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      高中數(shù)學(xué)與思維的嚴密性

      2013-04-29 10:00:34劉高峰
      課程教育研究 2013年4期
      關(guān)鍵詞:嚴密性偶函數(shù)序號

      劉高峰

      【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089(2013)04-0148-01

      培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)。而思維的嚴密性是良好思維品質(zhì)的一個重要方面,高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到學(xué)生錯誤解題的思維缺陷,本文謹以一些實例說明思維的嚴密性在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。

      例:已知集合{1,a,x}={a2,a,ax},求x、a。

      錯解:令1=a■x=ax或1=axx=a■分別解得a=1x∈R或a=±1x=0

      正確的思維不僅考慮到兩組等集合中的元素分別相等,而且集合中的元素滿足無序性和互異性,將所得結(jié)果作檢驗只有a=-1,x=0。

      例:判斷y=x2+(x+1)0的奇偶性。

      錯解:∵(x+1)0=1

      ∴y=x2+1,f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)

      ∴y=x2+(x+1)0是偶函數(shù)。

      正確的思維首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,事實上x≠-1,函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。

      例:求y=sin x■(30■≤X≤60■)的最小值。

      錯解:∵ 30■≤X≤60■ , ∴ sin x?酆■?芻0

      ∴ sin x+■≥■=2 , 得y的最小值為2。

      正確的思維是對“均值定理”中“一正、二定、三相等”三方面條件逐步檢驗,事實上,在給定的范圍內(nèi)sin x 與■ 不存在相等的情況,因而當用函數(shù)單調(diào)性解之,得ymin=■ 。

      例:一數(shù)列的前幾項和為sn=2n2+3n+1 ,求其通項公式。

      錯解: ∵ sn=2n2+3n+1 , ∴ sn=2(n-1)2+3(n-1)+1

      ∴ an=sn-sn-1=4n+1

      正確的思維應(yīng)當考慮到sn-1 存在的條件為n≥2 ,故只有當n≥2 時,an=4n+1 , a1=s1=6不符合上述公式。

      例:若loga2?酆logb2 ,比較a與b的大小。

      錯解:loga2?酆logb2 , ∴ ■?酆■ ,∴ logab?酆logba ,得b?酆a?酆0 。

      正確的思維應(yīng)慮及1og2■與1og2■ 同號或異號的情況,分類討論a?酆1?酆b 或1?酆b?酆a 或b?酆a?酆1 。

      例:與空間不共面的四個點距離相等的平面有多少個?

      錯解:四個點不共面,任何三點確定一個平面,另一點向此平面作垂線段,過此線段中點平行于此平面的平面即為所求,因而有C43=4 個。

      正確的思維既考慮到分居于平面兩側(cè)的3~1情況,又考慮到2~2情況,因而正確的答案應(yīng)為C43+C42/=7 個平面。

      例:已知兩點A(-2,-1) 和B(1,1) ,ΔABC的頂點C在曲線xy-y-9=0 上移動,求ΔABC的重點M在軌跡方程。

      錯解:設(shè)M的坐標為(x,y) ,C的坐標為(x0,y0) ,

      則x■=3x-1-(-2)=3x+1y■=3y-1-(-1)=3y ,于是(3x+1)·3y-3y-9=0

      化簡得xy-1=0 為重心M的軌跡方程。

      正確的思維應(yīng)考慮到點C作為ΔABC頂點不能在直線AB上,因而重心也不能在直線AB上,正確的結(jié)論應(yīng)為:重心M的軌跡方程為xy-1=0(y≠-■,且 y≠0)。

      例:六個人分成三組,每組兩人,有多少不同分法?

      錯解:分兩步完成這個事情:第一步:從6個人中任取2人作為一組,方法數(shù)為C62,第二步:從余下4人中任取2人作為一組,余下的2人為另一組,故有C62.C42種分法。

      正確的思維要考慮分得的三組沒有序號,但分步完成事情的過程卻使得組與組之間有了序號上的區(qū)別,即同一分法重復(fù)了A33 次,因而正確答案為■=15 種。

      如上所述,思維的嚴密性幾乎滲透在高中數(shù)學(xué)解題的方方面面,教學(xué)中應(yīng)強化概念的理解并引導(dǎo)學(xué)生有意識地強化嚴謹性思維習(xí)慣的培養(yǎng)。

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