèi)力Tab.4 Results of force in cross section of the tunnel

圖7 隧道彎矩分布圖Fig.7 Moment distribution of the tunnel

圖8 隧道剪力分布圖Fig.8 Shear force distribution of the tunnel

圖9 隧道軸力分布圖Fig.9 Axial force distribution of the tunnel

表5 車(chē)站考察截面的內(nèi)力Tab.5 Results of force in cross section of the station

圖10 車(chē)站彎矩分布圖Fig.10 Moment distribution of the station

圖11 車(chē)站剪力分布圖Fig.11 Shear force distribution of the station

圖12 車(chē)站軸力分布圖Fig.12 Axial force distribution of the station

由內(nèi)力結(jié)果看出:盡管三條地震波的頻譜特性不同，但其內(nèi)力隨土層軟硬變化的規(guī)律基本一致;三種方法的內(nèi)力分布形式基本一致;關(guān)鍵截面處內(nèi)力隨土層由硬變軟，誤差由大變小，說(shuō)明不太適宜硬土情況。

對(duì)圓形隧道，不考慮土層剪應(yīng)力時(shí)，關(guān)鍵截面內(nèi)力結(jié)果偏小60%左右，最大達(dá)約80%，與文獻(xiàn)［14］結(jié)論基本一致，土層剪應(yīng)力影響較大，不能忽略。用挖空位移時(shí)，關(guān)鍵截面彎矩及剪力硬土情況下偏大、軟土情況下偏小;截面剪力和彎矩偏大對(duì)截面驗(yàn)算偏于安全，偏小誤差在11%以?xún)?nèi);截面軸力偏小，但較不考慮剪力時(shí)誤差更小，偏小原因?yàn)榈鼗鶑椈蓜偠惹蠼鈺r(shí)忽略彈簧之間的相互影響也會(huì)造成軸力偏?。?］，通過(guò)提高地基彈簧剛度精度，誤差會(huì)減小;放大系數(shù)基于深埋，埋深增加，誤差也會(huì)減小;因此本文方法可行。

對(duì)矩形車(chē)站，不考慮土層剪應(yīng)力時(shí)規(guī)律與圓形隧道一致，故土層剪應(yīng)力影響也不能忽略。用挖空位移時(shí)，關(guān)鍵截面內(nèi)力一般偏大，個(gè)別情況偏小，偏小誤差在10%以?xún)?nèi);雖截面內(nèi)力有情況下偏大達(dá)約1.7倍，但較偏小安全。矩形車(chē)站誤差較大的重要原因?yàn)榈鼗鶑椈蓜偠惹蠼獯嬖谡`差，而土層位移差作用在結(jié)構(gòu)上通過(guò)地基彈簧，因此彈簧剛度誤差傳遞到內(nèi)力上;另一個(gè)原因是位移放大系數(shù)求解時(shí)，只取映射函數(shù)的前兩項(xiàng)，也會(huì)造成誤差;另外車(chē)站埋深較淺，而本文放大系數(shù)基于深埋;通過(guò)提高彈簧剛度精度、映射函數(shù)多取幾項(xiàng)、針對(duì)深埋結(jié)構(gòu)，可減少誤差，因此本文方法也是可行的。

4 結(jié)論

本文對(duì)基于土層位移差的反應(yīng)位移法求解進(jìn)行研究，并通過(guò)典型圓形隧道與矩形車(chē)站算例驗(yàn)證，結(jié)論如下:

(1)本文給出的無(wú)限均勻介質(zhì)中未挖空位移與挖空位移的解析關(guān)系，適用于土層均勻單一的圓形和矩形孔;土層位移差的放大系數(shù)，對(duì)圓形孔僅與土層泊松比有關(guān)，對(duì)矩形孔則與矩形形狀有關(guān)。

(2)基于土層位移差的反應(yīng)位移法適用于土層剪應(yīng)力難以獲取場(chǎng)合及埋深較大的地下結(jié)構(gòu);不適用硬土土情況。

(3)該法精度依賴(lài)于地基彈簧剛度的求解精度，對(duì)地基彈簧剛度求解要求較高。

本文提出的方法拓寬了反應(yīng)位移法的使用范圍，適用于地下結(jié)構(gòu)前期設(shè)計(jì)的抗震分析。

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