分析高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換

何慶文

摘要：三角函數(shù)變換就是利用三角函數(shù)公式把三角式從一種形態(tài)變換為另外一種形式，三角函數(shù)的變換具備多向性、不定性，因此，在變換的過(guò)程中有很多方法.本文就根據(jù)實(shí)際例子來(lái)對(duì)高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換做出剖析.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)； 三角函數(shù)； 轉(zhuǎn)變

由于三角函數(shù)的變換具有多向性、不定性，因此，學(xué)生對(duì)其理解不是很透徹，也比較難掌握每一種方法，但是“萬(wàn)變不離其宗”，其變化的基本思想與規(guī)律是不會(huì)變換的，下面進(jìn)行詳細(xì)分析.

一、三角函數(shù)變換中的幾種常見(jiàn)類型

1.函數(shù)名稱變換.在三角函數(shù)變換中，最為常見(jiàn)的是函數(shù)的名稱變換，在名稱變換的情況中最為常見(jiàn)的是切割化弦.對(duì)于三角函數(shù)名稱的變換我們可以從化函數(shù)或者是化形式的方面進(jìn)行思考.

在三角函數(shù)中，正弦與余弦是六個(gè)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，也是應(yīng)用最為廣泛的，其次是正切、余切，我們只需要將變換了的三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)換成為同名的三角函數(shù)，就能夠成為我們常見(jiàn)的三角函數(shù).比較常見(jiàn)的方式是“切割化弦”、“齊次弦代切”這兩種轉(zhuǎn)化方式.

2.三角函數(shù)“角”的變換.“角”的變換主要體現(xiàn)在了三角函數(shù)中的差角、余角、補(bǔ)角、半角等之間相互轉(zhuǎn)換.隨著三角函數(shù)“角”的變換，其相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)、名稱、次數(shù)都會(huì)出現(xiàn)一定的變化，在解題的過(guò)程中，我們只需要認(rèn)準(zhǔn)三角角度之間的和、差、半、補(bǔ)、余等關(guān)系，利用已知的“角”來(lái)表示未知的“角”，然后再根據(jù)相關(guān)的關(guān)系運(yùn)算，就能夠順利的解決三角函數(shù)的求解問(wèn)題.

例1 設(shè)A、B均是銳角，且cos（A+B）=1213，cos（2A+B）=35，求cosB=？

分析：從題目中我們知道“已知角”是（A+B）、（2A+B），，B=2（A+B）-（2A+B）.

比較這三者之間的關(guān)系，我們只需要將B用A+B、2A+B表示出來(lái)，再利用兩角差的余弦公式就能夠輕松的解出cosB.

解：略.

3.三角函數(shù)“形”的變換.我們?cè)趯?duì)三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、求簡(jiǎn)或者求值的過(guò)程中，會(huì)根據(jù)一些情況來(lái)講一些常數(shù)，比如1，2，1+2等轉(zhuǎn)換成為與其相關(guān)的三角函數(shù)，其中利用常數(shù)1來(lái)轉(zhuǎn)換是比較常見(jiàn)的.

從上文我們知道了，遇到這種情況，先利用已知條件，因此，我們利用“弦化切”來(lái)進(jìn)行解答.我們利用整式中的分母都是相同4的情況，將其轉(zhuǎn)換為1，將分母“1”轉(zhuǎn)化為：sin2α+cos2α，從而簡(jiǎn)化解答.

在解答的過(guò)程中，我們要遵循由繁到簡(jiǎn)、由簡(jiǎn)到易的規(guī)律.

二、幾種比較常用的三角函數(shù)變換解題方法

1.將“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換.將“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換是在平常的解答三角函數(shù)中比較常見(jiàn)的也是兩種基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)換手法.

如，在三角函數(shù)式中存在正切函數(shù)，我們就可以利用三角函數(shù)之間最為基本的關(guān)系或者是利用將“弦函數(shù)”轉(zhuǎn)換為“切函數(shù)”來(lái)進(jìn)行求解或者是證明.這種方法比較簡(jiǎn)單，學(xué)生掌握起來(lái)也比較快，在三角函數(shù)式中應(yīng)用比較廣泛.

2.采用“角”的等量代換.如，在三角函數(shù)中出現(xiàn)已知角與所求角時(shí)，我們要判斷兩者之間的相互關(guān)系，在確定兩者之間存在某種關(guān)系的時(shí)候，我們就可以采用“角”之間的等量代換.

比如，α=（α+β）-β=β-（β-α）=（α+β）2+（β-α）2.

采用比較簡(jiǎn)單的“角”變換就能夠?qū)⒁恍┎蝗菀捉獾念}目變換為我們熟悉的題目來(lái)進(jìn)行求解.

3.公式逆用或者變用對(duì)于公式或者定理，我們可以對(duì)其進(jìn)行反推（從結(jié)果開始證明到題目），或者是將公式變換來(lái)進(jìn)行用，會(huì)取到意想不到的效果.當(dāng)然這必須建立在對(duì)公式或者定理足夠熟悉的基礎(chǔ)上，比如我們可以讓學(xué)生熟練的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x這些基礎(chǔ)的三角函數(shù)公式，并作出引導(dǎo)的證明或者變換的證明，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，達(dá)到熟能生巧的地步.

除以上的基本解題方法，我們?cè)诮淌趯W(xué)生的過(guò)程中要培養(yǎng)學(xué)生如何自己去解題，不是只會(huì)記“題”，要記住“題型”，會(huì)變換“題型”，我們所知的三角公式比較多，在解題的過(guò)程中假如沒(méi)有選對(duì)公式或者選錯(cuò)了方向，那么解題過(guò)程就是一個(gè)泥潭，會(huì)越陷越深，在進(jìn)行三角函數(shù)的變換過(guò)程中要：公式選擇必須謹(jǐn)，角的范圍盡量小，變量統(tǒng)一變，不局限一種方法，綜合考慮.

三角變換的基本思想可以總結(jié)如下：找差異、建聯(lián)系、選公式、促轉(zhuǎn)化，在三角函數(shù)中無(wú)論題目是要求求值化簡(jiǎn)，還是要求我們證明某一結(jié)論，我們都應(yīng)該將題目的中已知轉(zhuǎn)化為未知，這也是所有解題的方法之一.根據(jù)整體已知的條件，找取相應(yīng)的部分定理?xiàng)l件，或者是角之間的差異，或者是函數(shù)名稱的差異，在找到差異之后，整個(gè)題目就迎刃而解了.

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