楊亞伶 王小芃 楊玉辰 吳華英 李勇惠

摘 要：小學(xué)畢業(yè)生數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域入手，把知識(shí)系統(tǒng)整理，建構(gòu)自己的知識(shí)體系，內(nèi)化成自己的知識(shí)，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式和目的。通過整理和復(fù)習(xí)，把相關(guān)知識(shí)形成知識(shí)樹，全面了解、掌握知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而提高分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；畢業(yè)；總復(fù)習(xí)；指導(dǎo)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2013）04-0026-15

第一部分 數(shù)與代數(shù)

一、數(shù)的認(rèn)識(shí)

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.在現(xiàn)實(shí)情境中理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，能認(rèn)、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序和位置。在具體情境中，認(rèn)識(shí)萬以上的數(shù)，了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，會(huì)用萬、億為單位表示大數(shù)。

2.能說出各數(shù)位的名稱，理解各數(shù)位上的數(shù)字表示的意義；知道用算盤可以表示多位數(shù)。結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)。

3.理解符號(hào)<、=、>的含義，能用符號(hào)和詞語描述數(shù)的大小。

4.能運(yùn)用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并能進(jìn)行交流。會(huì)運(yùn)用數(shù)描述事物的某些特征，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)在日常生活中的作用。

5.知道2、3、5的倍數(shù)的特征，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，能找出10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。

6.了解公因數(shù)和最大公因數(shù)；在1～100的自然數(shù)中，能找出一個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，能找出兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。

7.了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)。

8.結(jié)合具體情境，認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，能讀、寫小數(shù)和分?jǐn)?shù)，理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義，理解百分?jǐn)?shù)的意義；會(huì)進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化（不包括將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)）。

9.能比較小數(shù)的大小和分?jǐn)?shù)的大小。

10.在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會(huì)用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量。

（二）要點(diǎn)提示

在小學(xué)階段，我們認(rèn)識(shí)了許多數(shù)和有關(guān)數(shù)的知識(shí)。我們學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的意義；整數(shù)、小數(shù)的數(shù)位順序，多位數(shù)的讀寫，多位數(shù)的改寫與省略尾數(shù)；小數(shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的互化；數(shù)的大小比較；倍數(shù)、因數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義；2、3、5倍數(shù)的特征等。

【自然數(shù)】表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3……都是自然數(shù)，一個(gè)物體也沒有用0表示，0也是自然數(shù)。自然數(shù)的基本單位是“1”，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)，0是最小的自然數(shù)。自然數(shù)中是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，0也是偶數(shù)，自然數(shù)中不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。

【整數(shù)】像-3、-2、1、0、1、2、3……這樣的數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。整數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。整數(shù)是由正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)組成的，0不是正整數(shù)也不是負(fù)整數(shù)。大于0的整數(shù)叫做正整數(shù)，沒有最大的正整數(shù)；小于0的整數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，沒有最小的負(fù)整數(shù)。

【計(jì)數(shù)單位】一（個(gè)）、十、百、千、萬、……億、十億、……都是計(jì)數(shù)單位。

【數(shù)位】計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

【位數(shù)】一個(gè)數(shù)由幾個(gè)數(shù)字寫出來（最高位不能是0）就是幾位數(shù)。

【十進(jìn)制計(jì)數(shù)法】每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10，這樣的計(jì)數(shù)方法就叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。小數(shù)部分每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率也是10。

【小數(shù)的意義】

分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)都可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……

【小數(shù)的性質(zhì)】小數(shù)的末尾添上“0”或者去掉“0”，小數(shù)的大小不變，這是小數(shù)的性質(zhì)。利用小數(shù)的這一性質(zhì)，通?？梢匀サ粜?shù)末尾的0，把小數(shù)化簡(jiǎn)；也可以根據(jù)需要在小數(shù)的末尾添上0；還可以在整數(shù)個(gè)位的右下角點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再添上0，把整數(shù)改寫成小數(shù)的形式。

【分?jǐn)?shù)的意義】把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)根據(jù)分子和分母大小關(guān)系可以分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，如■、■。分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)，如■、■、■。一個(gè)假分?jǐn)?shù)，如果分子不是分母的整倍數(shù)，可以寫成一個(gè)整數(shù)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)合并的形式，叫做帶分?jǐn)?shù)，如3■。如果分?jǐn)?shù)的分子是分母的整倍數(shù)，這樣的假分?jǐn)?shù)可以化作整數(shù)。

【分?jǐn)?shù)單位】一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是幾，它的分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一。

【分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)】分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。利用這個(gè)性質(zhì)可以把分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)或通分。

【百分?jǐn)?shù)】表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來表示，如21%、110%。

【負(fù)數(shù)】像+3、18、+123這樣的數(shù)都是正數(shù)，像-3、-10、-8、-223這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù)。0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

【因數(shù)、倍數(shù)】如果自然數(shù)a和自然數(shù)b相乘的積是c，即a×b=c。則a、b都是c的因數(shù)，c是a的倍數(shù)，也是b的倍數(shù)。

【合數(shù)】如果一個(gè)自然數(shù)除了1和它本身外還有其它因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，如4、6、9等。

【質(zhì)數(shù)】質(zhì)數(shù)也叫素?cái)?shù)，如果一個(gè)自然數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。如2、3、5、7、11等，最小的質(zhì)數(shù)是2，它也是唯一的偶質(zhì)數(shù)。

【質(zhì)因數(shù)】每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)都叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

【分解質(zhì)因數(shù)】把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，就叫做分解質(zhì)因數(shù)。

【公倍數(shù)】?jī)蓚€(gè)或幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)叫做這些數(shù)的最小公倍數(shù)。

【公因數(shù)】?jī)蓚€(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)叫做這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

【互質(zhì)數(shù)】公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。

【最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)】如果一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母為互質(zhì)數(shù)，稱這個(gè)分?jǐn)?shù)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。如：■、■、■等。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.數(shù)的從屬關(guān)系表。

2.計(jì)數(shù)單位、數(shù)位、數(shù)級(jí)順序表。

3.小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)互化表。

4.倍數(shù)、因數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等之間關(guān)系圖。

（四）智慧點(diǎn)撥

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容基本概念多，容易混淆，復(fù)習(xí)時(shí)一定要注意方法技巧。建議試一試下面的四個(gè)方法：

1.弄清概念間的聯(lián)系與區(qū)別。

（1）理解并掌握自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念和它們的計(jì)數(shù)單位，準(zhǔn)確說出每個(gè)數(shù)包含的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，會(huì)進(jìn)行數(shù)的分解與組成。認(rèn)識(shí)這些數(shù)之間的關(guān)系。能正確讀寫整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)。理解小數(shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，掌握小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化，會(huì)約分、通分。理解倒數(shù)的意義。

（2）掌握有關(guān)數(shù)的改寫、省略、互化的知識(shí)和技能，包括：①把一個(gè)較大的多位數(shù)改寫成以“萬”或“億”為單位的數(shù)；②求小數(shù)的近似數(shù)；③省略“萬”或“億”后面的尾數(shù)；④假分?jǐn)?shù)與整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的互相改寫；⑤分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的比較。

（3）掌握有關(guān)數(shù)的大小比較的知識(shí)和技能，包括：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)及其它們之間的大小比較。

2.系統(tǒng)梳理，善于比較。

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中概念云集，概念與概念之間有一定的聯(lián)系與區(qū)別，復(fù)習(xí)前進(jìn)行系統(tǒng)梳理、對(duì)照要點(diǎn)查漏補(bǔ)缺，復(fù)習(xí)時(shí)要抓住本質(zhì)、善于比較，這樣會(huì)起到事半功倍的效果。

以約分和通分為例，兩者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。聯(lián)系在于它們都是依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，都要保持分?jǐn)?shù)的大小不變。區(qū)別在于約分可以只對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行，而通分需要對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上分?jǐn)?shù)進(jìn)行；約分是對(duì)分子、分母同除以一個(gè)不等于0的數(shù)，而通分則對(duì)分子、分母同乘一個(gè)不等于0的數(shù)；約分的結(jié)果是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，通分的結(jié)果是同分母分?jǐn)?shù)。

3.把握要點(diǎn)，清晰區(qū)分概念。

（1）“數(shù)位”和“位數(shù)”?！皵?shù)位”是指寫數(shù)時(shí)，計(jì)數(shù)單位所占的位置，同一個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位不同，表示數(shù)的大小也不同。如：“3023”這個(gè)數(shù)，“3”所在的數(shù)位是個(gè)位和千位，個(gè)位上的數(shù)字“3”表示3個(gè)一，千位上的數(shù)字“3”表示3個(gè)千。“位數(shù)”是指一個(gè)自然數(shù)含有數(shù)位的個(gè)數(shù)，含有幾個(gè)數(shù)位就是幾位數(shù)。如“12345”這個(gè)數(shù)，它所含的數(shù)位分別是個(gè)位、十位、百位、千位、萬位，由于它含有五個(gè)數(shù)位，所以它是五位數(shù)。

（2）數(shù)的“改寫”與“省略”。數(shù)的改寫通常是指為了讀寫方便，把較大的數(shù)簡(jiǎn)寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)，數(shù)形發(fā)生變化，但數(shù)的大小不變，是精確值，用等號(hào)連接。如：12300=1.23萬，123400000=1.234億。而省略一個(gè)多位數(shù)“萬”或“億”后面的尾數(shù)，是要求四舍五入取近似值，一般不僅數(shù)形發(fā)生變化，而且數(shù)的大小也改變，要用約等號(hào)連接。如：12300≈1萬，34590000000≈346億。

4.前后聯(lián)系，串點(diǎn)成線。

復(fù)習(xí)本身是一個(gè)“串點(diǎn)成線”的過程，需要理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，在讀寫中間、末尾有“0”的多位數(shù)。讀數(shù)時(shí)先分級(jí)（從個(gè)位起每四位一級(jí)），再從高位起按順序讀。讀億級(jí)、萬級(jí)時(shí)，要按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，然后再加上“億”或“萬”字。寫數(shù)時(shí)，從高位起按順序?qū)?，每?jí)四位，哪個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0。在整理數(shù)的讀寫方法時(shí)就需要教師注意知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)位順序表、數(shù)級(jí)的劃分以及計(jì)數(shù)單位的知識(shí)。

二、數(shù)的運(yùn)算

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

【整數(shù)運(yùn)算】

1.結(jié)合具體情境，體會(huì)整數(shù)四則運(yùn)算的意義。

2.能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算簡(jiǎn)單的百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)。

3.能計(jì)算兩位數(shù)和三位數(shù)的加減法，三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。

4.認(rèn)識(shí)小括號(hào)、中括號(hào)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）。

5.探索并了解運(yùn)算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律），會(huì)應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便運(yùn)算。

6.在具體運(yùn)算和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)加與減、乘與除的互逆關(guān)系。

【分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)運(yùn)算】

1.會(huì)進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)（分母小于10）的加減運(yùn)算以及一位小數(shù)的加減運(yùn)算。

2.能分別進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）的加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）。

【估算和計(jì)算器】

1.能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用。

2.經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達(dá)自己的想法。

3.在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算。

4.能借助計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，探索簡(jiǎn)單的規(guī)律。

（二）要點(diǎn)提示

【加法】把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

【減法】已知兩個(gè)數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

【乘法】求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

【除法】已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

【整數(shù)加法計(jì)算法則】相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十就向前一位進(jìn)一。

【整數(shù)減法計(jì)算法則】相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位減起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從前一位退1作10再減。

【小數(shù)加、減法計(jì)算法則】先把各數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊（也就是把相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊），再按照整數(shù)加、減法的法則進(jìn)行計(jì)算，最后在得數(shù)里對(duì)齊橫線上的小數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。（得數(shù)的小數(shù)部分末尾有0，一般要把0去掉。）

【分?jǐn)?shù)加、減計(jì)算法則】分母相同時(shí)，只把分子相加、減，分母不變；分母不相同時(shí)，要先通分成同分母分?jǐn)?shù)再相加、減。

【整數(shù)乘法計(jì)算法則】把兩個(gè)因數(shù)的數(shù)位對(duì)齊；從個(gè)位起，依次用第二個(gè)因數(shù)每位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)，乘到哪一位，乘得的積的末位就要和第二個(gè)因數(shù)的那一位對(duì)齊；把幾次乘得的數(shù)加起來。（整數(shù)末尾有0的乘法：可以先把0前面的數(shù)相乘，然后看各因數(shù)的末尾一共有幾個(gè)0，就在乘得的數(shù)的末尾添寫幾個(gè)0。）

【小數(shù)乘法計(jì)算法則】按整數(shù)乘法的法則算出積；再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從得數(shù)的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；得數(shù)的小數(shù)部分末尾有0，一般要把0去掉。

【分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則】把各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子乘起來作為分子，各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母乘起來作為分母，然后再約分。

【整數(shù)的除法法則】從被除數(shù)的最高位除起，先看除數(shù)有幾位，再用除數(shù)試除被除數(shù)的前幾位，如果它比除數(shù)小，再試除多一位數(shù)；除到被除數(shù)的哪一位，就在哪一位上面寫上商；除到被除數(shù)的哪一位不夠商1，就在那一位的上面寫0。（每次除后余下的數(shù)必須比除數(shù)小。）

【除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則】按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面補(bǔ)零，再繼續(xù)除。

【除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法法則】先看除數(shù)中有幾位小數(shù)，就把被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，數(shù)位不夠的用0補(bǔ)足；然后按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法來除。

【分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則】被除數(shù)的分子與除數(shù)的分母相乘作為分子，被除數(shù)的分母與除數(shù)的分子相乘作為分母。

【積的變化規(guī)律】在乘法里，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮小）若干倍，積也擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。

【商不變的性質(zhì)】在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)，商不變。注意：如果是有余數(shù)的除法，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)后，商不變，而余數(shù)也要擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)。

【四則運(yùn)算順序】在四則混合運(yùn)算中，加、減法是同級(jí)運(yùn)算，也是第一級(jí)運(yùn)算；乘、除法是同級(jí)運(yùn)算，也是第二級(jí)運(yùn)算。在一個(gè)沒有括號(hào)的算式里，如果只含有同一級(jí)運(yùn)算，要從左往右依次計(jì)算；如果含有兩級(jí)運(yùn)算，要先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算。在有括號(hào)的算式里，要按照先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的順序運(yùn)算。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.四則運(yùn)算的意義。

2.四則運(yùn)算的關(guān)系。

3.整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算法則的異同點(diǎn)。

4.運(yùn)算定律和性質(zhì)。

（四）智慧點(diǎn)撥

1.理解算理，掌握算法。

算理是指四則計(jì)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)。算法是實(shí)施四則計(jì)算的基本程序和方法，通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。算理為算法提供了理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。因此，在計(jì)算教學(xué)中重視算理和算法是一個(gè)十分重要的課題。在計(jì)算教學(xué)中應(yīng)十分重視讓學(xué)生理解算理，特別是讓學(xué)生在直觀形象中理解算理，讓學(xué)生不僅知道計(jì)算方法，而且要知道方法背后的原理。

2.養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣，提高計(jì)算的速度和正確率。

計(jì)算是小學(xué)生必須掌握的基本能力。優(yōu)秀的計(jì)算能力基于良好的計(jì)算習(xí)慣，表現(xiàn)為正確率高、方法靈活、過程簡(jiǎn)潔。

（1）養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣

一個(gè)好的計(jì)算習(xí)慣，應(yīng)該是“一看”、“二想”、“三細(xì)算”。一看，就是計(jì)算前要注意審題，看清題目中的數(shù)據(jù)、運(yùn)算符號(hào)和算式的結(jié)構(gòu)特征；二想，就是想算式的運(yùn)算順序及怎樣靈活、簡(jiǎn)便地計(jì)算；三細(xì)算，就是認(rèn)真、細(xì)致地計(jì)算，包括：計(jì)算過程中注意及時(shí)核對(duì)數(shù)據(jù)、檢查過程；計(jì)算完畢，注意及時(shí)驗(yàn)算，確保結(jié)果正確。

（2）提高口算和估算能力

提高口算的速度與正確率，能大大提高解題的速度與正確率。提高口算速度的小竅門有：

●熟記一些數(shù)的乘積，如25×4，125×8等。

●熟記一些分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，如分母是4、5、8、20的分?jǐn)?shù)。

●掌握一些分?jǐn)?shù)加減法的速算法，如■+■，■-■等。

估算的要領(lǐng)在于根據(jù)題目的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，靈活選擇合適的估算方法，使估算結(jié)果更接近精確值。常用的估算方法有：

●把一個(gè)接近整數(shù)或整十（百）的數(shù)，當(dāng)做整數(shù)或整十（百）數(shù)來估，如3.9×5，92×6等。

●把兩個(gè)接近整數(shù)或整十（百）的數(shù)，一個(gè)數(shù)往大估，一個(gè)數(shù)往小估，如4.7×5.3，62×48等。

●把接近特殊數(shù)據(jù)的數(shù)當(dāng)做特殊數(shù)據(jù)來估，如把“24×8”估作“25×8”.

●有時(shí)初步估算的結(jié)果會(huì)與精確值有較大的差異，如把“78×13”當(dāng)作“80×10”來估，就比實(shí)際結(jié)果小了214。為了使估算結(jié)果更接近精確值，有時(shí)估算后要注意調(diào)整估算的結(jié)果。

（3）正確進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算

運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的基本依據(jù)，除上面提到的運(yùn)算定律和性質(zhì)外，“積的變化規(guī)律”和“商不變的性質(zhì)”也要熟練掌握和靈活運(yùn)用。

3.恰當(dāng)使用計(jì)算器。

在現(xiàn)代生活中，計(jì)算器和計(jì)算機(jī)普及程度越來越高，這對(duì)數(shù)學(xué)教育將產(chǎn)生重要的影響，特別是對(duì)于計(jì)算教學(xué)的影響。應(yīng)當(dāng)使學(xué)生了解計(jì)算器的功能和作用，特別是知道什么樣的問題需要用計(jì)算器，以及如何使用計(jì)算器解決問題。在探索復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題時(shí)可以使用計(jì)算器，使學(xué)生精力更多地用于思考數(shù)量關(guān)系和規(guī)律。在整理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)也可以使用計(jì)算器。統(tǒng)計(jì)問題的重點(diǎn)不是在計(jì)算，而是整理與分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中了解特點(diǎn)和規(guī)律。

三、常見的量

常見的量的內(nèi)容是除了與幾何知識(shí)有關(guān)的測(cè)量單位，其它的計(jì)量單位的內(nèi)容，基本在第一學(xué)段出現(xiàn)。

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.在現(xiàn)實(shí)情境中，認(rèn)識(shí)元、角、分，并了解它們之間的關(guān)系。

2.能認(rèn)識(shí)鐘表，了解24時(shí)計(jì)時(shí)法；結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)時(shí)間的長(zhǎng)短。

3.認(rèn)識(shí)年、月、日，了解它們之間的關(guān)系。

4.在現(xiàn)實(shí)情境中，感受并認(rèn)識(shí)克、千克、噸，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算。

5.能結(jié)合生活實(shí)際，解決與常見的量有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。

（二）要點(diǎn)提示

【量】量是事物的一種屬性，像長(zhǎng)度、面積、體積、時(shí)間、質(zhì)量等都是量。凡是量，都可以用一定的單位來量它。用一定的單位去量一個(gè)量，就得到一個(gè)數(shù)。例如：用米為單位來量南京長(zhǎng)江大橋的鐵路橋，就得到數(shù)6772。

量的大小和表示這個(gè)量的數(shù)值的大小不能混同。量的大小本來是一定的，而數(shù)值的大小則隨著度量單位的不同而變化。如：一袋洗衣粉1000克，若以千克為單位則為1千克。

【計(jì)量】把一個(gè)暫時(shí)未知量同另一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的約定的已知量作比較，這個(gè)比較的過程就叫做計(jì)量。計(jì)量在歷史上稱為度量衡，其含義是關(guān)于長(zhǎng)度、容積、質(zhì)量、速度等的測(cè)量。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

（四）智慧點(diǎn)撥

1.聯(lián)系生活，精確分清概念。

常見的量比較抽象，單位之間的進(jìn)率也比較復(fù)雜，但它又時(shí)時(shí)伴隨著人們的生活。要解決量的抽象性與學(xué)生思維形象性的矛盾，關(guān)鍵是依靠直觀學(xué)習(xí)和實(shí)踐活動(dòng)。可利用課本上的插圖和具體實(shí)物，密切聯(lián)系學(xué)生的日常生活實(shí)際，通過教師的直觀演示和學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，調(diào)動(dòng)多種感官參與，并逐步把感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。

比如：教學(xué)千克時(shí)，可以讓學(xué)生親手掂一掂1千克重的東西，通過肌肉感覺體驗(yàn)1千克的實(shí)際重量，還可以出示一些重1千克的常見物品，如一大袋洗衣粉、兩袋精鹽等，讓學(xué)生掂一掂，為他們形成1千克的重量觀念提供形象具體的支柱，以1千克的重量觀念作基礎(chǔ)，也便于認(rèn)識(shí)質(zhì)量單位噸。對(duì)于那些較大的計(jì)量單位，如千米、噸，雖說沒有明確提出初步建立表象的要求，但仍需要通過一些間接的手段，使學(xué)生獲得一些感性的認(rèn)識(shí)或間接體驗(yàn)。比如教學(xué)噸時(shí)，可以讓學(xué)生抬一抬10千克重的東西，并告訴他們100個(gè)10千克合在一起就是1噸，還可以根據(jù)當(dāng)?shù)氐那闆r，讓學(xué)生看看成袋的大米、面粉或水泥等，指出多少袋的重量才是1噸，使學(xué)生對(duì)1噸的重量有一些具體的感知。

2.體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想。

任何一個(gè)量的計(jì)量都有著類似的漫長(zhǎng)的歷史過程，這樣的過程也是極其樸素的，在量的計(jì)量教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到。像時(shí)間的認(rèn)識(shí)，年、月、日的建立都是人們?cè)谏a(chǎn)生活實(shí)踐中經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)建立的，對(duì)小學(xué)生來說，并不難懂。

例如：時(shí)間單位模型的建立。根據(jù)地球自轉(zhuǎn)，產(chǎn)生晝夜交替的現(xiàn)象形成了“日”的概念；根據(jù)月亮繞地球公轉(zhuǎn)，產(chǎn)生朔望，形成“月”的概念；根據(jù)地球繞太陽公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的四季交替現(xiàn)象而形成了“年”的概念。

3.培養(yǎng)估計(jì)的意識(shí)與能力。

估計(jì)是對(duì)物體與測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)間的近似關(guān)系做出判斷的過程。要使估計(jì)結(jié)果與精確結(jié)果比較接近，學(xué)生在頭腦中必須不斷地將被估計(jì)實(shí)物與測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)相類比，不斷地調(diào)整、嘗試，直至認(rèn)知結(jié)構(gòu)出現(xiàn)平衡。類比活動(dòng)的順利與否，與學(xué)生頭腦里積累的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的清晰與否密切相關(guān)。因此，要鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)常估計(jì)，幫助學(xué)生掌握一些估計(jì)的策略，讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中建構(gòu)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)際意義，使估計(jì)有清晰的可類比標(biāo)準(zhǔn)。

例如：估計(jì)每分鐘脈搏跳動(dòng)的次數(shù)、閱讀的字?jǐn)?shù)、跳繩的次數(shù)、走路的步數(shù)。本例既可以幫助學(xué)生體驗(yàn)1分鐘的長(zhǎng)短，又是一個(gè)估計(jì)問題，需要實(shí)際測(cè)量，在測(cè)量的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算?？梢杂腥惙椒ㄟM(jìn)行實(shí)際測(cè)量：測(cè)量半分鐘，然后用測(cè)得的數(shù)據(jù)乘2；測(cè)量1分鐘；測(cè)量2分鐘，然后用測(cè)得的數(shù)據(jù)除以2。對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以引導(dǎo)他們感悟第一種方法省事，但不夠準(zhǔn)確；第三種方法費(fèi)事，但可能更準(zhǔn)確一些，這樣的練習(xí)可以幫助學(xué)生建立選擇策略的思想。

四、式與方程

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.在具體情境中能用字母表示數(shù)。

2.結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。

3.能用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用。

4.了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程。

（二）要點(diǎn)提示

“式與方程”主要涵蓋以下三個(gè)知識(shí)要點(diǎn)：

1.用字母表示數(shù)。

【式子】用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)某種運(yùn)算的關(guān)系式。如：算式、等式、不等式、方程等。

認(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)的意義和作用，能夠用字母表示學(xué)過的運(yùn)算定律和計(jì)算公式，能夠在具體的情境中用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系。會(huì)根據(jù)字母所取的值，求含有字母式子的值。

2.解簡(jiǎn)易方程。

【等式】表示相等關(guān)系的式子叫等式。如：2+3=5等。

【方程】含有未知數(shù)的等式叫方程。如3x+5=23，2x+3x=40等。

【等式的基本性質(zhì)】等式的兩邊加上或減去相等的數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），等式不變。

【方程的解】使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。如：x=6就是方程2x+5=17的解。

【解方程】求方程的解的過程叫做解方程。如：x=6就是方程2x+5=17的解，求x=6的過程就是解方程。

明確“等式”、“方程”、“方程的解”、“解方程”的含義，會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系，理解會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)易方程。

3.列方程解決實(shí)際問題。

用簡(jiǎn)易方程解決一些實(shí)際問題，能根據(jù)具體情況，靈活選擇算法。

上述三個(gè)知識(shí)要點(diǎn)中，“用字母表示數(shù)”是學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)，“方程的意義”是學(xué)習(xí)“解簡(jiǎn)易方程”的基礎(chǔ)，“列方程解決實(shí)際問題”則是“解簡(jiǎn)易方程”的發(fā)展。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

（四）智慧點(diǎn)撥

從數(shù)到代數(shù)是數(shù)學(xué)表征的一次飛躍，數(shù)對(duì)于它所代表的具體事物來說是抽象的，而用字母表示數(shù)是又一次抽象。對(duì)于小學(xué)生來說，初步建立代數(shù)的思想具有一定的挑戰(zhàn)性。從具體的情境中使學(xué)生感知字母表示數(shù)的含義，并了解這種表示方法的作用。進(jìn)而，初步體驗(yàn)符號(hào)在數(shù)學(xué)表示中的作用，初步建立符號(hào)意識(shí)。

1.掌握規(guī)則，準(zhǔn)確進(jìn)行簡(jiǎn)寫。

用字母表示數(shù)在寫法上有一定的規(guī)則。當(dāng)字母與數(shù)字、字母與字母相乘時(shí)，中間的乘號(hào)可以記作“·”或省略不寫；數(shù)字與字母相乘時(shí)通常把數(shù)字放在前面，如a×5或5×a寫成5·a或5a；“1”與字母相乘時(shí)，“1”可以省略不寫，如1×a就直接寫成a。相同的兩個(gè)字母相乘時(shí)用“平方”表示，如a×a的簡(jiǎn)寫是a2，讀作“a的平方”，表示兩個(gè)a相乘。a2與2a是不同的，2a表示兩個(gè)a相加，即a+a。同樣a3與3a也不同，a3讀作“a的立方”，表示3個(gè)a相乘，即a×a×a；而3a表示3個(gè)a相加，即a+a+a。需要注意的是字母中間的其它運(yùn)算符號(hào)不能省略。

2.把握要點(diǎn)，清晰區(qū)分概念。

“式與方程”中概念雖然不多，但容易混淆。

等式與方程。表示相等關(guān)系的式子叫等式。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個(gè)式子是不是方程有兩個(gè)條件：一是含有未知數(shù)；二是等式。所以方程一定是等式，但等式不一定是方程。如：2a>5雖然含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程。3+5=8雖然是等式，但它不含有未知數(shù)，所以不是方程。

方程的解和解方程。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解。求方程的解的過程叫解方程。需要注意的是方程的解與解方程是兩個(gè)不同的概念，方程的解是一個(gè)可以使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，是一個(gè)數(shù)值，解方程則是求方程的解的過程。如：x=6就是方程2x+5=17的解，求x=6的過程就是解方程。

3.理解題意，列出簡(jiǎn)易方程。

簡(jiǎn)易方程引入的價(jià)值在于，為學(xué)生提供用代數(shù)方法解決問題的途徑。小學(xué)階段解決問題的基本方式是算術(shù)方法?；镜臄?shù)量關(guān)系模型有兩個(gè)：一是求和的關(guān)系（部分+部分=整體）；二是求積的關(guān)系（每份數(shù)×份數(shù)=總量）。具體的表現(xiàn)為加、減、乘、除的意義。算術(shù)方法解決問題基本上是根據(jù)加、減、乘、除四則運(yùn)算的含義，分析題中的數(shù)量關(guān)系，列出一個(gè)算式。這個(gè)算式是將已知的數(shù)量構(gòu)成的算式使其結(jié)果等于所求的數(shù)量。而用方程來解這樣的題，可以先用字母表示要求的量，將其看作已知數(shù)再根據(jù)等量關(guān)系列出方程。例如，某班共有學(xué)生45人，其中男生有22人，女生有多少人？用算術(shù)方法，就是45-22直接列式求要求的量。用方程解，可以先用字母x表示女生的人數(shù)，按照數(shù)量關(guān)系，可以列出方程22+x=45。方程直接用“部分+部分=整體”的思路，x在這里和其它數(shù)一起在解題過程中運(yùn)用，而算術(shù)方法是求和的逆運(yùn)算。在解決較為復(fù)雜的問題時(shí)，方程與算術(shù)方法有著明顯的區(qū)別。

4.掌握等式性質(zhì)，解簡(jiǎn)易方程。

對(duì)于解方程《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確“用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”。等式的性質(zhì)是“等式的兩邊加上或減去相等的數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），等式不變?！彼从沉朔匠痰谋举|(zhì)，將未知數(shù)和已知數(shù)同等看待，這也是代數(shù)思維與算術(shù)思維的基本區(qū)別。一開始從算術(shù)方法到代數(shù)方法可能顯得比較繁瑣，特別是對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，算術(shù)的方法操作起來更容易一些。但在解簡(jiǎn)單方程時(shí)還是應(yīng)當(dāng)用等式性質(zhì)，一方面體現(xiàn)代數(shù)方法的本質(zhì)，另一方面是與初中學(xué)習(xí)方程的思想保持一致。

五、正比例、反比例

正比例和反比例是一類常用的數(shù)量關(guān)系，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是函數(shù)思想在小學(xué)的體現(xiàn)。

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.在實(shí)際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡(jiǎn)單的問題。

2.通過具體情境，認(rèn)識(shí)成正比例的量和成反比例的量。

3.會(huì)根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值。

4.能找出生活中成正比例和成反比例關(guān)系量的實(shí)例，并進(jìn)行交流。

（二）要點(diǎn)提示

【比】?jī)蓚€(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。

【比的基本性質(zhì)】比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。

【按比例分配】在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配方法通常叫做按比例分配。

【比例】表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。組成比例的四個(gè)數(shù)叫做比例的項(xiàng)，兩端的兩個(gè)叫外項(xiàng)，中間的兩個(gè)叫內(nèi)項(xiàng)。

【比例的基本性質(zhì)】在比例里，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積等于兩個(gè)外項(xiàng)的積。

【比例尺】圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做一幅圖的比例尺。

圖上距離：實(shí)際距離=比例尺 或 ■=比例尺

【成正比例的量】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關(guān)系可以用下面的式子表示：■=k（一定）

【成反比例的量】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積（一定），反比例關(guān)系可以用下面的式子來表示：

x × y = k （一定）

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.比和比例。

2.分?jǐn)?shù)、除法、比的關(guān)系。

3.求比值與化簡(jiǎn)比的區(qū)別及聯(lián)系。

4.正、反比例的判斷。

（四）智慧點(diǎn)撥

1.緊密聯(lián)系生活實(shí)際。

正比例和反比例的關(guān)系本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系，小學(xué)階段并不出現(xiàn)函數(shù)的概念，是讓學(xué)生具體地感知兩個(gè)量之間的關(guān)系。一是使學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解更豐富，二是為第三學(xué)段進(jìn)一步學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，以及學(xué)習(xí)一般的函數(shù)知識(shí)做準(zhǔn)備。學(xué)習(xí)中要與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，從數(shù)量之間關(guān)系的角度，理解和掌握兩個(gè)量之間的變化規(guī)律。

2.理清基本概念。

比例、正比例、反比例是這部分的幾個(gè)基本概念，十分重要。學(xué)習(xí)比例的相關(guān)知識(shí)以及比例的應(yīng)用都有賴于對(duì)這些概念的理解和掌握。如解答含正反比例關(guān)系的實(shí)際問題，首先要對(duì)兩個(gè)量成何比例做出判斷，然后依據(jù)正比例或反比例數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)解答。再如，比例尺的應(yīng)用及圖形的放大與縮小，都要依據(jù)比例的意義進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。教學(xué)中要通過觀察、比較、判斷、歸納等方法幫助學(xué)生建立明晰的概念，把握概念的內(nèi)涵。同時(shí)通過應(yīng)用，不斷加深對(duì)這些概念的理解和掌握。

3.提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

這部分的知識(shí)綜合性比較強(qiáng)，如比例的概念與比、除法、分?jǐn)?shù)等相關(guān)知識(shí)，解比例及用比例方法解決問題，要用到方程的相關(guān)知識(shí)。所以學(xué)習(xí)中既要注意新舊知識(shí)的聯(lián)系，又要注意發(fā)展學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

六、探索規(guī)律

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)。

（二）要點(diǎn)提示

1.探索規(guī)律。

探索給定圖形或數(shù)字中隱含的簡(jiǎn)單規(guī)律。

2.排列組合。

有順序地、全面地找出事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如用三張數(shù)字卡片組成三位數(shù)，找出不同三位數(shù)的排列數(shù)；兩件上衣和三條褲子不同搭配，找出不同穿法的組合數(shù)。

3.邏輯推理。

能根據(jù)已知條件通過判斷推出結(jié)論。

4.集合思想。

用集合圈準(zhǔn)確分類，直觀、形象地表示出數(shù)學(xué)概念，用集合的思想方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

5.等量代換。

明確等量代換是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，在解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)等量代換的思想。

6.統(tǒng)籌優(yōu)化。

從優(yōu)化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案。

7.植樹問題。

找準(zhǔn)總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，能根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決類似的實(shí)際問題。

8.數(shù)字編碼。

會(huì)用數(shù)字或者符號(hào)進(jìn)行編碼，準(zhǔn)確地表示出事物蘊(yùn)含的客觀規(guī)律。

9.雞兔同籠。

用“假設(shè)法”和列方程的方法解決雞兔同籠問題。

（三）智慧點(diǎn)撥

小學(xué)階段的“數(shù)學(xué)思考”由各冊(cè)教材的“數(shù)學(xué)沖浪”和“探索樂園”組成。與其它的內(nèi)容不同，它側(cè)重于數(shù)學(xué)思想方法，側(cè)重于尋找解決問題的策略，側(cè)重于訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、發(fā)展邏輯思維能力。與學(xué)習(xí)其它內(nèi)容不同，學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)更強(qiáng)調(diào)“理解”、“體會(huì)”和“感悟”，所以復(fù)習(xí)時(shí)我們更需要注意溫故而知新，進(jìn)一步加深理解和體會(huì)。

1.全面回顧，系統(tǒng)梳理。

我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，由淺入深，由此及彼，進(jìn)而認(rèn)識(shí)相關(guān)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，這個(gè)過程不是一次就能完成的，需要有個(gè)反復(fù)。所以，進(jìn)行一次系統(tǒng)的、全面的回顧與整理是十分必要的。教材的“找規(guī)律”是探索給定圖形或數(shù)中簡(jiǎn)單的排列規(guī)律?！疤剿鳂穲@”中滲透了排列、組合、集合、等量代換、邏輯推理、統(tǒng)籌優(yōu)化、數(shù)字編碼、雞兔同籠等方面的數(shù)學(xué)思想方法。

2.尋找規(guī)律，以簡(jiǎn)馭繁。

數(shù)學(xué)思想方法看上去很抽象，很繁雜，其實(shí)它是有規(guī)律可循的。數(shù)學(xué)思想方法是神奇的，它可以化難為易，幫助我們解決問題。教材中的每一個(gè)例子，都是數(shù)學(xué)思想方法的“形象化身”，因此，我們要真正弄懂每一個(gè)例子，領(lǐng)會(huì)其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，明白其中的道理。

如“植樹問題”關(guān)鍵要分清是段數(shù)和棵數(shù)，分清兩端是否都植樹；“排列、組合”的要領(lǐng)是有序、不重復(fù)、不遺漏；“雞兔同籠”是假設(shè)的思想或用方程來做找出等量關(guān)系……可見，每一類數(shù)學(xué)思想方法都有相應(yīng)的要領(lǐng)、思路和方法，關(guān)鍵在于我們要善于把握規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)，以簡(jiǎn)馭繁。

3.聯(lián)系生活，學(xué)以致用。

數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用在生活中隨處可見。車票種類問題的排列數(shù)，體育比賽的場(chǎng)次設(shè)定，電話號(hào)碼超過多少就要升位等需要用到排列組合的知識(shí)；外出旅行怎樣選擇路線和交通工具，才能使旅行所需費(fèi)用最少，這些屬于優(yōu)化問題。汽車的車牌號(hào)、火車的車次、人們的身份證號(hào)等都離不開數(shù)字編碼思想……只要我們擁有一雙善于觀察的眼睛，你會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中處處離不開數(shù)學(xué)。從這些生活原型中提取數(shù)學(xué)元素，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解釋這些生活現(xiàn)象，真正做到學(xué)以致用，才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的。

第二部分圖形與幾何

一、圖形的認(rèn)識(shí)

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線。

2.體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知道兩點(diǎn)間的距離。

3.結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。

4.知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。

5.認(rèn)識(shí)等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

6.通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊，三角形內(nèi)角和是180°。

7.通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會(huì)用圓規(guī)畫圓。

8.能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖。

9.通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的展開圖。

（二）要點(diǎn)提示

【點(diǎn)、線、角】

●從一點(diǎn)出發(fā)可以畫無數(shù)條射線。過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線，過兩點(diǎn)只能畫一條直線。

●直線沒有端點(diǎn)，可以向兩端無限延伸，所以長(zhǎng)度無法測(cè)量。射線有一個(gè)端點(diǎn)，可以向另一端無限延伸，所以長(zhǎng)度也無法測(cè)量。線段有兩個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度可以測(cè)量。

●從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。這兩條射線叫做角的邊。角的大小與兩邊張開的大小有關(guān)，與兩邊的長(zhǎng)短無關(guān)。

●角的分類及特征

【平面圖形】

●三角形

由三條線段首尾順次相接圍成的封閉圖形叫三角形。

三角形任意兩邊的和大于第三邊。三條線段，如果兩條短邊之和大于第三邊，則一定能圍成三角形。

三角形內(nèi)角和是180°。一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角。

三角形具有穩(wěn)定性。

●四邊形

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形。

只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形。

●圓

當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。根據(jù)定義，通常用圓規(guī)來畫圓。

圓是曲線圖形。

在同一個(gè)圓中，所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等。

【立體圖形】

●長(zhǎng)方體和正方體

長(zhǎng)方體是由6個(gè)長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）圍成的立體圖形。在一個(gè)長(zhǎng)方體中，相對(duì)的面完全相同，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等。

正方體是由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形。正方體是特殊的長(zhǎng)方體。

●圓柱和圓錐

圓柱的兩個(gè)圓面叫做底面；周圍的面叫做側(cè)面；兩個(gè)底面之間的距離叫做高。

圓柱的側(cè)面是曲面，展開后可能是長(zhǎng)方形，也可能是正方形，還可能是平行四邊形。

圓錐有一個(gè)頂點(diǎn)，圓錐的底面是個(gè)圓，從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.基本圖形分類及關(guān)系。

基本圖形線線段射線直線平行線垂線角銳角、直角、鈍角平角、周角

2.平面圖形的分類及關(guān)系。

3.立體圖形的分類及特征。

（四）智慧點(diǎn)撥

“圖形的認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容基本概念多，對(duì)空間想象的能力要求高，復(fù)習(xí)時(shí)一定要注意方法技巧。建議試一試下面的四個(gè)方法：

1.抓關(guān)鍵詞，加深概念理解。

由于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)起步早，初學(xué)時(shí)學(xué)生的理解和接受能力不夠，以及知識(shí)遺忘等原因，學(xué)生對(duì)“基本概念”的理解往往存在著模糊或錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。如“直線比射線長(zhǎng)”，“不相交的兩條直線叫做平行線”等。因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意抓關(guān)鍵詞來強(qiáng)化對(duì)比辨析，從而加深理解、澄清認(rèn)識(shí)，不僅溫故而且知新。

如：“梯形”概念中的“只”字；“兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形”中的“完全一樣。”；平行線概念中“同一平面內(nèi)”等等這些關(guān)鍵詞對(duì)深入理解概念就很重要。

2.對(duì)比辨析，突出概念的特征。

如：線段“有始有終”，射線“有始無終”，直線“無始無終”。平行四邊形和梯形的概念對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)平行四邊形是兩組對(duì)邊平行且相等，而梯形是只有一組對(duì)邊平行。這樣就突出了這兩個(gè)概念的不同點(diǎn)。

3.巧用集合圈，明晰圖形之間的關(guān)系。

通過這些集合圈，我們就能清晰地明白不同圖形之間的包含關(guān)系，便于知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的掌握、運(yùn)用。

4.動(dòng)手操作，深入理解圖形形成過程。

如：在理解圓柱和圓錐的形成過程時(shí)，一定用一張長(zhǎng)方形紙像下（圖一）這樣旋轉(zhuǎn)一周，然后想象圓柱形成的過程，這樣就能幫助理解什么是圓柱的高、圓柱的側(cè)面是一曲面、圓柱的高有無數(shù)條這些相對(duì)抽象的知識(shí)點(diǎn)了。再如圓錐的形成（圖二）、圓錐側(cè)面展開圖是一扇形（圖三）這些知識(shí)點(diǎn)都可以通過動(dòng)手操作來深入理解。

二、測(cè)量

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.在實(shí)踐活動(dòng)中，體會(huì)并認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算，能恰當(dāng)?shù)剡x擇長(zhǎng)度單位。

2.結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)，并能測(cè)量簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)，探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式。

3.探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

4.能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會(huì)用三角尺畫30°，45°，60°，90°的角。

5.知道面積單位：千米、公頃。

6.通過操作，了解圓的周長(zhǎng)與直徑的比為定值，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式；探索并掌握?qǐng)A的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

7.會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。

8.通過實(shí)例了解體積（包括容積）的意義及度量單位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），能進(jìn)行單位之間的換算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的實(shí)際意義。

9.結(jié)合具體情境，探索并掌握長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計(jì)算方法，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

10.體驗(yàn)?zāi)承?shí)物（如土豆等）體積的測(cè)量方法。

（二）要點(diǎn)提示

【周長(zhǎng)】圍成一個(gè)平面圖形所有邊長(zhǎng)的總和。

【面積】指物體表面或圍成的平面圖形的大小。

【表面積】物體表面的總面積叫做物體的表面積。

【體積】物體所占空間的大小叫做物體的體積。

【容積】倉庫或容器所能容納物體的體積叫容積。容積單位一般用體積單位。當(dāng)計(jì)算能容納的物體是液體時(shí)，常用升、毫升作單位。

【體積和容積的異同點(diǎn)】容積的計(jì)算方法跟體積的計(jì)算方法相同，但要從容器的里面量長(zhǎng)、寬、高，而計(jì)算體積要從外面量長(zhǎng)、寬、高。

【測(cè)量的單位及進(jìn)率】

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.平面圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式。

2.立體圖形的表面積和體積計(jì)算公式。

立體圖形長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2體積=長(zhǎng)×寬×高正方體表面積=棱長(zhǎng)2×6體積=棱長(zhǎng)3圓柱表面積=底面積×2+側(cè)面積 （側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高）體積=底面積×高圓錐：體積=底面積×高×■

（四）智慧點(diǎn)撥

“測(cè)量”這部分內(nèi)容不僅對(duì)空間想象的能力要求高，涉及到的計(jì)算公式很多，而且與生活聯(lián)系緊密，習(xí)題富有變化，因此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)一定要活學(xué)活用，注意方法。

1.試用倒說法，深刻理解結(jié)論內(nèi)涵。

對(duì)于重要的結(jié)論，我們還可以通過“倒說法”，即顛倒“前提”和“結(jié)論”，倒之則錯(cuò)，來強(qiáng)化對(duì)結(jié)論的理解。如“等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的三分之一”，倒說成“如果圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，那么它們一定等底等高”，說法就是錯(cuò)誤的。

2.借助表格，突出公式之間的聯(lián)系。

在前面知識(shí)點(diǎn)梳理的過程中，大家可以借助表格，把知識(shí)梳理成網(wǎng)、串點(diǎn)成線的過程中，清晰地發(fā)現(xiàn)不同的平面圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式、不同立體圖形的表面積和體積計(jì)算公式之間的區(qū)別和聯(lián)系。這樣強(qiáng)化對(duì)比，突出不同，對(duì)理解公式，靈活運(yùn)用公式解決問題是非常必要的。

3.突出想象，形成畫圖習(xí)慣。

圖形與幾何離不開想象，但單純依靠想象，事倍功半。如果“想象”與“畫圖”結(jié)合起來，才能事半功倍，因?yàn)楫媹D能幫助我們把抽象的具體化，把不易理解的形象化。一個(gè)喜歡畫圖的人，一定是善于想象的人。

如：把一個(gè)正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了8平方米。原來正方體的表面積是多少平方米？

如果只憑想象，做起來比較困難。按照題意畫圖，可以幫助我們思考，找出解決問題的方法來。按題意畫立體圖：

從圖中不難看出，表面積增加了8平方米，實(shí)際上是增加2個(gè)正方形的面，每個(gè)面的面積是8÷2=4（平方米）。原正方體是6個(gè)面，即表面積為4×6=24（平方米）。

再如：用3個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是多少？

按題意畫立體圖來表示，三個(gè)長(zhǎng)方體拼成的大長(zhǎng)方體有以下三種情況：

（l）拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是2×3=6（厘米），寬3厘米，高1厘米。表面積為（6×3+6×l+3×l）×2=54（平方厘米）。

（2）拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是3×3=9（厘米），寬2厘米，高1厘米。表面積為（9×2+9×1+2×1）×2=58（平方厘米）。

（3）拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是3厘米，寬是2厘米，高是1×3=3（厘米）。表面積為（3×2+3×3+2×3）×2=42（平方厘米）。

這道題有以上三種答案，通過畫圖起到審題和理解題意的作用。

4.領(lǐng)會(huì)過程，感悟數(shù)學(xué)思想。

比知識(shí)重要的是方法，比方法重要的是思想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要掌握知識(shí)，學(xué)會(huì)方法，還要感悟蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中的數(shù)學(xué)思想。這部分內(nèi)容，最值得玩味的是“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。通過轉(zhuǎn)化，用舊知識(shí)解決了新問題；通過轉(zhuǎn)化，無從下手的問題會(huì)變得易如反掌。因此，這里的“領(lǐng)會(huì)過程”包含了兩個(gè)過程：一是公式的推導(dǎo)過程，對(duì)于公式推導(dǎo)過程中的轉(zhuǎn)化思想和方法，我們頭腦中要能清晰地再現(xiàn)。請(qǐng)根據(jù)下列圖形面積公式或體積公式的推導(dǎo)過程來進(jìn)一步感悟“轉(zhuǎn)化”思想的奇妙吧！

二是解決問題的過程，對(duì)于解決問題過程中的轉(zhuǎn)化思想和方法，我們也要掌握要領(lǐng)、學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

5.聯(lián)系實(shí)際，解決生活問題。

計(jì)算公式是死的，生活問題是活的。解決問題一定要聯(lián)系生活，聯(lián)系實(shí)際，具體問題具體分析，不可硬套公式，要靈活應(yīng)變。

以“表面積計(jì)算”為例，首先要根據(jù)生活嘗試進(jìn)行判斷：計(jì)算的對(duì)象缺不缺面？缺的是哪個(gè)面？有的是缺上面，如游泳池、火柴盒的內(nèi)匣；有的是上下面都缺，如豎立的通風(fēng)管、兩層樓之間的立柱；還有的可能缺某個(gè)側(cè)面等等。再比如“取近似值”計(jì)算制作水桶的材料，要用“進(jìn)一法”；計(jì)算水桶的容積，要用“去尾法”。這些都需要根據(jù)具體問題和生活常識(shí)，作出正確的判斷和選擇。否則，就可能鬧出一些笑話。

三、圖形的運(yùn)動(dòng)

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.通過觀察、操作等活動(dòng)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸，能在方格紙上畫出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸；能在方格紙上補(bǔ)全一個(gè)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形。

2.通過觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識(shí)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑?jiǎn)單圖形平移，會(huì)在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°。

3.能利用方格紙按一定比例將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小。

4.能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的角度欣賞生活中的圖案，并運(yùn)用它們?cè)诜礁窦埳显O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的圖案。

（二）要點(diǎn)提示

【平移】在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。決定平移后圖形位置的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是平移的方向；二是平移的距離。

【旋轉(zhuǎn)】在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)，沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。決定旋轉(zhuǎn)后圖形位置的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是旋轉(zhuǎn)的方向；二是旋轉(zhuǎn)的角度。

【放大與縮小】圖形的放大與縮小是指按“一定的比”放大或縮小——前項(xiàng)為1是縮小，后項(xiàng)為1是放大。把一個(gè)圖形按一定的比放大或縮小，只要把圖形的各邊按一定的比放大或縮小。如按2：1放大，只要把圖形的各邊放大到原來的2倍（面積為原來的4倍）；按1：3縮小，只要把圖形的各邊分別縮小到原來的■（面積為原來的■）。

圖形的放大與縮小，只改變圖形的大小，不改變圖形的形狀。

【軸對(duì)稱圖形】如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.平移與旋轉(zhuǎn)的方法。

2.一些常見平面圖形的對(duì)稱軸。

3.圖形的運(yùn)動(dòng)與變換的分類方式。

圖形的運(yùn)動(dòng)與變換變換圖的位置平移旋轉(zhuǎn)改變圖形的大小縮小放大對(duì)稱軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

（四）智慧點(diǎn)撥

小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)”定位有了感性體驗(yàn)、初步認(rèn)識(shí)。觀察、動(dòng)手操作是學(xué)好這部分內(nèi)容的重要方法和手段，因?yàn)閮和某橄笏季S需要具體形象思維與生活經(jīng)驗(yàn)給予支撐，對(duì)感知圖形運(yùn)動(dòng)這些抽象概念來說尤其重要。因此在教學(xué)過程中，一定注意以下方法來輔助理解這部分內(nèi)容。

1.結(jié)合生活實(shí)例，在觀察與比較中認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)。

在生活中有很多圖形或圖案呈現(xiàn)出對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn)的形式，通過對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換，同樣可以設(shè)計(jì)制作美麗的圖案。因此，在教學(xué)中，多收集一些這樣的素材，通過學(xué)生的觀察、比較，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度去發(fā)現(xiàn)不同的圖形變換。

例如，教學(xué)“圖形的變換”時(shí)為豐富教材中的典型素材，注意融入了像道閘、車輪、鐘擺等素材并利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在教學(xué) “軸對(duì)稱變換”時(shí)，可借助下面一組學(xué)生在生活中喜聞樂見的民族特點(diǎn)濃厚的素材。這樣做，一方面有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動(dòng)的興趣，另一方面使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的概括能力。

2.借助操作活動(dòng)，加深對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生體會(huì)變換的特征。

加強(qiáng)學(xué)生的操作活動(dòng)，也是提高圖形變換教學(xué)成效的一個(gè)策略。操作是一種重要的實(shí)踐活動(dòng)。圖形變換的操作主要是在方格紙上畫一個(gè)圖形經(jīng)某變換后的圖形和剪對(duì)稱圖形。應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，并在操作過程中積極思考，發(fā)展思維能力。

如教學(xué)“線的旋轉(zhuǎn)”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過用鉛筆表示線段在桌面方格中以三種不同的旋轉(zhuǎn)中心（鉛筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點(diǎn)）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。來感悟旋轉(zhuǎn)中心可以是線段上的任意一點(diǎn)，為后面在方格紙上畫線段提供實(shí)物支撐。

3.注重從變換的角度引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計(jì)圖案。

學(xué)習(xí)圖形與變換內(nèi)容的一個(gè)重要目的是使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界。因此，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從變換的角度欣賞圖形，設(shè)計(jì)圖案。例如，“感悟旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用”時(shí)，教師可以借助信息技術(shù)，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)一些基本圖形旋轉(zhuǎn)后形成的美麗圖形和圖案，鼓勵(lì)學(xué)生從變換的角度欣賞圖形與圖案，感受其中蘊(yùn)涵的對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)明美。還可以把在生活中隨處可見的美麗圖案展示出來，學(xué)生在觀察這些圖案時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)其中包含的熟悉的圖形，就會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光分析圖案的組成，識(shí)別不同基本圖形的變換過程，從而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)揮自己的個(gè)性和創(chuàng)造力，親自動(dòng)手設(shè)計(jì)圖案。

4.在解決問題中注重“圖形的運(yùn)動(dòng)”和相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力。

①從變換角度認(rèn)識(shí)圖形。在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)過程中可以借助變換，動(dòng)態(tài)直觀地刻畫圖形的屬性。例如：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓、長(zhǎng)方體、正方體、圓錐等圖形，在認(rèn)識(shí)它們的特征時(shí)可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱的變換，清晰直觀地發(fā)現(xiàn)圖形隱含著的特點(diǎn)。

②從變換的角度理解度量。小學(xué)階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導(dǎo)過程中，時(shí)刻都能感受到變換的重要作用。三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導(dǎo)過程中，會(huì)用到拼湊、割補(bǔ)等多種推導(dǎo)的方法，這些方法的實(shí)質(zhì)是圖形的變換。

四、圖形與位置

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1. 會(huì)用上、下、左、右、前、后描述物體的相對(duì)位置。

2. 給定東、南、西、北四個(gè)方向中的一個(gè)方向，能辨認(rèn)其余三個(gè)方向，知道東北、西北、東南、西南四個(gè)方向，會(huì)用這些詞語描繪物體所在的方向。

3.了解比例尺；在具體情境中，會(huì)按給定的比例進(jìn)行圖上距離與實(shí)際距離的換算。

4.能根據(jù)物體相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置。

5.會(huì)描述簡(jiǎn)單的路線圖。

6.在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對(duì)（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)。

（二）要點(diǎn)提示

【根據(jù)方向和距離確定位置】

●用上、下、前、后、左、右來確定位置，主要用來確定現(xiàn)實(shí)空間中物體的位置。

●用東、南、西、北、東南、東北、西南、西北八個(gè)方位來確定位置，或用方向和距離結(jié)合起來確定位置，既可以用來確定現(xiàn)實(shí)空間中物體的位置，又可以用來確定平面圖上物體的位置。

●根據(jù)方向和距離確定位置的方法。

先確定方向，再確定距離。

確定物體所在的方向，除正東、正南、正西、正北和東北、東南、西北、西南八個(gè)方向外，生活中一般我們先說與物體所在方向離得較近（夾角大小）的方位。如下圖，描述學(xué)校的方向和位置，一定首先確定觀測(cè)點(diǎn)。如果是以小明家為觀測(cè)點(diǎn)，那學(xué)校的方位，一般說成“在小明家的北偏東30°400米的地方”，不說成“東偏北60°”。

【用數(shù)對(duì)表示位置】

用數(shù)對(duì)來確定位置，主要用來確定平面圖上物體的位置。

用數(shù)對(duì)表示位置的規(guī)則：先列后行。橫排為行，豎排為列。確定第幾列，一般從左往右數(shù)；確定第幾行，一般從前往后數(shù)（方格紙上從下往上數(shù)）。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

（四）智慧點(diǎn)撥

“圖形與位置”這部分教學(xué)的總體建議：空間與人類生存和居住密切相關(guān)，了解、探索和把握空間，能使學(xué)生更好地生存、活動(dòng)和成長(zhǎng)。“圖形與位置”的內(nèi)容是“空間觀念”在教材中的具體呈現(xiàn)，因此，發(fā)展學(xué)生的空間觀念是“圖形與位置”教學(xué)的核心目標(biāo)。

在“圖形與位置”的教學(xué)中，如何更好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？在此有三點(diǎn)建議：

1.充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生的空間知識(shí)來自于豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。讓學(xué)生在“教室里”、“校園內(nèi)”、“電影院中”、“上學(xué)路上”等熟悉的情境中學(xué)習(xí)“位置與方向”的內(nèi)容，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，而且有利于更好地認(rèn)識(shí)空間，發(fā)展空間觀念。

2.讓學(xué)生經(jīng)歷生活，經(jīng)歷回憶、觀察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活動(dòng)過程。

發(fā)展空間觀念的途徑是多樣化的，在教學(xué)中教師只有讓學(xué)生經(jīng)歷了多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，才能逐步發(fā)展空間觀念。

3.倡導(dǎo)自主探索與合作交流的教學(xué)方式。

以被動(dòng)的聽講和練習(xí)為主的方式，很難形成空間觀念。培養(yǎng)空間觀念需要大量的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生需要有充分的時(shí)間和空間去經(jīng)歷多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，這不僅需要自主探索、親身體驗(yàn)，更需要合作交流。

如：上海在北京南偏東30度方向上（如下圖），這是以北京為觀測(cè)點(diǎn)。如果以上海為觀測(cè)點(diǎn)，上海與北京這一相互位置關(guān)系也可以換成下面說法：

北京在上海北偏西30度

方向上

教學(xué)中教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)比，

讓學(xué)生體會(huì)到選準(zhǔn)觀測(cè)點(diǎn)的

重要性。

第三部分 統(tǒng)計(jì)與概率

一、簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.會(huì)根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ占瘮?shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)記錄在統(tǒng)計(jì)表中；會(huì)進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析。

2.認(rèn)識(shí)條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖；能用條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖直觀且有效地表示數(shù)據(jù)。

3.理解平均數(shù)的意義，會(huì)用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)的不同特征。

4.能從報(bào)紙雜志、電視等媒體中有意識(shí)地獲得一些數(shù)據(jù)信息，并能讀懂簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)圖表。

5.能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，根據(jù)結(jié)果作出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)。

（二）要點(diǎn)提示

【平均數(shù)】表示數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。用該組數(shù)據(jù)的總和除以該組數(shù)據(jù)的樣本總數(shù)得到的商。

【中位數(shù)】把一組數(shù)據(jù)從大到小（或從小到大）依次排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

【眾數(shù)】一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

（三）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過程。

2.統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)和作用。

用統(tǒng)計(jì)圖表示有關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系，比統(tǒng)計(jì)表更加形象具體，使人一目了然，印象深刻。它們各自的特點(diǎn)和作用見下表：

3.選擇合適的統(tǒng)計(jì)量。

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量意義不同，特點(diǎn)和適用范圍也不同，詳見下表。

（四）智慧點(diǎn)撥

1.填寫復(fù)式統(tǒng)計(jì)表的表頭時(shí)要注意不要漏了項(xiàng)。要注意橫格與豎格所表示的項(xiàng)目?jī)?nèi)容。填寫分段數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)分段要?jiǎng)?，不要有重疊。

2.在用復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖表示數(shù)據(jù)時(shí)，要注意用不同的條形或折線加以區(qū)分，并注明圖例。

如：

3.在用折線統(tǒng)計(jì)圖表示數(shù)據(jù)時(shí)，如果橫軸上的數(shù)據(jù)不是相等的，要注意間隔和所表示的數(shù)據(jù)成比例。

如，某市無線電一廠產(chǎn)值增長(zhǎng)情況如下：

用折線統(tǒng)計(jì)圖表示上面的數(shù)據(jù)時(shí)，要注意2003年到2006年是3年，2010年到2011年是1年，其他的是2年間隔。

4.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量各有優(yōu)勢(shì)，在實(shí)際問題中需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)量去描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。

如：有一家鞋店，最近銷售各種尺碼鞋的數(shù)量為31雙，其中各種鞋的銷售量如下表：

為這家鞋店提供進(jìn)貨建議時(shí)，我們可以看到，在鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)中，21是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，21碼的鞋子銷量最大，所以建議鞋店多進(jìn)21碼的鞋子。

二、隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.感受簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象；能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果。

2.感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的；能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進(jìn)行交流。

（二）要點(diǎn)提示

【確定現(xiàn)象】生活中會(huì)遇到很多事件，有些事件的結(jié)果是可以預(yù)知的，包括一定會(huì)發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件，我們稱此類事件叫確定現(xiàn)象。通常用“一定”或“不可能”來描述這類現(xiàn)象。

【隨機(jī)現(xiàn)象】生活中的有些事件發(fā)生的結(jié)果是不確定的，如擲一枚硬幣，正面向上還是反面向上；射擊時(shí)，是中靶還是脫靶；某一天，有可能下雨，也有可能不下雨等事件。在一定條件下是否發(fā)生，不能預(yù)先確定，這就是隨機(jī)現(xiàn)象。通常用“經(jīng)?！薄ⅰ芭紶枴被?“可能”等詞來描述這類現(xiàn)象。

【等可能性】指事件發(fā)生的可能性相同。

（三）智慧點(diǎn)撥

1.分辨可能性的大小。在分辨可能性大小的問題中，最常用的方法是將所有可能的情況都列舉出來，哪種情況出現(xiàn)次數(shù)越多，其發(fā)生的可能性就較大。

如：一個(gè)袋子中放著2個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球，這幾個(gè)球的形狀和大小完全一樣。從袋子中任意摸出一個(gè)，摸到哪種球的可能性大？

分析：要判斷摸到哪種球的可能性大，首先要將從袋子中摸出一個(gè)球的所有可能情況列舉出來。袋子中有4個(gè)形狀大小完全相同的球，任意摸出一個(gè)球，這4個(gè)球被摸到的可能性是相等的，所以一共有4種可能結(jié)果，而袋子中裝有2個(gè)紅球，即紅球出現(xiàn)的次數(shù)多，因此摸到紅球的可能性就大。

第四部分 綜合與實(shí)踐

（一）目標(biāo)導(dǎo)航

1.結(jié)合實(shí)際情境，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程。

2.在給定目標(biāo)下，感受針對(duì)具體問題提出設(shè)計(jì)思路、制訂簡(jiǎn)單的方案解決問題的過程。

3.通過應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識(shí)和方法，了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）智慧點(diǎn)撥

1.認(rèn)真審題，篩選提取有用信息。

綜合與實(shí)踐內(nèi)容涉及面廣，題材選擇開放，題型千變?nèi)f化，表達(dá)形式活潑，信息資源豐富。因此，在解決問題前需要我們認(rèn)真審題，從數(shù)學(xué)的角度去觀察、發(fā)現(xiàn)、收集信息，并對(duì)所有信息進(jìn)行篩選，提取有用數(shù)學(xué)信息，明確題目要我們做什么。

2.迅速思考，及時(shí)填補(bǔ)知識(shí)空隙。

明確問題后要迅速思考這道題屬于哪類數(shù)學(xué)問題，需要運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，然后按照解決此類問題的一般方法與步驟去解決。解決綜合性較強(qiáng)的問題的難點(diǎn)在于利用現(xiàn)有知識(shí)往往不能直接解決，現(xiàn)有知識(shí)和現(xiàn)實(shí)問題之間存在“空隙”，解題時(shí)要迅速找到兩者之間的橋梁，及時(shí)填補(bǔ)知識(shí)上的空隙。

3.仔細(xì)分析，注意整合多種方法。

綜合與實(shí)踐類問題往往不是用哪一種方法就能解決的，它需要多種數(shù)學(xué)方法的參與，要注意運(yùn)用列表、假設(shè)、倒推等多種策略去嘗試解決那些綜合程度較高的題目。

4.“綜合與實(shí)踐”這類問題將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識(shí)和方法解決問題，會(huì)顯示出一個(gè)人多方面的能力，比如：搜集數(shù)據(jù)的能力、分析篩選數(shù)據(jù)的能力、課外調(diào)查的能力、與他人合作解決問題的能力等。

例如，某班計(jì)劃清明節(jié)春游踏青，應(yīng)該到哪出游呢？應(yīng)該選擇什么樣的出行工具呢？所需要的費(fèi)用大概是多少呢？

解決這一問題，需要提前進(jìn)行充分的調(diào)查、論證，一起商討出一個(gè)比較合理的清明節(jié)春游踏青方案。通常我們可以采用下面的流程來嘗試解決。

首先，我們應(yīng)該把出行目的地的選擇和出行路線的設(shè)計(jì)、出行工具的選擇、門票的費(fèi)用和其它方面的費(fèi)用等進(jìn)行工作的分工。

其次，由每一組同學(xué)分別就自己負(fù)責(zé)的內(nèi)容進(jìn)行數(shù)據(jù)的調(diào)查。比如：負(fù)責(zé)目的地選擇的一組同學(xué)要把我們可能去的符合大家需要的所有目的地情況進(jìn)行匯總，列出每個(gè)目的地的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)；負(fù)責(zé)選擇出行工具的同學(xué)，要對(duì)不同的出行工具的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)、所需的費(fèi)用、同一種工具不同公司的報(bào)價(jià)調(diào)查清楚，同時(shí)還要根據(jù)幾個(gè)不同目的地的位置，設(shè)計(jì)出幾種相應(yīng)的乘車路線供大家選擇；而負(fù)責(zé)各種費(fèi)用的組的同學(xué)，則需要對(duì)除了出行工具之外的所有費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，可能要包含：門票、飲食、藥品等許多類別，另外，飲食方面的調(diào)查需要考慮到全班學(xué)生的愛好、營(yíng)養(yǎng)的搭配、是否便于攜帶等因素。

第三，以上各組要把本組調(diào)查后的數(shù)據(jù)提交全班交流，由全班同學(xué)一起篩選，拿出一個(gè)讓全班大多數(shù)人比較認(rèn)可的初步方案。

第四，各組同學(xué)按照全班初定的方案，重新進(jìn)行各種數(shù)據(jù)的補(bǔ)充調(diào)查。

最后，大伙一起商討出一個(gè)比較完善的清明節(jié)春游踏青方案。

在清明節(jié)春游踏青方案實(shí)施過后，所有的學(xué)生最后可以通過多種不同的形式展示自己在參與前期調(diào)查以及整個(gè)方案實(shí)施中和實(shí)施后的收獲，比如：手抄報(bào)、PPT、實(shí)驗(yàn)報(bào)告和小論文等方式均可。對(duì)這個(gè)問題的設(shè)計(jì)和探討，有利于學(xué)生提高收集、整理信息的能力，并使其養(yǎng)成與他人合作的意識(shí)。