摘要：科學(xué)家歐拉在研究七橋問題，將其轉(zhuǎn)化為一筆畫，能畫出的條件是：1、圖是連通的。2、畫中的頂點(diǎn)為奇點(diǎn)（與頂點(diǎn)相連的線的條數(shù)為奇數(shù)）個(gè)數(shù)為0到2。經(jīng)本人研究，原來一筆畫需要滿足的2個(gè)條件不存在了，建立了理論：無條件原理?！捌邩騿栴}”中的一筆畫，用新理論，能畫出，用歐拉理論也能畫出。

關(guān)鍵詞：歐拉；圖論；一筆畫可畫；無條件原理（剪對論或李忠福原理）

18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一（是有關(guān)圖論研究的熱點(diǎn)問題）。18世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來（如上圖上）。有個(gè)人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)。

1736年，在經(jīng)過一年的研究之后，29歲的歐拉提交了《哥尼斯堡七橋》的論文，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)新一分支---圖論。 在論文中，歐拉將七橋問題抽象出來，把每一塊陸地考慮成一個(gè)點(diǎn)，連接兩塊陸地的橋以線表示。并由此得到了如圖一樣的幾何圖形。 若我們分別用A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)表示為哥尼斯堡的四個(gè)區(qū)域。這樣著名的“七橋問題”便轉(zhuǎn)化為是否能夠用一筆不重復(fù)的畫出過此七條線的問題了（如上圖下）。若可以畫出來，則圖形中必有終點(diǎn)和起點(diǎn)，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)該是同一點(diǎn)，由于對稱性可知由A或C為起點(diǎn)得到的效果是一樣的，若假設(shè)以A為起點(diǎn)和終點(diǎn)，則必有一離開線和對應(yīng)的進(jìn)入線，若我們定義進(jìn)入A的線的條數(shù)為入度，離開線的條數(shù)為出度，與A有關(guān)的線的條數(shù)為A的度，則A的出度和入度是相等的，即A的度應(yīng)該為偶數(shù)。即要使得從A出發(fā)有解則A的度數(shù)應(yīng)該為偶數(shù)，而實(shí)際上A的度數(shù)是3為奇數(shù)，于是可知從A出發(fā)是無解的。同時(shí)若從B或D出發(fā)，由于B、D的度數(shù)分別是5、3，都是奇數(shù)，即以之為起點(diǎn)都是無解的。 歐拉由此得到一筆畫的規(guī)律： 由此可知要使得一個(gè)圖形可以一筆畫，必須滿足如下兩個(gè)條件： 1. 圖形必須是連通的。 2. 圖中的“奇點(diǎn)”個(gè)數(shù)是0到2。 后來人們就依此來檢驗(yàn)圖形是不是可一筆畫出?；仡^也可以由此來判斷由“七橋問題”轉(zhuǎn)化同的圖，4個(gè)點(diǎn)全是奇點(diǎn)，可知不能“一筆畫出”。

這圖三中第⑥筆終點(diǎn)是C，第⑦筆的起點(diǎn)是B，從C點(diǎn)跳到B點(diǎn)，這是斷筆，不連續(xù)了，符合一筆畫要求嗎？看下面的畫法。

在一個(gè)圓絕筒上，B、C合為一點(diǎn)，按畫一到圖三筆順畫。從一側(cè)看為圖四，從另一側(cè)看為圖五。過B、C點(diǎn)將圓筒剪開，則“七橋問題”中的一筆畫就出現(xiàn)在你眼前了。

圖中A、B、C、D四個(gè)奇點(diǎn)，B、C和為一點(diǎn)，奇點(diǎn)只有A、D兩點(diǎn)，用歐拉理論就能畫了。

三、一筆畫的新畫法————無條件原理（折對論或李忠福原理）

將紙折疊，使C在外凸線上，與B對接（靠在一起），筆就由C點(diǎn)來到B點(diǎn)，可完成圖七中⑤、⑥、⑦筆順，之后再將折對部分展開，這樣就一筆畫完七橋中一筆畫。其中筆順⑥和⑦可倒，②和⑤可倒，且可有其它筆順的畫法，讀者可探究之。

歐拉理論中有3種畫不能一筆畫出：1、連通圖奇點(diǎn)數(shù)大于2；2、不連通的圖；3奇點(diǎn)數(shù)大于2又不連通的圖。多奇點(diǎn)的連通在上面的例子中已畫出，不連通圖，如圖八、圖九。

圖八畫法：先畫出外大三角形，折疊使筆停止點(diǎn)在外凸線上，用這點(diǎn)與內(nèi)小三角形上任一點(diǎn)對接，這樣就能從外大三角形畫到內(nèi)三角形了，圖八就可畫成了。畫圖九時(shí)，先畫外圓，以筆終點(diǎn)折疊，讓該點(diǎn)在折疊的外凸線上，用該點(diǎn)與內(nèi)小圓對接，可畫次內(nèi)圓了，同上，逐次向內(nèi)折對，每個(gè)圓都畫出了。

用折疊、對接，畫后再展開的方法，不存在筆不連通（斷筆）問題，想往哪畫就能畫到哪里，只要用一只筆畫的畫，都可一筆畫成，多奇點(diǎn)又不連通的圖，同樣方法都能畫成。

欲畫的圖稱為原圖，原圖可象圖八、圖九這樣，在紙上有圖，也可在心中有圖，紙上無圖，原圖上無論有多少個(gè)偶點(diǎn)，都不妨礙一筆畫出。原圖上有N（N大于2）個(gè)奇點(diǎn)，原來認(rèn)為不可一筆畫出。N為2k或2k+1，K為大于1的自然數(shù)，這樣的圖，我們將兩折對（奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)），余下奇點(diǎn)數(shù)小于2，按歐拉理論是可一筆畫出的。不連通的圖，將不連通處折對，不連通的圖也可一筆畫出。

由此可見，原來歐拉理論認(rèn)為能一筆畫出的圖，仍可一筆畫出，歐拉認(rèn)為一筆畫不出的圖，也都能一筆畫出了，一筆畫不出的圖沒了。一筆畫原來的條件不存在了。

在原圖上將奇點(diǎn)和不連通處折對，使筆連續(xù)畫，從圖中某一點(diǎn)可畫到圖上任意需要再畫的地方（空間），畫完后再將折對部分展開。象這種折疊、對接、展開的畫法，在圖論中可稱為：無條件原理（折對論或李忠福原理）。

無條件原理中主要是對接，對接使間斷變?yōu)檫B接，解決了關(guān)鍵問題，折疊是為對接提供條件，展開是恢復(fù)畫面平整。

原來畫不出的一筆畫，是因?yàn)榘鸭埧闯墒遣粍樱o止）的，不變（折）的。事物是運(yùn)動的，任何事物之間都是有聯(lián)系的。

一筆畫可畫，七橋有辦法走，在下文‘走七橋之法發(fā)表之前，讀者可自行探之。