張利利，馬艷琴

(黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450063)

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的幾個(gè)分支的總稱，研究基于離散空間而不是連續(xù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．與光滑變化的實(shí)數(shù)不同，離散數(shù)學(xué)的研究對(duì)象——例如：整數(shù)、圖和數(shù)學(xué)邏輯中的命題——不是光滑變化的，而是擁有不等、分立的值．因此離散數(shù)學(xué)不包含微積分和分析等“連續(xù)數(shù)學(xué)”的內(nèi)容．離散對(duì)象經(jīng)常可以用整數(shù)來(lái)枚舉．更一般地，離散數(shù)學(xué)被視為處理可數(shù)集合的數(shù)學(xué)分支．但是，“離散數(shù)學(xué)”不存在準(zhǔn)確且普遍認(rèn)可的定義．實(shí)際上，離散數(shù)學(xué)經(jīng)常被定義為不包含連續(xù)變化量及相關(guān)概念的數(shù)學(xué)，甚少被定義為包含什么內(nèi)容的數(shù)學(xué)．

離散數(shù)學(xué)近幾十年來(lái)因?yàn)樗谟?jì)算機(jī)科學(xué)上的應(yīng)用備受關(guān)注．由于運(yùn)算對(duì)象是離散的，所以計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基本上也是離散的．我們可以說(shuō)計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是離散數(shù)學(xué)．人們會(huì)使用離散數(shù)學(xué)里面的概念和表示方法，來(lái)研究和描述計(jì)算機(jī)科學(xué)下所有分支的對(duì)象和問(wèn)題，如電腦運(yùn)算、編程語(yǔ)言、密碼學(xué)、自動(dòng)定理證明和軟件開(kāi)發(fā)等．相反地，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用使離散數(shù)學(xué)的概念得以應(yīng)用于日常生活當(dāng)中(如運(yùn)籌學(xué))．雖然離散數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象是離散對(duì)象，但是連續(xù)數(shù)學(xué)的分析方法往往也可以采用．?dāng)?shù)論就是離散和連續(xù)數(shù)學(xué)的交叉學(xué)科．同樣的，有限拓?fù)?對(duì)有限拓?fù)淇臻g的研究)從字面上可看作離散化和拓?fù)涞慕患?/p>

離散數(shù)學(xué)課程是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心基礎(chǔ)理論課程，它為后續(xù)部分計(jì)算機(jī)課程的學(xué)習(xí)提供了必須的理論基礎(chǔ)．通過(guò)離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅可以掌握離散量的結(jié)構(gòu)及相互間的關(guān)系，并且可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、符號(hào)演算及總結(jié)概括的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、操作系統(tǒng)、編譯理論、人工智能、算法分析、信息安全等課程打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．

1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

黃河科技學(xué)院作為河南省的三本院校，其定位為培養(yǎng)“應(yīng)用性”本科人才，教學(xué)上要體現(xiàn)“應(yīng)用性”，而現(xiàn)今離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法還比較傳統(tǒng)，與學(xué)院的教學(xué)定位不相符合．

一般離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容包括4個(gè)相對(duì)獨(dú)立的模塊，即數(shù)理邏輯、二元關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論等，內(nèi)容豐富、廣泛，相對(duì)理論知識(shí)較為集中，學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度，傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)注重定義的解釋，定理的推導(dǎo)，手工演算的培訓(xùn)，缺乏用離散數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這使學(xué)生普遍覺(jué)得離散數(shù)學(xué)理論性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)多，不知學(xué)而何用．從而在學(xué)習(xí)這門(mén)課程時(shí)，喪失其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，更不用談其創(chuàng)造性．

本文從目前離散數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問(wèn)題入手，提出基于三本院校計(jì)算機(jī)專業(yè)的的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等方面入手，增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)效果．本項(xiàng)目從教學(xué)方法、計(jì)算機(jī)軟件的合理利用方面展開(kāi)：主要是離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容如何與實(shí)際結(jié)合的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是理論和實(shí)際的關(guān)系問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課獨(dú)具特色之處．第二個(gè)是離散數(shù)學(xué)教學(xué)中輔助教學(xué)、計(jì)算工具使用的問(wèn)題，這是計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)普及后產(chǎn)生的新問(wèn)題．

2 教學(xué)目標(biāo)的改革

根據(jù)國(guó)家獲獎(jiǎng)項(xiàng)目《教育部計(jì)算機(jī)科學(xué)類專業(yè)面向21世紀(jì)教學(xué)計(jì)劃與課程體系改革研究(編號(hào):13-22)》(以下簡(jiǎn)稱《改革研究》)的觀點(diǎn)，本科計(jì)算科學(xué)專業(yè)教育存在兩類基本的教學(xué)計(jì)劃．a(chǎn)類教學(xué)計(jì)劃的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)計(jì)算科學(xué)學(xué)術(shù)人才與技術(shù)人才，著眼于學(xué)生未來(lái)成為主任工程師、總工程師、教授、學(xué)者和高級(jí)專業(yè)管理部門(mén)主管官員；b類教學(xué)計(jì)劃的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)職業(yè)技術(shù)熟練的軟硬件生產(chǎn)、開(kāi)發(fā)、經(jīng)營(yíng)、維護(hù)工程師，以及專業(yè)技術(shù)管理工程師．在教學(xué)方面，a類教學(xué)計(jì)劃重在基礎(chǔ)理論、基本技術(shù)、科學(xué)研究、專業(yè)技術(shù)研究與開(kāi)發(fā)能力的培養(yǎng)；b類教學(xué)計(jì)劃重在基礎(chǔ)理論、基本技術(shù)、應(yīng)用技術(shù)、實(shí)際應(yīng)用與開(kāi)發(fā)能力的培養(yǎng)．而對(duì)于一般的三本院校都是應(yīng)用型大學(xué)，本科的計(jì)算科學(xué)專業(yè)應(yīng)該屬于b類．但是，通過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，三本院校的教師在離散數(shù)學(xué)課程的講授過(guò)程中還是按照一本院校數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)大綱，過(guò)于側(cè)重理論性，沒(méi)有實(shí)驗(yàn)課，也沒(méi)有講授和計(jì)算機(jī)專業(yè)的其他課程之間的聯(lián)系．鑒于此，三本院校應(yīng)該根據(jù)本校學(xué)生的實(shí)際情況，制定新的教學(xué)大綱，確定教學(xué)內(nèi)容；根據(jù)離散數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)，探索新的行之有效的教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生能夠掌握離散數(shù)學(xué)的基本思想、概念和方法，為深入學(xué)習(xí)后續(xù)課程和其他計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)理論課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和概括歸納能力．

3 教學(xué)內(nèi)容的改革

一般的三本院校采用的是西安電子科技大學(xué)出版的方世昌編著的《離散數(shù)學(xué)》，內(nèi)容包含數(shù)理邏輯、集合、二元關(guān)系、函數(shù)、無(wú)限集合、代數(shù)、格和布爾代數(shù)、圖論等八章內(nèi)容．在新的教學(xué)大綱的制定過(guò)程中，要考慮到三本院校的學(xué)生基礎(chǔ)較差，接受理論知識(shí)比較慢等特點(diǎn)，可將教材上的內(nèi)容作適當(dāng)?shù)膭h減和補(bǔ)充．將課時(shí)由52增加到56．

重點(diǎn)講授內(nèi)容放在數(shù)理邏輯、集合論和圖論上面，將理論性較強(qiáng)的部分代數(shù)系統(tǒng)里面的內(nèi)容做適當(dāng)?shù)膭h減，只講代數(shù)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單概念和群；格和代數(shù)系統(tǒng)中只講布爾代數(shù)；無(wú)限集合完全刪掉；圖論中刪掉運(yùn)輸與網(wǎng)絡(luò)．

其中課時(shí)的分配為數(shù)理邏輯16學(xué)時(shí)，集合為4學(xué)時(shí)，二元關(guān)系為14學(xué)時(shí)，函數(shù)為2個(gè)學(xué)時(shí)，代數(shù)為2個(gè)學(xué)時(shí)，格與布爾代數(shù)為2個(gè)學(xué)時(shí)，圖論為10個(gè)學(xué)時(shí)．最后加上實(shí)驗(yàn)課6個(gè)學(xué)時(shí)．

4 教學(xué)模式的改革

4.1 教學(xué)思想、教學(xué)觀念改革

(1)在課堂教學(xué)中，我們從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，精選具有充分代表性、源于實(shí)際問(wèn)題的典型例題與案例，通過(guò)講解這些從實(shí)踐中抽取并經(jīng)過(guò)精心改造和設(shè)計(jì)的例題和案例，讓學(xué)生逐步掌握處理問(wèn)題的方式方法，逐步建立起學(xué)生應(yīng)該掌握的離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)框架．

(2)每周安排一次習(xí)題課，由指導(dǎo)教師集中解決學(xué)生課上課下遇到的問(wèn)題．我們?cè)谶x擇習(xí)題時(shí)，一方面注重“三基”(基本理論、基本方法、基本技能)知識(shí)的掌握，另一方面也充分考慮知識(shí)的靈活應(yīng)用，使學(xué)生能多角度、多方法地解決問(wèn)題，既鍛煉了他們的系統(tǒng)性思維，又提高了他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

(3)撰寫(xiě)學(xué)期論文，加強(qiáng)能力培養(yǎng)．在課余時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生閱讀各種文章，查閱資料，對(duì)感興趣的課題，刻苦鉆研，寫(xiě)出很多具有一定深度的論文，為以后進(jìn)一步的研究和學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．通過(guò)多種教學(xué)方法的靈活應(yīng)用，既培養(yǎng)了學(xué)生的理論涵養(yǎng)，又鍛煉了學(xué)生的計(jì)算能力，提高了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

4.2 教學(xué)方法和手段改進(jìn)

(1)基礎(chǔ)理論與學(xué)科應(yīng)用相結(jié)合．在離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該在講解分析理論基礎(chǔ)上結(jié)合學(xué)科應(yīng)用，這無(wú)論從學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)，還是利于學(xué)生的學(xué)習(xí)掌握考慮，均是必須注意到的一點(diǎn)．為此，我們結(jié)合當(dāng)今計(jì)算機(jī)技術(shù)的最新發(fā)展動(dòng)態(tài)，適當(dāng)增加《離散數(shù)學(xué)》在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用的內(nèi)容，如謂詞邏輯在人工智能知識(shí)表示中的應(yīng)用，代數(shù)系統(tǒng)中的域在網(wǎng)絡(luò)安全密鑰加密中的應(yīng)用等．并且在課堂上還引入了近年來(lái)在國(guó)內(nèi)剛剛興起的，備受大學(xué)生關(guān)注和歡迎的大學(xué)生程序設(shè)計(jì)大賽以及數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的經(jīng)典題目分析與實(shí)際案例，使得算法理論的證明和演算能和大學(xué)生程序設(shè)計(jì)大賽、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和掌握各種離散結(jié)構(gòu)和離散數(shù)學(xué)模型，更好地解決實(shí)際問(wèn)題．

(2)采用啟發(fā)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維．通過(guò)研究，我們發(fā)現(xiàn)，離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容雖然“散”，但可以用一條主線貫穿始終，即是離散數(shù)學(xué)討論的內(nèi)容大多包含兩個(gè)方面：研究一個(gè)系統(tǒng)中涉及到的靜態(tài)(組成元素)與動(dòng)態(tài)(運(yùn)算、操作、推理)，如集合論中是集合元素及其上的集合運(yùn)算，數(shù)理邏輯中是邏輯公式與推理，代數(shù)結(jié)構(gòu)中是集合與其上的運(yùn)算兩方面，而且，并將此與整個(gè)計(jì)算機(jī)學(xué)科的本質(zhì)思想結(jié)合起來(lái)，如程序的運(yùn)行(用變量即元素來(lái)表示的狀態(tài)與狀態(tài)的變換)等，這樣地類比歸納有利于學(xué)生的理解理論和理清思路．

(3)教學(xué)中注重從講授型向研究型的轉(zhuǎn)變．為了建立教師授課-學(xué)生自學(xué)，以及教師-學(xué)生互動(dòng)的教學(xué)模式，我們采用大討論與研究相結(jié)合的形式，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)和重點(diǎn)增加了專題討論課，實(shí)行參與式教學(xué)．此外，作為課堂教學(xué)的延續(xù)，我們通過(guò)布置小課題供個(gè)人思考或分組討論，并要求學(xué)生匯報(bào)過(guò)程和結(jié)果或提交論文，同時(shí)，教師應(yīng)就過(guò)程及結(jié)果的合理性、正確性做出適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和進(jìn)一步的引導(dǎo)．另外，作為輔助性手段，可有的放矢地選擇、編印一些有關(guān)論文的部分或全部供學(xué)生參考、學(xué)習(xí)，通過(guò)對(duì)論文細(xì)節(jié)、過(guò)程以及整體的分析研究，將作者的創(chuàng)造性思維浮現(xiàn)在具體的過(guò)程和結(jié)論上，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)．

4.3 鼓勵(lì)學(xué)生參加課外培訓(xùn)

為了建立教師授課到學(xué)生自學(xué)，以及教師和學(xué)生互動(dòng)的教學(xué)模式，作為課堂教學(xué)的延續(xù)，我們鼓勵(lì)學(xué)生參加學(xué)校的每周末舉辦的數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班，在培訓(xùn)班上，我們采用大討論與研究相結(jié)合的形式，通過(guò)布置小課題供個(gè)人思考或分組討論，并要求學(xué)生匯報(bào)過(guò)程和結(jié)果或提交論文，同時(shí)，教師應(yīng)就過(guò)程及結(jié)果的合理性、正確性做出適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和進(jìn)一步的引導(dǎo)．最終通過(guò)培訓(xùn)，鼓勵(lì)學(xué)生參加今年9月份的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽．

參考文獻(xiàn)：

[1]洪凡.離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2008.

[2]屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2009.

[3]Rosen K H.Discrete mathematics and Its Applications[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

[4]方世昌.離散數(shù)學(xué)[M].西安:西安電子大學(xué)出版社，2009.