馮桂群

拉弗德教授認為，思維是一個“想象——物質(zhì)”的混合體，不僅僅出現(xiàn)在大腦中，也通過并呈現(xiàn)為言語、身體、姿勢、符號和工具的協(xié)調(diào)。實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)：除了畫圖、列表、列式、表述等思維表征方式外，引導(dǎo)學(xué)生借助線條、符號或文字進行的“標注”活動，同樣是學(xué)生參與符號化過程和認知建構(gòu)中不可或缺的一部分，同樣會對內(nèi)隱數(shù)學(xué)思維活動的直觀可視化和具體流程化的表達起著舉足輕重的作用，同樣可以使學(xué)生的思維從內(nèi)隱到外顯、從無形到有形、由模糊到清晰、由局部到整體、從無序到有序、從有意識加工到自動化加工，從而優(yōu)化學(xué)習(xí)過程、提高學(xué)習(xí)效率，發(fā)展學(xué)生的心智技能，增強解決問題的策略意識和實踐能力，提升數(shù)學(xué)理解力和思考力。下面就以蘇教版二年級下冊的數(shù)學(xué)教學(xué)為例，談?wù)勥@方面的教學(xué)實踐，以期拋磚引玉。

一、 計算中“標注”的妙用

只會計算，不理解算理，不懂實際意義和應(yīng)用，不可能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性。實踐證明：借助標注可以促進算理的明晰、算法的鞏固，實現(xiàn)算與思的結(jié)合、操作與思辨的聯(lián)手，使學(xué)生在標注“計算思路”中磨礪思維、生成智慧。

如：本冊第六單元中的退位減法，尤其是被減數(shù)中間或末尾有0的退位減法，是筆算中的一大難點，出錯率非常高。出錯的原因主要是：當被減數(shù)的某一位或某幾位出現(xiàn)了不夠減的情況而向前一位借一作十后，原數(shù)每一數(shù)位上的數(shù)值都可能會發(fā)生變化，如果對這一變化情況沒有清晰的認識，接下來的減法計算必然會出錯。為此，我在教學(xué)時不僅要求學(xué)生要標出退位點，還要在被減數(shù)的每個數(shù)位上方標出退位后的數(shù)值情況。如學(xué)生在計算1000-537時，引導(dǎo)學(xué)生表述退位思路：個位上不夠減向十位借，十位上沒有向百位借，百位上沒有向千位借，千位退一剩0，百位退一剩9，十位退一剩9，個位上是10，相應(yīng)的標注如下：

在批改學(xué)生作業(yè)時，我注意到一個有趣的現(xiàn)象：解答較難的計算題，學(xué)生將計算思路標注出來了，結(jié)果就做對了，沒有標注的，結(jié)果竟錯了。由此可見，標注出被減數(shù)退位后的數(shù)值變化情況是多么重要。在學(xué)習(xí)之初、難題面前和出錯之后，標注無疑是學(xué)生厘清計算思路的重要“拐杖”。

再如教學(xué)第八單元的乘法第一課時“整十數(shù)乘一位數(shù)的口算”和“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的筆算，起先筆者認為對學(xué)生來說，口算應(yīng)該很容易，所以教學(xué)口算時就有些操之過急，沒有強調(diào)口算的算理，結(jié)果全班有近20%的學(xué)生在完成“想想做做”中的“比一比、算一算”（如：4×3，40×3）時出錯，如：40×3=123，5×60=115。這些學(xué)生對大家已悟出來的口算算法（先念乘法口訣再在算出的積末尾添一個0）視若罔聞。筆者快速調(diào)整了教學(xué)思路，要求學(xué)生完整地表述口算思路，如40×3：4個十乘3是12個十，即120，標注如下：

而在第二課時教學(xué)口算32×3時，當學(xué)生說出可以念兩句口訣（三三得九和二三得六）求出積是96時，我順勢追問：這里的9表示9個什么？6呢？同時引導(dǎo)學(xué)生標注口算思路。如下圖：

這樣標注不僅明晰了算理，強化了算法，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和符號表征能力，還滲透了數(shù)學(xué)建模的思想，為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)注入了活力。比如：借助40×3的標注思路，學(xué)生會自然而然地建構(gòu)出400×3的算理與算法。而32乘3的口算思路不僅與對應(yīng)的筆算思路相呼應(yīng)，還蘊含了“乘、乘、加”的計算模型，為今后學(xué)習(xí)形如32×13的筆算乘法（32×10=320，32×3=96，320+96=416）做了數(shù)學(xué)模型方面的滲透，進而使學(xué)生所學(xué)的知識連線成網(wǎng)，生成富有生長性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的認知大廈和智慧寶藏。

二、 分析“關(guān)系句”時“標注”的妙用

兩個數(shù)量相比較，可以描述成“相差”關(guān)系，也可以描述成“倍數(shù)”關(guān)系，比字句或倍字句就成了反映數(shù)量間關(guān)系的重要載體。通過對關(guān)系句的標注，可以一針見血地厘清數(shù)量結(jié)構(gòu)與數(shù)量關(guān)系，找到解決相應(yīng)問題的數(shù)學(xué)模型。

本冊書第四單元第二課時安排了“求比一個數(shù)多（少）幾的數(shù)是多少”的實際問題。這一內(nèi)容一直是教學(xué)的一大難點。我通過“操作中建模，標注中用?！钡牟呗裕芎玫赝黄屏诉@一教學(xué)難點。先讓學(xué)生在同桌合作中邊比劃手勢邊說“比10多/少（ ）是（ ），算式是（ ）”，從而建立數(shù)學(xué)模型———求比幾多幾的數(shù)就是求大數(shù)，用加法；求比幾少幾的數(shù)就是求小數(shù)，用減法。然后將“比10多1是11”這句話變形為“11比10多1”，并引導(dǎo)學(xué)生用簡潔的方式標注出三個數(shù)量——大數(shù)、小數(shù)和相差數(shù)。

之后引導(dǎo)學(xué)生按“標注、判斷、列式”的步驟解決實際問題。比如在解答課本上35頁的第2題“舞蹈組有24人，合唱組比舞蹈組多14人，合唱組有多少人？”時，先讓學(xué)生標注比字句：

再判斷 “求合唱組有多少人？”就是求大數(shù)，所以用加法，列式：24+14=38（人）。當出現(xiàn)了“被比量”未知的比字句時，學(xué)生借助標注，同樣能輕松地搞定數(shù)量關(guān)系，從而正確地解決實際問題。如：

這里是求小數(shù)，用減法：652-35=617（棵）。這樣就不會出現(xiàn)“見多就加、見少就減”的低級錯誤，同時也進一步強化了數(shù)學(xué)模型的正確運用——求大數(shù)用加法、求差和小數(shù)用減法，潛移默化地滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。

在讓學(xué)生解決本冊書第八單元的 “求一個數(shù)的幾倍是多少”的實際問題時，我同樣引導(dǎo)學(xué)生借助“標注倍字句”明確：誰是小數(shù)，誰是大數(shù)，把小數(shù)看作一份數(shù)，大數(shù)是這樣的幾份數(shù)，求一個數(shù)的幾倍是多少就是求幾個幾相加是多少，所以用加法或乘法。比如教學(xué)課本第77頁的例題“楊樹有5棵，柳樹的棵數(shù)是楊樹的3倍。柳樹有多少棵？”時在引導(dǎo)學(xué)生畫小棒表示出楊樹有5棵、柳樹有3個5棵之后，追問：什么樹的棵樹是小數(shù)，把它看作一份，柳樹棵數(shù)有這樣的幾份？是幾個幾棵？同時引導(dǎo)學(xué)生將“倍字句”中的數(shù)量關(guān)系標注出來：

所以求柳樹棵數(shù)列式為：5+5+5=15（棵），或用簡便算法5×3=15（棵）。通過標注，學(xué)生對“倍字句”中隱含的數(shù)量關(guān)系有了更為清晰的認識和更為理性的把握，避免了機械模仿式的淺層學(xué)習(xí)；幫助學(xué)生厘清了“差比”與“倍比”關(guān)系中求大數(shù)算法的異同點，溝通了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思辨能力與符號表征能力，促進了知識的正向遷移、整體建構(gòu)和自然生長。

三、 概念教學(xué)中“標注”的妙用

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，同樣要引導(dǎo)學(xué)生借助標注來更好地明晰概念的內(nèi)涵與外延，提高對概念的深刻理解和靈活運用，從而促進數(shù)學(xué)概念的真正內(nèi)化與建構(gòu)。

二年級下冊第一單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“有余數(shù)除數(shù)”，理解“余數(shù)比除數(shù)小”并能靈活運用既是重點又是難點。比如有這樣的練習(xí)：（ ）÷4=6……（ ），余數(shù)有（ ）種可能，最大是（ ），被除數(shù)最大是（ ）。這是要求學(xué)生運用“余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系”來推想出完整的除法算式。有部分學(xué)生竟將最大余數(shù)寫成了5，顯然是將余數(shù)跟商比起來了，而事實上應(yīng)該將余數(shù)與除數(shù)比。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生借助“孫悟空給師徒四人分桃的故事”，啟發(fā)學(xué)生思考：除數(shù)是4，就是將桃平均分成4份，如果還剩余5個桃，那每人還可以分得一個桃。只有剩的桃比4少，每人不可以再分得一個，才是剩下的，只能是1、2、3這3種可能。所以余數(shù)的大小只跟除數(shù)有關(guān)，跟商沒有絲毫關(guān)系。為了將流動的思路定格并強化，我引導(dǎo)學(xué)生邊表述邊進行了以下的標注：

使學(xué)生借助畫弧線、寫大于號和寫余數(shù)，明確思考的依據(jù)與流程，使思維由模糊、無形、隨性變?yōu)榍逦⒂行?、理性?/p>

教學(xué)本冊書第二單元認數(shù)中“千以內(nèi)數(shù)的寫法”，我引導(dǎo)學(xué)生按“一圈二畫三寫”的步驟來完成。如：學(xué)生在練習(xí)第16頁的第6題“寫出橫線上的數(shù)”時，我要求學(xué)生先圈出每個數(shù)中的計數(shù)單位，并根據(jù)最大的計數(shù)單位確定是幾位數(shù)，是幾位數(shù)就畫幾根短線來定位，最后再對號入座，幾百的幾在百位上，幾十的幾在十位上，幾寫在個位上。具體過程如下：

通過圈單位、畫線定位和對號入座，學(xué)生對數(shù)位、計數(shù)單位、數(shù)位與計數(shù)單位的對應(yīng)關(guān)系、最高數(shù)位與幾位數(shù)的關(guān)聯(lián)等知識的理解更清晰、更深刻。

本冊書第五單元“認識方向”是教學(xué)的一大難點，最新的蘇教版教材已將這部分內(nèi)容后移到三年級。教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生通過標注來明確觀察的中心點和幾個主方向，從而幫助學(xué)生正確、靈活地運用方向概念來解決實際問題，提高實踐能力和解題水平。如：完成下面的填空題，我引導(dǎo)學(xué)生按“一畫二標三寫”的步驟來完成。首先是讀懂填空題，明確是以誰為觀察的中心點，題目中講“誰的哪一面”，誰就是觀察的中心點，并將句中的中心點用線畫出來；接著在平面圖中標注出中心點的幾個主要方向（與書城方位關(guān)系密切的）；最后就能準確而輕松地完成填空題——書城在金色商場的西北面。

在標注過程中，中心點、圖上主方向、方向的相對性等概念得到了進一步的強化，同時也訓(xùn)練了學(xué)生的有序思維，增強了答題的策略意識和自我調(diào)控能力。

總之，標注是表征數(shù)學(xué)思維過程的重要方式。借助巧妙的符號標注，不僅使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得易如反掌、輕松有趣，還培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識與策略意識，提高了元認知水平，增強了學(xué)生的理解力與思考力，滲透了建模思想，使學(xué)生成為能思、善思、會思的學(xué)習(xí)主人，很好地落實了知識技能、過程方法和情感態(tài)度價值觀等三維目標，為學(xué)生的后繼發(fā)展注入了無窮的活力。