朱樂平

要給學(xué)生教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法與除法的內(nèi)容，教師首先自己要清楚分?jǐn)?shù)乘、除法的相關(guān)知識。本活動方案主要涉及分?jǐn)?shù)乘、除法的算術(shù)理論，試圖讓教師通過以下問題的解答，回憶與增加數(shù)學(xué)的本體性知識。

一、活動目標(biāo)

1.經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流有關(guān)分?jǐn)?shù)乘、除法的相關(guān)資料與問題。

2.進一步明確分?jǐn)?shù)乘法的定義和分?jǐn)?shù)乘法定義的合理性。

3.經(jīng)歷分?jǐn)?shù)乘法交換律的證明過程，體會數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性。

4.進一步明確分?jǐn)?shù)除法定義及其與乘法定義的不同；明確分?jǐn)?shù)除法定義的優(yōu)點；能夠證明商的存在性與唯一性。

二、活動時間

教研組教師先不集中，每人自己安排時間先閱讀并獨立解決本方案中的問題，再閱讀本方案中的參考答案。時間約3小時；再以年級組（或教研組）為單位集中交流問題的答案，時間約1.5小時。

三、活動前準(zhǔn)備

1.數(shù)學(xué)組的每一位教師解答下面的問題，并準(zhǔn)備在年級組或全數(shù)學(xué)組交流。

想一想，寫一寫，什么叫分?jǐn)?shù)的乘法？閱讀下文關(guān)于分?jǐn)?shù)乘法的定義，并回答問題。

定義：把兩個分?jǐn)?shù)的分子的積做分子，分母的積做分母，所得的分?jǐn)?shù)叫作這兩個分?jǐn)?shù)的積。求兩個分?jǐn)?shù)積的運算叫作分?jǐn)?shù)的乘法。

如果兩個分?jǐn)?shù)分別為、（b、d均不為零），

那么·=，

其中與都叫作乘數(shù)，是它們的積。

問題：

（1）想一想，這樣定義的分?jǐn)?shù)乘法，是不是任意兩個分?jǐn)?shù)就一定可以求出它們的積？也就是兩個分?jǐn)?shù)的積是否一定存在？兩個分?jǐn)?shù)的積是否唯一？為什么？

（2）在上面這個分?jǐn)?shù)乘法定義中，是否已經(jīng)包含了分?jǐn)?shù)乘法的運算法則（分?jǐn)?shù)乘法的計算方法）？如果已經(jīng)包含了，那么根據(jù)定義得到的分?jǐn)?shù)乘法的運算法則是怎樣的？請你寫一寫。

2.我們知道，在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)加、減法后，就學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法。而在分?jǐn)?shù)加、減法中，計算兩個同分母分?jǐn)?shù)相加、減的方法是分母不變，分子相加減。計算兩個異分母分?jǐn)?shù)相加、減時，要先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)的方法相加、減。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法開始時，讓學(xué)生計算：×=？

（1）如果有學(xué)生像下面這樣的過程進行計算，那么，原因可能是什么？他們這樣計算有其“合理”的成分嗎？

×===1

（2）如果有學(xué)生像上面這樣的過程進行計算，你如何向這些學(xué)生說明這樣的做法是不合理的？

下面是兩位教師的說理過程，你更喜歡用哪一種方法進行說明？為什么？

教師甲：

× =（2÷5）×（3÷5）=2÷5×3÷5

=2×3÷5÷5=（2×3）÷（5×5）==

由于上面的每一步計算都是有道理的，所以結(jié)果應(yīng)該是，而不是1。

教師乙：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和小數(shù)乘小數(shù)的內(nèi)容。把這兩個分?jǐn)?shù)相乘的算式變成小數(shù)乘法來計算，看看它的結(jié)果應(yīng)該是多少。

×

=（2÷5）×（3÷5）

=0.4×0.6=0.24==

從上面的第一、二兩個等式中，可以看到× 等于0.4×0.6。這是兩個鈍小數(shù)相乘，結(jié)果一定是小于1的數(shù)，而結(jié)果1顯然是大于1的數(shù)，所以這樣的結(jié)果肯定不合理。從上面的整個過程可知，結(jié)果應(yīng)該是，而不是1。

3.分?jǐn)?shù)乘法定義為“分子、分母分別相乘”，這是一個很高明的定義。事實上，只有這樣定義才是合理的，否則，就會與前面已經(jīng)建立的一些結(jié)論發(fā)生矛盾。請你閱讀下面的推理過程，并且

（1）想一想，這個推理過程中每一步的理由是什么？在括號里寫上相應(yīng)的編號。

（2）理解整個推理過程后，體會分?jǐn)?shù)乘法定義的合理性。

如果兩個分?jǐn)?shù)分別為、（b、d均不為零），那么，

·

=（a÷b）×（c÷d）這一步的理由是：（ ）

=a÷b×c÷d 這一步的理由是：（ ）

=a×c÷b÷d 這一步的理由是：（ ）

=（a×c）÷（b×d）這一步的理由是：（ ）

=這一步的理由是：（ ）

請你在以下的理由中選擇：

①加法交換律；②分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；③除法的運算性質(zhì)；④乘法分配律；⑤乘法的運算性質(zhì)。

4.有人說：“分子、分母分別相乘”的計算方法，不但適合于兩個分?jǐn)?shù)相乘，而且還適合于整數(shù)與整數(shù)相乘、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘。

（1）你覺得，這樣的說法有道理嗎？為什么？

（2）如果你認(rèn)為有道理，請你用分?jǐn)?shù)乘法的計算方法，計算4×5、×3和2×。

（3）想一想，一個分?jǐn)?shù)乘1還是這個分?jǐn)?shù)本身嗎？一個分?jǐn)?shù)乘0等于0嗎？為什么？

5.在現(xiàn)行的人教版教材六上年級第14頁中有以下內(nèi)容，請你先閱讀，再回答問題。

問題：

（1）在教材的三組算式中，第一組是×○×，你覺得，通過觀察與計算知道，這一組左、右兩個算式的計算結(jié)果是相等的，就可以得出分?jǐn)?shù)乘法也像整數(shù)乘法一樣有交換律嗎？如果再舉三組其他的算式，如×○×，×○×，×○×，同樣得到每一組的左、右兩邊相等，是否就一定可以保證分?jǐn)?shù)乘法交換律成立呢？為什么？

（2）以下是分?jǐn)?shù)乘法交換律的證明過程，請你閱讀這個過程，并在相應(yīng)的括號里說明等式成立的理由。

已知：兩個分?jǐn)?shù)分別為、（b、d均不為零）。

求證： ·=·。

證明：

∵ ·=……①（ ）

·=……②（ ）

又∵ ac=ca，bd=db …… ③（ ）

∴=…… ④（ ）

∴ ·=·?！荩?）

（3）對于分?jǐn)?shù)乘法結(jié)合律。①你能像上面那樣寫出“已知……求證……”嗎？試一試。②請你寫出證明分?jǐn)?shù)乘法結(jié)合律的過程，并體會數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性。

6. 你還記得整數(shù)乘法的含義嗎？我相信，你一定還記得“求幾個相同加數(shù)和的簡便運算叫乘法”。比如，2×3可以表示2個3相加，也可以表示3個2相加。想一想：×3的含義是什么？它可以表示3個相加，即可以表示成++=×3。也可以表示個3相加嗎？為什么？

下面是說明×3含義的過程，相信你閱讀后，一定清楚×3的含義了，當(dāng)然也能回答上面的問題。

①×3=×===++，這說明×3可以表示3個相加。

②3×=（1+1+1）×=++，這也說明3×可以表示3個相加。

從上面的①②中，我們可以看到，規(guī)定×3=3×是很合理的，數(shù)學(xué)中有許多規(guī)定是非常符合“邏輯”的，而不是規(guī)定就是規(guī)定，無論理解與否都要“接受”。

③3×=3×（2÷7）=3×2÷7=3÷7×2=（3÷7）×2=×2

從上面的①、②中我們可以看到3×可以表示3個相加是多少；從③中我們可以得到，3×的含義是把3平均分成7份，表示這樣的2份是多少。3×就是求3的是多少。

一般地，對于m×或者×m（m為整數(shù)，b不等于零），你能像上面3×那樣寫出一些算式，說明它的兩種含義嗎？試一試。

7.你一定能夠根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的定義計算出×的結(jié)果，但這個算式的含義是什么呢？它的含義是“把平均分成7份，表示這樣的2份是多少”嗎？為什么？你如何說明它的這種含義？請你試著寫一寫說明含義的過程。

下面是說明×含義的過程，請你閱讀這個過程，并想一想，每一步推理的理由是什么（每一個等式成立的理由是什么）。

要說明×含義就要先說明×含義。

因為×==

又由于=×7== 7個

可見，是把平均分成7份中的1份。

因此，×的含義，就是求的7等分中的1份，也就是求的是多少。

你能說一說，×的含義是什么嗎？

想一想，寫一寫，一般地，對于·（b、n是不為零的自然數(shù)），它的含義是什么？

下面我們再來說明×的含義。

因為×=

又因為×2=

所以×=×2

因為表示把平均分成7份中的1份，所以×2就表示平均分成7份后的2份。

因此，×的含義，就是求分成7等份后的2份是多少，也就是求的是多少。

你能說一說，×的含義是什么嗎？

想一想，寫一寫，一般地，對于·（b、n是不為零的自然數(shù)），它的含義是什么？

8.請你解決下面的幾個問題，并寫出在解決每一個題目時，主要用到哪些基礎(chǔ)知識？如果讓學(xué)生去解決這些問題，那么，你覺得，哪一個題目是最難的？哪一個題目是最容易的？理由是什么？

（1）計算：+++++；

（2）計算：6×；×6；

（3）如果有一塊地的面積是6平方米，用這塊地的種玉米，那么，種玉米的這塊地有多少平方米？

想一想，為什么要弄清楚分?jǐn)?shù)乘法的含義？如果只知道計算6×的方法，而不弄清楚6×的含義，那么，學(xué)生在解決哪些問題時，可能會有困難？

9. 在上文中，對什么叫分?jǐn)?shù)乘法已經(jīng)給出了定義，想一想，寫一寫，什么叫分?jǐn)?shù)除法？

閱讀下面的分?jǐn)?shù)除法定義，并回答問題。

定義：已知兩個分?jǐn)?shù)分別為和（b、d均不為零），求一個分?jǐn)?shù)，使得與的積等于，這種運算叫作分?jǐn)?shù)的除法。

記作：÷=。

是被除數(shù)，是除數(shù)，是與的商。

問題：

（1）比較分?jǐn)?shù)乘法與除法的定義，它們有什么不相同的地方？

（2）你還記得整數(shù)除法的定義嗎？請你比較上面分?jǐn)?shù)除法的定義與下面整數(shù)除法的定義有什么異同。

整數(shù)除法定義：已知兩個數(shù)a，b，求一個整數(shù)q，使得q與b的積等于a，這種運算叫作除法。記作：a÷b=q，讀作：“a除以b（或b除a）等于q”。a叫作被除數(shù)，b叫作除數(shù)，q叫作a與b的商。符號“÷”叫作除號。

（3）如果有人認(rèn)為這樣的分?jǐn)?shù)除法定義有許多優(yōu)點，你贊成下面的這些觀點嗎？同意的在相應(yīng)的括號里打“√”，否則打“×”。

①充分利用分?jǐn)?shù)乘法的知識，把除法轉(zhuǎn)化為“求一個乘數(shù)”的運算；（ ）

②在定義中也已經(jīng)有了很簡單的如何計算兩個分?jǐn)?shù)相除的方法；（ ）

③明確了分?jǐn)?shù)乘法與除法之間的關(guān)系，即分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運算；（ ）

④定義明確地說明分?jǐn)?shù)除法就是等分除。（ ）

⑤統(tǒng)一了分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法意義，也就是這樣定義的分?jǐn)?shù)除法意義與整數(shù)除法的意義完全相同。（ ）

10. 兩個分?jǐn)?shù)和（b、d均不為零），當(dāng)≠0時，是否一定存在一個商？如果有一個商是，那么這個商是唯一的嗎？

下面是關(guān)于分?jǐn)?shù)除法商的存在性與唯一性的證明過程，請你在括號里寫出等式成立的理由。

證明（存在性）：

∵·=（ ）

= （ ）

∴ 是分?jǐn)?shù)除以的商。

由于a、b、c、d都是自然數(shù)，所以一定是一個分?jǐn)?shù)，即商=是存在的。

證明（唯一性）：

如果有兩個不相等的商和，且≠，

那么·=， ·=（ ）

則·= ·（）

即·- ·=0 （ ）

（-）·=0（ ）

由于≠0，所以-=0，即=。這與假設(shè)≠相矛盾，所以商是唯一的。

11. 有兩個學(xué)生對于分?jǐn)?shù)除法運算中，商總是存在的（有商的）和商總是唯一的有不同的看法。下面是學(xué)生甲與乙的對話，作為教師，如何向這兩個學(xué)生解釋商存在且唯一？

甲：兩個分?jǐn)?shù)相除，我不一定找得到商的，所以，還說商一定是有的，我就不相信！比如說要計算÷時，我就不知道它的商是多少。

乙：商一定是可以找出來的，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，要找÷的商，就是要找一個分?jǐn)?shù)與相乘，等于。

甲：這個我也知道，但你找出來的分?jǐn)?shù)是多少呢？

乙：我找出來的分?jǐn)?shù)是，它與相乘正好等于，如果你不相信，可以乘一乘，試一試。

甲：是它們的商？有點不太相信！我來乘一乘?！?。對的。但我是想不出來的。不過，你要是找到了一個，那么也一定是÷的商，也一定是商，這樣商不是有很多嗎？！為什么說商是唯一的呢？

乙：這個……我也不太清楚。

如果你覺得不知道如何向這兩個學(xué)生解釋商的存在性與唯一性，那么，請你再仔細(xì)讀一讀上一題（第10題）的證明過程。從理論上說，不能向?qū)W生解釋的教師，是因為他們不能很好地理解上面的證明過程。

12. 對于計算÷的商，甲、乙兩個學(xué)生繼續(xù)上面的對話：

甲：你很聰明，找到了÷的商是，我再仔細(xì)地看了這個算式和你給出的商，發(fā)現(xiàn)這個我也能找到了，就是÷==，如果要求÷的商是多少，只要=，這樣找商還是比較方便的。

乙：剛才我不是像你這樣的方法找出的，我用的是“顛倒相乘”的方法，即÷=×=，但你找的方法比我的要簡單。就不知道，對于其他的題目是不是也可以這樣做？

甲：當(dāng)然是可以的，比如說要計算：÷用我的方法，口算就可以得到結(jié)果是。你的方法算出來也一定是這個結(jié)果的。

乙：我來算一算：÷=×=，結(jié)果是一樣的。看來你的方法比我的要簡單。

甲：按照我的方法，如果是同分母分?jǐn)?shù)相除，那么只要分子相除就可以了，因為，它們分母相除永遠(yuǎn)是1。比如說，÷===3.所以只要算9÷3=3就可以了。 如÷=6÷3=2。

乙：你這個方法我覺得很有道理的，分母相同就是單位相同了，在做除法時，單位相同了就不需要再管它了。比如，9厘米÷3厘米=3。21平方米÷3平方米=7。如果單位不相同的話，我們要先把單位化成相同。比如，90毫米÷3厘米=9厘米÷3厘米=3。

甲：你說得很有道理。這樣的話，以后我們遇到不是同分母的兩個分?jǐn)?shù)相除，可以先通分，然后再按照同分母的方法除就可以了。比如，÷=÷=2÷1=2。

乙：這個方法我看是好方法。

你覺得，上面甲、乙兩個學(xué)生的觀點正確嗎？分?jǐn)?shù)除法是否可以這樣計算？這樣計算比“顛倒相乘”的方法要優(yōu)越嗎？為什么？

如果有人認(rèn)為，“分?jǐn)?shù)乘法的定義是一個好定義，它不但給出了什么叫兩個分?jǐn)?shù)相乘，而且還給出了兩個分?jǐn)?shù)相乘的計算方法（分子與分母分別相乘）。分?jǐn)?shù)除法的定義也應(yīng)該類似像乘法那樣定義：兩個分?jǐn)?shù)相除，把兩個分母相除的商作為商的分母，分子相除的商作為商的分子。”

即÷= （b、d均不為零），

你覺得，這樣的說法有道理嗎？請你比較這個分?jǐn)?shù)除法的定義與前面第9題中的定義，并想一想，這兩個定義各有什么優(yōu)點與不足？

參考答案：

1（1）.任意兩個分?jǐn)?shù)的積一定是存在的，而且是唯一的。這是因為，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的定義，兩個分?jǐn)?shù)的積，其分母是確定的不為零的兩個整數(shù)的積，分子也是確定的兩個整數(shù)的積，根據(jù)整數(shù)乘法的定義，這樣的分母與分子都是存在并且唯一的。所以，這樣定義兩個分?jǐn)?shù)的積總是存在且唯一。也就是，兩個分?jǐn)?shù)相乘后，積還是一個分?jǐn)?shù)。因此，我們可以說，分?jǐn)?shù)集合對于乘法運算是封閉的。1（2）.在分?jǐn)?shù)乘法的定義中，已經(jīng)包含了分?jǐn)?shù)乘法的計算法則，即兩個分?jǐn)?shù)相乘，分子的積作結(jié)果的分子，分母的積作結(jié)果的分母。簡單地說就是“兩個分?jǐn)?shù)相乘把它們的分子、分母分別相乘做積的分子和分母”。2（1）.學(xué)生這樣計算是受了分?jǐn)?shù)加減法計算方法的影響。由于學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)加減法，知道了同分母分?jǐn)?shù)相加減的計算方法是：“分母不變，分子相加減。”因此，會有一部分學(xué)生認(rèn)為：同分母分?jǐn)?shù)相乘的方法是“分母不變，分子相乘”。也就是說，他們這樣做主要是因為受到了分?jǐn)?shù)加減法計算方法的負(fù)遷移。3.略。4（1）.這樣的說法是有道理的。因為任意一個整數(shù)都可以看成是分母是1的分?jǐn)?shù)。這樣分?jǐn)?shù)乘法的計算法則就適合于整數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘了。當(dāng)然，這是理論上的探討，在實際計算中，沒有必要這樣做。4（2）.略。4（3）.對于×1，我們可以把1看成是，并根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的定義得到：×1=×==。可見，一個分?jǐn)?shù)乘1等于它本身。同理，可以得出一個分?jǐn)?shù)乘0等于0。5.（1）用幾個特殊的例子不能保證分?jǐn)?shù)乘法交換律一定成立。用不完全歸納法得出的結(jié)論帶有或然性。5（2）.每一步推理的理由分別是：①與②都是分?jǐn)?shù)乘法的定義；③整數(shù)乘法交換律；④分?jǐn)?shù)相等的定義；⑤等量替換。5（3）.略。6.可以表示3個相加。但無法表示個3相加，個3是一個3都不到，怎么相加呢？也就是說，分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘時有一部分含義是與整數(shù)乘法完全一樣的。3×還有一種含義是把3平均分成7份，表示這樣的2份是多少。這是整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘有別于整數(shù)乘法的地方。一般地，對于m×它有兩種含義：一是表示m個相加；二是把m平均分成b份，表示這樣的a份是多少。7.略。8.略。9.（1）略，（2）略。（3）①√；②×；③√；④×；⑤√。10.略。11.分?jǐn)?shù)除法的商是永遠(yuǎn)存在的，它指的是商總是可以找到的，如果你一時找不到，就要繼續(xù)找，不能因為你找不到，就說它不存在。商是唯一的指的是如果出現(xiàn)兩個商的話，那么這兩個商一定是相等的。12.甲乙兩個學(xué)生所舉的例子中，分子除以分子，分母除以分母都是可以整除的情況。在這種情況下，用他們所說的方法計算是簡便的，結(jié)果與用“顛倒相乘”的方法計算出的結(jié)果也是一樣的。但如果出現(xiàn)不整除的情況，比如，÷=？用甲給出的方法就不方便了。所以，從總體上說，“顛倒相乘”的方法是具有一般性的，操作也是相對方便的。

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310006）