王友保 祝 瀟

(1.南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象傳感網(wǎng)技術(shù)工程中心，江蘇 南京 210044； 2.香港中文大學(xué)電子工程系，香港 999077)

引 言

在頻域上預(yù)測任意形狀導(dǎo)體的雷達(dá)散射截面，矩量法(Method of Moments，MoM)[1]是一種被廣泛采用的有效工具，但MoM只能逐個頻點進行計算，其工作效率不高，因此許多科研人員一直在開發(fā)電場積分方程MoM的快速求解技術(shù)[2-4].另外，特征函數(shù)具有一定的物理意義，研究人員常常利用它們對電磁問題進行分析[5-8].

基于在感興趣的源區(qū)域和場區(qū)域稻垣模具有正交性和完備性的特點[5]，提出了在一個頻帶上快速預(yù)測導(dǎo)體雷達(dá)散射截面的稻垣模和廣義漸近波形估計(General Asymptotic Waveform Evaluation，GAWE)[9]的混合技術(shù).在這個新技術(shù)中，用稻垣模作為基矢構(gòu)建矩陣方程的解空間，方程的解可通過一組系數(shù)將這些基矢組合得到，而這組系數(shù)在外推頻點通過廣義漸近波形估計技術(shù)得到.文中給出的幾個算例結(jié)果表明新算法是有效準(zhǔn)確的.

1 理論分析

導(dǎo)體表面的電場積分方程可以寫成下列矩陣形式[10]

Z(k)x(k)=v(k)，

(1)

式中：Z(k)是已知的阻抗矩陣；v(k)是已知的入射場矢量；k是波數(shù).在求解方程(1)后，可得導(dǎo)體表面電流J為：

(2)

式中：xn是方程(1)中未知量x(k)的第n個分量；N是未知量總數(shù)；Fn是RWG (Rao Wilton Glisson)[10]矢量基函數(shù).通過電流J可確定散射電場，從而算出雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section，RCS).

1.1 稻垣模

方程(1)可以變形為

Z(k)HZ(k)x(k)=Z(k)Hv(k)，

(3)

式中：Z(k)H是Z(k)的伴隨算子，上標(biāo)H表示矩陣的共軛和轉(zhuǎn)置.算子Z(k)HZ(k)是厄密特(Hermitian)算子，令M(k)=Z(k)HZ(k)，可選取電流gi滿足下列方程

M(k)gi=λigi，

(4)

式中：M(k)為特征值方程；λi是特征值；gi是特征函數(shù)(又稱稻垣模).厄密特算子M(k)的特性確保了特征值是實的且是半正定的，特征函數(shù)在源區(qū)是正交完備的[5]，因此方程(3)的解可寫為

(5)

在給定頻點k0處，解空間G(k)的基矢(稻垣模)gi(k)可以寫為[11]

gi(k)=gi(k0)+Vci(k)gi(k0),

i=1,2,…，N，

(6)

式中Vci(k)是k的函數(shù).將式(6)代人式(5)，可得

=G(k0)s(k)

(7)

式中

s(k)=[c1(1+Vc1(k)),c2(1+Vc2(k)),

…,cN(1+VcN(k))]T.

因此，在得到k0處的解空間G(k0)后，通過系數(shù)矢量s(k)可以得到方程(1)的解.

1.2 GAWE技術(shù)

將式(7)代入方程(1)有

Z′(k)s(k)=v(k)，

(8)

式中，Z′(k)=Z(k)G(k0)，求解方程(1)中x(k)的問題就轉(zhuǎn)化為求解方程(8)中的s(k).根據(jù)GAWE技術(shù)[9]，在k0附近，方程(8)的解s(k)可以表示如下

(9)

式中：b0是每個分量均為1的N維列矢量；a0,a1,…,aL和b1,…,bM均為N維列矢量，并且由GAWE技術(shù)確定.詳細(xì)求解過程參見文獻[9].另外，對于一個固定的導(dǎo)數(shù)階數(shù)L+M，當(dāng)取L=M或L=M+1時，誤差是最小的[12].一旦求得s(k)，通過式(8)就給出了x(k)，從而根據(jù)式(2)就可以給出導(dǎo)體表面的電流分布，進而每個頻點的RCS就可以被確定了.

2 數(shù)值分析

本節(jié)算例均以頻率步長為0.1 GHz，分別對6階導(dǎo)數(shù)(L=3,M=3)和8階導(dǎo)數(shù)(L=4,M=4)情況下的單站后向RCS的頻率響應(yīng)進行計算.入射平面波電場E的極化方向設(shè)定為y軸方向，傳播方向設(shè)定為k，相應(yīng)磁場H的極化方向沿y軸方向，入射波均畫在相應(yīng)算例頻率響應(yīng)圖中.為了比較，同時給出了通常的外推技術(shù)漸近波形估計(Asymptotic Waveform Evaluation，AWE)的結(jié)果和矩量法方法的結(jié)果.所有的計算都是在同一臺計算機上進行的.該計算機配置為Dell Sever PE6800，Intel(R) Xeon(TM)，3.00 GHz， 2.99 GHz ，31.9 GB of RAM.

2.1 算例1

將中心有一半徑為0.7 cm圓孔的方導(dǎo)體板(2 cm×2 cm)離散成712個小三角區(qū)域，這樣便有1 004個未知電流系數(shù).展開頻點選在15 GHz，研究的頻率范圍為10～20 GHz.對于6階導(dǎo)數(shù)、8階導(dǎo)數(shù)情況的運算，新技術(shù)計算耗時為203 s和297 s、 AWE技術(shù)計算耗時為188 s和280 s， MoM方法計算耗時為995 s.顯然，用新技術(shù)、AWE技術(shù)預(yù)測RCS的計算速度要比MoM方法快得多.這是因為MoM方法中，每個頻點均需求解矩陣方程，得到電流分布后，再算出RCS；而在AWE方法中，只需在展開頻點解矩陣方程，得到匹配系數(shù)，進而求得各個頻點的電流分布及RCS；類似地，在新方法中，也只需在展開頻點解矩陣方程，得到作為解空間基矢的稻垣模和匹配系數(shù)，進而求得各個頻點的電流分布及RCS.由此可見，MoM方法因多次求解矩陣方程，求矩陣逆的過程中要花費大量時間，所以，在預(yù)測一定頻率范圍的RCS時，MoM方法比AWE技術(shù)、新技術(shù)運算均要慢得多.另外，新技術(shù)與傳統(tǒng)AWE技術(shù)相比，在同階導(dǎo)數(shù)情況下，運算速度略慢，但外推頻率范圍更大(參見圖1).造成上述情況的原因是在新技術(shù)中需要計算展開頻點處的稻垣模，從而比AWE技術(shù)多花一些時間；至于新技術(shù)展開頻率范圍更大的原因在于稻垣模是根據(jù)矩陣方程中的阻抗矩陣求得的，阻抗矩陣元素與散射物的幾何特性有關(guān)，也就是說，稻垣模帶有散射物的幾何特征信息，由此導(dǎo)致新技術(shù)比AWE技術(shù)外推頻率范圍更大.從圖1也可看出，用新技術(shù)進行頻率外推是有效的.

圖1 帶孔方板的單站RCS頻率響應(yīng)

2.2 算例2

考慮一個由兩塊1 cm×1 cm導(dǎo)體方板組成的60°角板的散射情況.將該角板表面剖分為632個三角形子區(qū)域，相應(yīng)有918個電流未知系數(shù).頻率展開點選在25 GHz，研究的頻率范圍為15～40 GHz.對于6階導(dǎo)數(shù)、8階導(dǎo)數(shù)情況的運算，新技術(shù)計算耗時為155 s和 225 s、 AWE技術(shù)計算耗時為141 s和 207 s， MoM方法計算耗時為1 739 s.數(shù)值結(jié)果參見圖2，該算例所得結(jié)論類似帶孔導(dǎo)體方板算例1的結(jié)論.

圖2 角板的單站RCS頻率響應(yīng)

2.3 算例3

分析一個1 cm×1 cm×1 cm立方導(dǎo)體的散射情況.將該立方導(dǎo)體表面剖分為588個三角形子區(qū)域，相應(yīng)有882個電流未知系數(shù).頻率展開點選在15 GHz，研究的頻率范圍為2～30 GHz.對于6階導(dǎo)數(shù)、8階導(dǎo)數(shù)情況的運算，新技術(shù)計算耗時為131 s和 186 s、 AWE技術(shù)計算耗時為121 s和 171 s， MoM方法計算耗時為1 155 s.數(shù)值結(jié)果參見圖3，該算例所得結(jié)論類似上述兩個算例的結(jié)論.

圖3 立方體的單站RCS頻率響應(yīng)

3 結(jié) 論

提出了將稻垣模與GAWE技術(shù)相結(jié)合的快速分析任意形狀導(dǎo)體RCS的綜合技術(shù).從所給的算例來看，新技術(shù)是一個有效、準(zhǔn)確的算法.另外，需特別強調(diào)的是雖然數(shù)值最終結(jié)果給出的是RCS的頻率外推，但實際上在此之前，首先要進行稻垣模的頻率外推，這就暗示了帶有一定物理意義的稻垣模分析其他電磁問題時也將會有所幫助.

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