學(xué)習(xí)“歐氏證法”的意外收獲

蘇科版教材第88頁(yè)“閱讀”提及歐幾里得編纂的《原本》中證明勾股定理的一種方法，請(qǐng)看：

如圖1，四邊形ABFE、AJKC、BCIH分別是以Rt△ABC的三邊為邊的正方形.

這個(gè)證法的難點(diǎn)是理解“正方形BCIH的面積=2△ABH的面積”及“長(zhǎng)方形BFGD的面積=2△FBC的面積”.

記得自己在只看輔助線想找到解題思路時(shí)，曾又添出如下的輔助線（如圖2，連接KI，延長(zhǎng)DC交KI于L），但無(wú)功而返，還是看教材上的思路提示才弄懂了.

但是，上述新添出來(lái)的輔助線雖然沒(méi)有幫助我理解勾股定理的證明，卻發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有意思的結(jié)論：點(diǎn)L恰為KI的中點(diǎn)！

請(qǐng)看我的思考：在圖3中（只考慮了上述圖形的上半部），分別作IN⊥CL，KM⊥CL，垂足分別為N，M.

模仿在圖1中先考慮“左半圖形”的思考方式，可以先證明△CBD≌△ICN，從而得到IN=CD；同樣，在“右半圖形”中有△KMC≌△CDA，從而得到KM=CD. 于是KM=IN，從而可證△KML≌△INL，于是點(diǎn)L恰為KI的中點(diǎn).

有意思的是，這個(gè)結(jié)論可以一般化，從上述證明思路來(lái)看，即只要是在△ABC（可以是一般三角形）的兩邊CB，CA向外作正方形，則AB邊上的高CD一定平分線段KI.

數(shù)學(xué)解題真是有趣，在準(zhǔn)備進(jìn)攻一個(gè)目標(biāo)時(shí)，卻能順帶著發(fā)現(xiàn)很多其他的結(jié)論.

教師點(diǎn)評(píng)：小作者在研習(xí)“歐幾里得證法”時(shí)，卻在“思維回路”處發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的基本圖形及性質(zhì)，事實(shí)上，這正是陜西師范大學(xué)羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論（第二版）》一書(shū)中關(guān)于面積理論的一條深刻定理：面積相等的三角形必是剖分相等的. 即若兩個(gè)三角形可以分成兩兩對(duì)應(yīng)全等的三角形，則稱(chēng)這兩個(gè)三角形為剖分相等的三角形. 而且這個(gè)定理的證明方法也不下10種?。艚o有興趣的同學(xué)繼續(xù)鉆研）

最后不妨再留一道與之相關(guān)的基礎(chǔ)問(wèn)題供同學(xué)們鞏固理解：

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（指導(dǎo)教師：江海人）