童其林

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂，上課就是執(zhí)行教案的過(guò)程，教師的教和學(xué)生的學(xué)在課堂上最理想的狀態(tài)就是按時(shí)完成教學(xué)預(yù)案；教師期望學(xué)生按預(yù)定的設(shè)想做出回答，否則就通過(guò)教師豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和課堂駕馭能力來(lái)努力引導(dǎo)學(xué)生，直至達(dá)到預(yù)設(shè)的答案為止。教師也樂(lè)于把自己或別人的理解傳授、灌輸給學(xué)生，以自己的理解、分析取代學(xué)生的感受、思考，迫使學(xué)生進(jìn)入教師對(duì)課程的理解。雖然教師身邊的教育情境總是處于不斷發(fā)展變化中，遺憾的是教師常常視而不見(jiàn)，于是學(xué)生智慧的火花轉(zhuǎn)瞬即逝，激情的碰撞被無(wú)情壓抑。教師精心設(shè)計(jì)的教案像一根無(wú)形的繩索牽動(dòng)著學(xué)生，束縛著老師，讓他們圍著它團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，課堂于是成了“教案劇”出演的舞臺(tái)。

在新課程時(shí)代，各種新的教學(xué)理念如同錢(qián)江大潮般向我們涌來(lái)。數(shù)學(xué)課堂是充滿生命活力的，學(xué)習(xí)過(guò)程是動(dòng)態(tài)發(fā)展的，學(xué)生應(yīng)作為一種活生生的力量，帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考、靈感、興致參與課堂活動(dòng)，從而使課堂教學(xué)呈現(xiàn)出豐富性、多變性和復(fù)雜性。所以時(shí)代呼喚新的數(shù)學(xué)課堂，而新的數(shù)學(xué)課堂具有動(dòng)態(tài)生成的特點(diǎn)。只有在生成性的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生才能得到有效發(fā)展，全面的提高。

隨著數(shù)學(xué)新課程改革的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)教師紛紛開(kāi)始生成性課堂的教學(xué)探求。我們的數(shù)學(xué)課堂正悄悄地發(fā)生變化，但迷惘和困惑常伴隨著我們。一是教師過(guò)于重視預(yù)設(shè)而忽視生成，在課堂中完全忠實(shí)地實(shí)施預(yù)設(shè)方案，按部就班地完成了預(yù)定任務(wù)，限制了學(xué)生對(duì)預(yù)設(shè)目標(biāo)的超越，學(xué)生的創(chuàng)造智慧泯滅其中——教師對(duì)“預(yù)期性生成”還是胸有成竹的，但一些教師面對(duì)課堂上紛至沓來(lái)的“非預(yù)期性生成”卻束手無(wú)策，缺少教育機(jī)智，以致在豐富的生成變化中迷失了方向而無(wú)可奈何地又把學(xué)生硬拉回預(yù)設(shè)。二是有的教師一味追求生成，沒(méi)有預(yù)設(shè)而隨意設(shè)問(wèn)，“腳踏西瓜皮，滑到哪里算哪里”，“生成”出許多離題萬(wàn)里、毫無(wú)必要的“麻煩”，導(dǎo)致了教學(xué)的“停頓”、“尷尬”和失控，最終影響了教學(xué)的生成及效果。

為此，探討高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)資源的內(nèi)涵、挖掘以及在挖掘過(guò)程中找到預(yù)設(shè)與生成的平衡點(diǎn)就具有十分重要的意義。

一、高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)資源的內(nèi)涵

1.對(duì)生成性資源的認(rèn)識(shí)

生成，一般來(lái)說(shuō)是指起源、創(chuàng)始、創(chuàng)造、產(chǎn)生和發(fā)生，就是“在新的情境中產(chǎn)生”。本文中的生成，是指在教學(xué)實(shí)踐中，因?qū)W情的變化，對(duì)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、過(guò)程、方法的調(diào)整，以及教師在教學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生的教學(xué)機(jī)智與合理調(diào)控。生成性資源，是指課堂教學(xué)中通過(guò)互動(dòng)、對(duì)話、情境設(shè)置、教與學(xué)等活動(dòng)即時(shí)產(chǎn)生的超出預(yù)先設(shè)計(jì)的問(wèn)題。課堂生成性教學(xué)是指在彈性預(yù)設(shè)的前提下，在教學(xué)的開(kāi)展過(guò)程中由教師和學(xué)生根據(jù)不同的教學(xué)情境，自主構(gòu)建教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程?！耙馔狻薄肮?jié)外生枝”“捕捉”“靈光乍現(xiàn)”是生成性教學(xué)資源的關(guān)鍵詞?！耙馔狻敝饕袃煞N類(lèi)型：一種是客觀突發(fā)事件，如教學(xué)環(huán)境的改變、教學(xué)參與主體的變化、教學(xué)場(chǎng)的外在嵌入；一種是主觀預(yù)設(shè)之外又是情理之中的突發(fā)情況，如學(xué)生的突發(fā)奇問(wèn)、教師講授的卡殼現(xiàn)象等。大部分“意外”屬于后一種類(lèi)型。當(dāng)教學(xué)不再按照預(yù)設(shè)展開(kāi)時(shí)，教師將面臨嚴(yán)峻考驗(yàn)和艱難抉擇，這就要求教師既具有預(yù)設(shè)的目標(biāo)意識(shí)，又具有生成的機(jī)智意識(shí)。應(yīng)當(dāng)指出，學(xué)生在教學(xué)中產(chǎn)生某種頓悟但沒(méi)有引起教師的足夠重視，或師生進(jìn)行不著邊際的無(wú)意義互動(dòng)，這些都不屬于生成。

2.高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)資源的常見(jiàn)來(lái)源

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中生成性資源的常見(jiàn)來(lái)源：學(xué)生練習(xí)中的問(wèn)題與錯(cuò)誤；學(xué)生回答中的“節(jié)外生枝”；教師在教學(xué)過(guò)程中迸發(fā)的思維火花和教學(xué)機(jī)智；學(xué)生討論中的分歧。只有教師敢于運(yùn)用非預(yù)設(shè)教學(xué)資源，打破課前教學(xué)設(shè)計(jì)的框框，踏著學(xué)生思維發(fā)展的步伐，誘導(dǎo)學(xué)生的思維朝更高的方向發(fā)展，真正做到“創(chuàng)造性地使用教材”，生成性教學(xué)資源的來(lái)源才更為豐富。

3.高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)資源的特點(diǎn)

（1）創(chuàng)造性。在教學(xué)中，教材是范例，教學(xué)活動(dòng)是過(guò)程，二者是預(yù)設(shè)的，但不是不變的。正如著名的教育家葉瀾所說(shuō)：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒(méi)有激情的行程”。數(shù)學(xué)課堂中的生成性資源的產(chǎn)生源于創(chuàng)造。

（2）突發(fā)性。課堂教學(xué)中的生成性資源有時(shí)是學(xué)生和教師在活動(dòng)過(guò)程中“靈機(jī)一動(dòng)，計(jì)上心來(lái)”的結(jié)果，帶有突發(fā)性。但是這并不是說(shuō)，課堂教學(xué)中為了有效利用生成性資源，而完全不預(yù)設(shè)?？茖W(xué)的預(yù)設(shè)還是必不可少的，教師只有深入地備課，才能對(duì)生成的信息作快速的判斷與取舍，才能把所需要的納入到準(zhǔn)備的“預(yù)案”中，與已有的知識(shí)建立聯(lián)系。正如歌德所說(shuō)：“我能看到什么，取決于我已經(jīng)知道什么。”

（3）可挖掘性。使用任何一套教材進(jìn)行教學(xué)都需要師生去挖掘、去創(chuàng)造性地使用，才能激活課堂中的教與學(xué)。

（4）不確定性。課堂上生成的資源具有不確定性，這種不確定性可能體現(xiàn)在教育價(jià)值的不同，有時(shí)還可能產(chǎn)生負(fù)面的教育效應(yīng)。

（5）再生性。教學(xué)資源既包括教學(xué)物質(zhì)資源，也包括教學(xué)人力資源。生成性資源屬于后者。人力資源的顯著特點(diǎn)是具有再生性，可進(jìn)行循環(huán)開(kāi)發(fā)和利用。生成性資源也是一種取之不盡、用之不竭的可再生性資源。

4.高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)資源的作用

（1）對(duì)教師預(yù)設(shè)的教學(xué)設(shè)計(jì)的完善。學(xué)生是一個(gè)個(gè)活生生的生命體，他們的家庭背景、生活環(huán)境、生活經(jīng)歷等都是不同的，因此他們的心理世界、思考角度、思維方式與水平也是不一樣的。對(duì)于同一件事物，不同的學(xué)生會(huì)有不同的看法。所以在課前，雖然老師已經(jīng)有了科學(xué)的預(yù)設(shè)、理性的思考、精心的安排，深入地備知識(shí)的內(nèi)涵與外延，備學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，備課堂教學(xué)中可能出現(xiàn)的問(wèn)題，但對(duì)于所有學(xué)生可能出現(xiàn)的想法與教學(xué)過(guò)程中可能出現(xiàn)的問(wèn)題還是無(wú)法一一預(yù)設(shè)出來(lái)的，學(xué)生的回答不時(shí)會(huì)偏離了設(shè)計(jì)的初衷，而這些意外正是完善教學(xué)設(shè)計(jì)的重要途徑，是“教學(xué)相長(zhǎng)”的體現(xiàn)。

（2）引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的討論與思考。學(xué)生之間的差異、教學(xué)中的偶發(fā)事件，乃至教師教學(xué)設(shè)計(jì)中的失誤、靈機(jī)一動(dòng)等，如果能被教師及時(shí)地抓住并恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行引導(dǎo)、挖掘、升華，都會(huì)為課堂教學(xué)帶來(lái)新的生機(jī)與可能，都可能成為有利于學(xué)生成長(zhǎng)的課堂教學(xué)的閃光點(diǎn)，這樣的教學(xué)對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展具有積極的作用。

二、高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)資源的挖掘

研究中我們發(fā)現(xiàn)，有了充分的預(yù)設(shè)，課堂的“生成點(diǎn)”是有跡可循的，我們可以充分挖掘?！吧牲c(diǎn)”主要出現(xiàn)在以下教學(xué)環(huán)節(jié)中。

1.在學(xué)生的問(wèn)題與錯(cuò)誤中生成

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅僅是告訴，更需要經(jīng)歷。真正關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，就要有效利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，教師要樂(lè)于向?qū)W生提供充分研究的機(jī)會(huì)，幫助他們真正理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法，獲得更加廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例1：已知函數(shù)f（x）=log2（x2+ax-a）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

師：函數(shù)f（x）=log2（x2+ax-a）的值域?yàn)镽，要滿足什么條件呢？

生眾：滿足x2+ax-a>0。

師：滿足x2+ax-a>0的條件又是什么？

生眾：△<0。

師：由△<0，即△=a2-4（-a）<0?-4

當(dāng)a∈（-4，0）能保證函數(shù)f（x）=log2（x2+ax-a）的值域?yàn)镽嗎？（讓學(xué)生思考）我們不妨取a=-2，則

f（x）=log2（x2+ax-a）=log2（x2-2x+2）

=log2[（x-1）2+1]log21=0，

此時(shí)函數(shù)f（x）的值域不是R，所以解答有誤。問(wèn)題出在哪里？（學(xué)生睜大眼睛聽(tīng)老師分析。）

師：正確的解法是因?yàn)橹涤驗(yàn)镽，所以x2+ax-a必須能取到一切正數(shù)，故有△=a2-4（-a）0?a≤-4或a0。

生1：△0不正是x2+ax-a取到非正數(shù)嗎？沒(méi)有意義啊！

師：是的，但取到的非正數(shù)x不是我們需要的，這可以由x的范圍來(lái)限制。例如，取a=-4，則f（x）=log2（x-2）2，定義域x2≠2就可保證f（x）值域?yàn)镽了！也就是說(shuō)當(dāng)△0時(shí)，能保證x2+ax-a→0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像知f（x）的值域能取到一切R。

如果這樣仍不能理解，我們還可以用方程的觀點(diǎn)來(lái)解：原函數(shù)的值域?yàn)镽，就是指關(guān)于x的方程f（x）=log2（x2+ax-a）=y對(duì)任意實(shí)數(shù)y都有實(shí)數(shù)解。

x2+ax-a=2y恒有實(shí)數(shù)解?△=a2+4（a+2y）0對(duì)y∈R恒成立?a2+4a-4·2y對(duì)一切y∈R恒成立。

又-4·2y<0，∴a2+4a0?a≤-4或a0。

故a的取值范圍是（-∞，-4]U[0，+∞）。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程，也是試錯(cuò)和不斷改正錯(cuò)誤的過(guò)程，教師順著學(xué)生的錯(cuò)誤理解解下去，再驗(yàn)證結(jié)果不對(duì)，進(jìn)而找到正確的解法，生成有價(jià)值的認(rèn)識(shí)，這本身就是一種很好的教學(xué)資源。

2.在創(chuàng)造中生成

培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和創(chuàng)新能力，是基礎(chǔ)教育課程改革的主要目標(biāo)。課堂教學(xué)如果能為學(xué)生提供創(chuàng)造的機(jī)會(huì)，無(wú)疑是很好的教學(xué)資源“生成點(diǎn)”。記得筆者在講解一道習(xí)題時(shí)，曾出現(xiàn)一個(gè)精彩的片段。

例2：函數(shù)y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）的最大值是（ ）。

A.5 B.6 C.7 D.8

筆者按常規(guī)思路講解：把x+80°化成（x+20°）+60°，再把sin（（x+20°）+60°）按公式展開(kāi)，結(jié)合前面的式子化成一個(gè)角的三角函數(shù)，即可求解。當(dāng)然，也可以把x+20°化成x+80°-60°（解題過(guò)程略）。

筆者講完后，一位學(xué)生迫不及待地說(shuō)：“老師，有更簡(jiǎn)單的解法。”

“說(shuō)吧?！惫P者鼓勵(lì)道。

學(xué)生興奮地回答：∵x+20°與x+80°不可能同時(shí)取到k·360°+90°，K∈Z，∴最大值不可能是8，排除選項(xiàng)D。

又∵當(dāng)x=10°時(shí)，y=+5=6，大于A、B選項(xiàng)的值，故可排除A、B，選C。

學(xué)生剛說(shuō)完，熱烈的掌聲就響起來(lái)了，無(wú)疑，學(xué)生們?cè)谛蕾p這個(gè)簡(jiǎn)潔的、富有創(chuàng)造性的解法。當(dāng)然，這位學(xué)生能想到這樣的方法，是因?yàn)樵谥暗慕虒W(xué)中筆者曾介紹過(guò)解答選擇題的估算法，可以說(shuō)，學(xué)生的精彩生成是教師教學(xué)思想的延續(xù)，是師生共同建構(gòu)的結(jié)果。

3.在適度拓展中生成

數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)開(kāi)放并充滿活力，這就要求教師拓寬數(shù)學(xué)教學(xué)和運(yùn)用的領(lǐng)域，使學(xué)生在不同內(nèi)容、方法的相互交叉、滲透、整合中開(kāi)闊視野，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。顯然，教師在教學(xué)過(guò)程中迸發(fā)的思維火花和教學(xué)機(jī)智也是一種生成。

有一道流傳甚廣的三角不等式問(wèn)題。

例3：已知0

2010年，例3成為北京大學(xué)、香港大學(xué)、北京航空航天大學(xué)3校聯(lián)合自主招生考試試題。作為例題，一般教師給學(xué)生講兩種解法：一是構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)證得結(jié)果；二是三角函數(shù)線法。

問(wèn)題講解到此似乎該結(jié)束了，但筆者的腦海里閃過(guò)一個(gè)念頭：這不正是滲透特殊與一般思想的好時(shí)機(jī)嗎？于是筆者將題干求證部分改為“求證：sinx<

學(xué)生很容易理解：上述命題要轉(zhuǎn)化為一般性命題方可證明：若01+2.1。在02x。

如此生成，既有知識(shí)，又有方法，還有智慧，學(xué)生終身難忘。

4.在嘗試和探究的活動(dòng)中生成

在嘗試和探究性學(xué)習(xí)中，由于結(jié)論不是現(xiàn)成的，學(xué)生會(huì)有多種思路、多種方法，往往也會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果——有些正確，有些錯(cuò)誤。鋤去“雜草”，讓“莊稼”生成，課改的田野才會(huì)郁郁蔥蔥。

如在講“橢圓的定義”一節(jié)時(shí)，筆者做了這樣的演示實(shí)驗(yàn)。先將細(xì)繩兩端重合，把粉筆套在其間在黑板上畫(huà)了一個(gè)圖形，學(xué)生馬上指出這是一個(gè)圓，然后再將兩端分開(kāi)，固定在黑板上，把粉筆套在其間畫(huà)了一個(gè)圖形，并向?qū)W生說(shuō)明這種曲線叫橢圓。然后讓學(xué)生根據(jù)操作過(guò)程，相互討論，讓學(xué)生探究怎樣的圖形叫橢圓。學(xué)生甲：到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。根據(jù)甲的敘述，我便將細(xì)線拉直將兩端固定在黑板上，粉筆仍然套在線上運(yùn)動(dòng)，便畫(huà)出了一條線段。學(xué)生乙提出定長(zhǎng)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離。教師問(wèn)這樣下定義是否嚴(yán)密完整？這樣學(xué)生便又提出“在同一平面內(nèi)”這樣的條件。最后探究出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

這里，有實(shí)驗(yàn)有辨誤，有限制條件的理解，對(duì)橢圓定義的認(rèn)識(shí)是比較到位的，也是比較深刻的。

5.在偶發(fā)中生成

課堂上有時(shí)會(huì)發(fā)生一些偶發(fā)事件。這種偶發(fā)事件有的與數(shù)學(xué)教學(xué)有關(guān)，有的與數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)關(guān)，與數(shù)學(xué)教學(xué)有關(guān)的，可以直接利用，與數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)關(guān)的，可進(jìn)行其他方面的教育。變偶發(fā)事件為教育良機(jī)，也是教育教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)。

例4：一位教師準(zhǔn)備給學(xué)生上“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”（人教版高中“數(shù)學(xué)3”）一課，課前，他接到學(xué)校通知：要求每班選派5名學(xué)生代表參加下午學(xué)校舉行的學(xué)生座談會(huì)。

師：今天下午學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生座談會(huì)，要我們班選出5名代表參會(huì)，學(xué)校為什么不讓大家都參加呀？

生眾：人數(shù)太多，座談不方便。

師：讓我們班選派5名代表參加座談會(huì)，這實(shí)際上是使用了統(tǒng)計(jì)學(xué)上的什么方法？

生1：用樣本估計(jì)總體。

師：樣本和總體分別指什么？

生1：我們班的全體同學(xué)就是總體，被選派的5名學(xué)生就是在我們班這個(gè)總體中抽取的樣本。

師：既然這里用了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，那怎樣從我們班選出5名代表比較合適呢？

生2：這好辦，為每人準(zhǔn)備一張紙條，上面寫(xiě)上每個(gè)人的名字，隨便抽5張就行了。

大部分學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同。

生3：采用類(lèi)似于擊鼓傳花的方式，花落在誰(shuí)手里就選誰(shuí)。

生4：教室里有滾動(dòng)數(shù)字的機(jī)器就好了，就像抽獎(jiǎng)，喊停時(shí)顯示學(xué)號(hào)。

學(xué)生都笑了，課堂氣氛頓時(shí)被調(diào)動(dòng)起來(lái)。

教師在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析、討論，很自然地得出“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”的一種方法——抽簽法及其操作步驟。

顯然，這位教師是善于捕捉“意外”“偶然”的高手，他以剛剛發(fā)生的現(xiàn)實(shí)事件為素材，創(chuàng)設(shè)與課堂內(nèi)容相適應(yīng)的教學(xué)情境，生成生動(dòng)有趣的教學(xué)資源，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握。

總之，課堂中的生成既沒(méi)有固定的、現(xiàn)成的目標(biāo)，也沒(méi)有刻板的模式。課堂上生成性資源的挖掘與運(yùn)用取決于教師的專(zhuān)業(yè)知識(shí)與教學(xué)素養(yǎng)。科學(xué)的預(yù)設(shè)與有效的生成是相互依存的，因此教師只有提高自身的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)，才能對(duì)生成性資源及時(shí)地捕捉、恰當(dāng)?shù)嘏袛唷⒑侠淼剡x擇與有效地運(yùn)用。