崔昕昕

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安710071)

時(shí)差法(Time Differences of Arrival，TDOA)是當(dāng)前高精度無源定位的主要方法之一。在眾多領(lǐng)域內(nèi)具有廣泛應(yīng)用，例如雷達(dá)、聲納、地理以及生物醫(yī)學(xué)等?；镜臅r(shí)差估計(jì)方法包括廣義相關(guān)法、廣義雙譜估計(jì)法、全波形比較法及自適應(yīng)估計(jì)法等［1］。

在時(shí)差估計(jì)算法中，相關(guān)時(shí)差估計(jì)算法［2］是最經(jīng)典的算法之一。其通過求得站間接收信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)最大峰值出現(xiàn)的時(shí)間差來估計(jì)站間時(shí)差。

雷達(dá)偵察機(jī)前端的信號(hào)頻率通常效高，對(duì)數(shù)字采樣提出了高要求，在這種情況下，欠采樣方法［3］就顯得尤為重要。如何將高頻信號(hào)通過合理的采樣頻率恢復(fù)出來，是一個(gè)實(shí)際問題。

本文的重點(diǎn)是通過多周期取點(diǎn)采樣法，在欠采樣的條件下對(duì)相關(guān)時(shí)差算法和時(shí)差估計(jì)時(shí)多普勒頻移造成的誤差進(jìn)行分析，并做相應(yīng)校正。

1 信號(hào)模型

TODA定位系統(tǒng)，如圖1所示。由于各觀測(cè)站在空間中位置不同，接收到的信號(hào)之間存在著時(shí)差，即站間時(shí)差。利用站間時(shí)差通過特定的算法可確定目標(biāo)信源的位置。

圖1 TDOA系統(tǒng)

假設(shè)目標(biāo)信源是運(yùn)動(dòng)的，則信源和觀測(cè)站的空間位置與速度可以分別表示為

其中，xT和vT分別是目標(biāo)信源的坐標(biāo)和速度;xOi是第i個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)的坐標(biāo)。各觀測(cè)站上信號(hào)的到達(dá)時(shí)間和彼此之間的時(shí)差可表示為

其中，Ri表示目標(biāo)信源和第i個(gè)觀測(cè)站之間的距離;τ0i表示信號(hào)到達(dá)第i個(gè)觀測(cè)站的時(shí)間;τij表示第i個(gè)和第j個(gè)觀測(cè)站之間的時(shí)延，即站間時(shí)差;c表示光速。

由于目標(biāo)和觀測(cè)站之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，觀測(cè)站接收到的信號(hào)不僅存在時(shí)延，還存在著多普勒頻率。假設(shè)目標(biāo)輻射出的高頻信號(hào)為s(t，f)是單載頻脈沖信號(hào)，脈內(nèi)調(diào)制的載波頻率為f，脈寬為T，φ為脈沖初始相位。則信號(hào)可表示為

一般為計(jì)算方便，設(shè)φ=0。到達(dá)第i個(gè)觀測(cè)站的信號(hào)可表示為s(t－τ0i，f－fdi)，其中fdi為對(duì)應(yīng)的多普勒頻率，表示為

若觀測(cè)站同樣是運(yùn)動(dòng)的，則上式需改為

其中，vi是第i個(gè)觀測(cè)站的運(yùn)動(dòng)速度矢量。當(dāng)噪聲存在時(shí)，第i個(gè)觀測(cè)站上觀察到的信號(hào)如下

其中，ni(t)是第i個(gè)觀測(cè)站上的噪聲。

2 相關(guān)時(shí)差算法

常規(guī)雷達(dá)信號(hào)可表示為如下形式

如果不考慮初始相位φ和幅度a(t)，上式可簡(jiǎn)化為s(t)=cos(2πfct)，其中fc是載波頻率。以采樣頻率fs進(jìn)行采樣后的數(shù)字信號(hào)可表示為s(k)=cos(2πkfc/fs)。

由奈奎斯特采樣定理可知，當(dāng)采樣頻率大于奈奎斯特采樣頻率，即fs≥2fc時(shí)，可以無失真地恢復(fù)出原信號(hào)，從而進(jìn)行后續(xù)的處理，并可得到準(zhǔn)確的時(shí)差估計(jì)。但在實(shí)際應(yīng)用中，雷達(dá)信號(hào)的頻率通常較高［4］，即使在中頻端也要數(shù)百M(fèi)Hz，且工程中的采樣頻率一般選擇為奈奎斯特采樣頻率的3～5倍，即過采樣。這對(duì)采樣提出了更高的要求，因此有時(shí)較難實(shí)現(xiàn)。

在時(shí)差估計(jì)的應(yīng)用中，采樣頻率的選擇除了要考慮信號(hào)的恢復(fù)，還要考慮到避免估計(jì)結(jié)果的模糊性。解決這一問題的基本思路是:利用數(shù)字信號(hào)的特點(diǎn)，在欠采樣的條件下，得到和過采樣時(shí)相同的樣點(diǎn)值，便能得到相同的時(shí)差估計(jì)結(jié)果。根據(jù)正弦信號(hào)的周期性，只要選擇合適的采樣頻率，即可實(shí)現(xiàn)上述思想，同時(shí)也可靈活地調(diào)節(jié)采樣頻率。

在完成對(duì)信號(hào)的采樣恢復(fù)后，便可通過各站上的接收信號(hào)求時(shí)域相關(guān)，得到站間時(shí)差［5］，進(jìn)而通過TDOA算法確定目標(biāo)信源位置。

假設(shè)空間中存在兩個(gè)觀測(cè)站，由上節(jié)可知，觀察到的信號(hào)如下

其中，為了計(jì)算方便，將觀測(cè)站1上接收的信號(hào)時(shí)延看做時(shí)間零點(diǎn)，并將其增益視為1，其中，γ表示觀測(cè)站2上的信號(hào)相對(duì)于觀測(cè)站1的增益;Δf12=fd1－fd2表示觀測(cè)站1和站2接收信號(hào)的載頻差。

根據(jù)信號(hào)時(shí)域相關(guān)的定義，可得觀測(cè)站1接收信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為

式中，將自相關(guān)分為信號(hào)部分Rs(τ)和噪聲部分Rn(τ)。由于信號(hào)和噪聲各不相關(guān)，因此顯然有Rn(τ)=σ2·δ(τ)。同時(shí)，觀測(cè)站1和2接收信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為

從以上兩式中可觀察出:當(dāng)各站與目標(biāo)的相對(duì)徑向速度相等或均為0時(shí)，站間接收信號(hào)的載頻是相同的，因此有觀測(cè)站間接收信號(hào)互相關(guān)函數(shù)波形是由單站接收信號(hào)自相關(guān)函數(shù)波形平移所得，即

其中，平移量正好為站間時(shí)延τ12;放大系數(shù)為γ。因此只要找到兩個(gè)函數(shù)波形各自的最大值，便可方便快速地求出精確的站間時(shí)差，如圖2所示。

圖2 相關(guān)法測(cè)時(shí)差原理

兩個(gè)相關(guān)函數(shù)的峰值差就是兩站接收信號(hào)的時(shí)差τ12［8－9］。

3 多普勒誤差校正

然而當(dāng)各站與目標(biāo)的相對(duì)徑向速度不相等時(shí)，由于站間接收信號(hào)的載頻不再相同，R11(τ)和R12(τ)的函數(shù)波形也不再完全相同。此時(shí)再取兩個(gè)函數(shù)波形的最大值，獲得的是存在誤差的站間時(shí)差估計(jì)值12［10］。

其中，ω=2πf1，表示觀測(cè)站1上接收信號(hào)載頻的角頻率;同理，Δω=2πΔf12，表示站間多普勒角頻率。a和b是實(shí)際的積分上下限，變換后的積分上限表示如下

可以將積分域分成3種情況討論，如圖3所示。

圖3 兩觀測(cè)站脈沖區(qū)域關(guān)系

圖3中，實(shí)線部分表示脈沖存在區(qū)域，虛線部分表示脈沖外區(qū)域，有效的積分區(qū)域應(yīng)當(dāng)是兩觀測(cè)站信號(hào)脈沖均存在的區(qū)域。

由于高頻載波相關(guān)的特性，一般來說較寬的積分域?qū)?yīng)較大的積分值。因此，認(rèn)為互相關(guān)函數(shù)的最大峰值出現(xiàn)在第2段積分域內(nèi)，在這種情況下式(12)可化簡(jiǎn)為

由于Δω?ω，根據(jù)時(shí)域相關(guān)的特性，互相關(guān)的最大值在積分域最接近τ12的極值點(diǎn)取到。對(duì)互相關(guān)函數(shù)求一階導(dǎo)可得

進(jìn)而有時(shí)差估計(jì)的絕對(duì)誤差約等于

通過以上分析可知，相關(guān)法估計(jì)時(shí)差誤差與多普勒頻率近似成正比。

綜上所述，站間多普勒頻率差會(huì)導(dǎo)致額外的估計(jì)誤差。此種誤差可通過頻域相關(guān)處理來進(jìn)行校正。

設(shè)觀測(cè)站1和2接收到的信號(hào)的傅里葉變換分別為F1(ω)和F2(ω)。顯然由于兩觀測(cè)站接收的是同一目標(biāo)信源發(fā)射的信號(hào)，因此兩個(gè)信號(hào)的頻域波形相同，且只相差一個(gè)平移，平移量正好為站間多普勒頻率差Δω，即

則接收站1和2上接收信號(hào)的頻域互相關(guān)函數(shù)為

本文主要通過一維搜索法找到頻域相關(guān)的最大值，進(jìn)而得到多普勒頻差的估計(jì)值Δ。得到頻差估計(jì)值后，就可以對(duì)觀測(cè)站2上的信號(hào)進(jìn)行頻差校正

利用校正后的信號(hào)與接收站1上的接收信號(hào)進(jìn)行互相關(guān)，可有效的減小由多普勒頻率導(dǎo)致的站間時(shí)差估計(jì)誤差。

4 仿真結(jié)果分析

以下給出了相關(guān)時(shí)差估計(jì)算法的計(jì)算機(jī)仿真，以及不同參數(shù)變量情況下的估計(jì)誤差分析。

假設(shè)空間中存在著一個(gè)目標(biāo)信源和兩個(gè)觀測(cè)站。目標(biāo)信源發(fā)射高頻脈沖信號(hào)，脈內(nèi)載頻為5 GHz，脈寬為1μs。觀測(cè)站接收信號(hào)時(shí)的A/D采樣率為400 MHz，在欠采樣的條件下，通過多周期取點(diǎn)采樣法完成對(duì)信號(hào)的恢復(fù)。實(shí)際站間時(shí)差為0.66μs。當(dāng)信噪比分別為10 dB、－7.5 dB以及－25 dB時(shí)，站間接收信號(hào)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)比較如圖4～圖6所示。

圖4～圖6中，每個(gè)圖的子圖(a)表示完整觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的相關(guān)函數(shù)，子圖(b)表示相關(guān)函數(shù)最大峰值部分的放大示意圖?？梢钥闯?，當(dāng)信噪比為10 dB和－7.5 dB時(shí)，相關(guān)函數(shù)均有明顯峰值，估計(jì)誤差約為0.01μs，這個(gè)精度由采樣率導(dǎo)致的數(shù)字時(shí)間間隔決定。當(dāng)信噪比為－25 dB時(shí)，相關(guān)函數(shù)的最大峰值不再明顯，而估計(jì)誤差明顯增大，上升約為之前的百倍。

圖4 SNR為10 dB時(shí)相關(guān)法估計(jì)誤差

圖5 SNR為－7.5 dB時(shí)相關(guān)法估計(jì)誤差

圖6 SNR為－25 dB時(shí)相關(guān)法估計(jì)誤差

而當(dāng)信噪比在－25～10 dB的范圍內(nèi)變化時(shí)，算法估計(jì)誤差的變化規(guī)律如圖7所示。

從圖7中可看出，當(dāng)信噪比小于一定門限時(shí)，估計(jì)誤差會(huì)隨著信噪比降低小幅提升，但總體上說，時(shí)差估計(jì)還是較為準(zhǔn)確的。但當(dāng)信噪比低過門限時(shí)，估計(jì)誤差大幅上升，即可以認(rèn)為此時(shí)出現(xiàn)了“跳周”誤差。在此仿真環(huán)境中，“跳周”門限約在－17 dB。

圖7 不同信噪比對(duì)相關(guān)法估計(jì)誤差的影響

保持仿真信號(hào)環(huán)境不變，且將信噪比控制在“跳周”門限內(nèi)。當(dāng)采樣頻率在范圍內(nèi)變化時(shí)，估計(jì)誤差的變化情況如圖8所示。

圖8 不同采樣頻率對(duì)相關(guān)法估計(jì)誤差的影響

圖8是在完成400次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)后所得出的。從圖中可看出，在信噪比門限內(nèi)，時(shí)差估計(jì)誤差大約和采樣時(shí)間間隔在一個(gè)量級(jí)上。間隔越小，估計(jì)精度越高，但計(jì)算量也隨之上升。

保持圖8中的仿真環(huán)境，當(dāng)站間多普勒頻率差變化時(shí)，算法估計(jì)誤差的變化情況以及校正多普勒頻差后的估計(jì)誤差變化情況如圖9所示。

圖9 相關(guān)法估計(jì)誤差的多普勒校正

圖9同樣是在完成400次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)后得出的。從圖中可看出，一般情況下估計(jì)誤差與站間多普勒頻差近似成正比。當(dāng)經(jīng)過多多普勒頻率差校正后，估計(jì)誤差不再隨多普勒頻差增大而增加，而是在一個(gè)相對(duì)較小的范圍內(nèi)震蕩。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)TDOA定位技術(shù)中的時(shí)差相關(guān)估計(jì)算法進(jìn)行了研究，并對(duì)其估計(jì)誤差進(jìn)行了分析。研究表明，理論上利用高頻載波進(jìn)行相關(guān)的估計(jì)算法具有較高的精度。由于利用了信號(hào)噪聲不相關(guān)的特性，即使在信噪比較低的情況下，算法仍具有較高的精度。

而在實(shí)際運(yùn)用中，算法精度更大程度上是由A/D采樣率，即采樣頻率所決定的。時(shí)差估計(jì)精度和采樣頻率處在同一量級(jí)上。

同時(shí)還證明了多普勒頻率對(duì)估計(jì)誤差也有影響。在滿足信噪比門限的情況下，估計(jì)誤差和站間多普勒頻率差近似的成正比。通過頻域相關(guān)處理可校正該誤差，并達(dá)到更好的估計(jì)性能。

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