心理學(xué)家羅杰斯指出：“在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得的不僅是知識(shí)，更重要的是獲得如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的方法或經(jīng)驗(yàn)”德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)：“一個(gè)壞老師奉送給學(xué)生真理，一個(gè)好老師則教學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理”為此，作為教師應(yīng)該遵循學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的生成、發(fā)展和形成的過(guò)程，促使學(xué)生在獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解的同時(shí)，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和思考本文就“促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的教學(xué)策略”舉例說(shuō)明

1激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，讓學(xué)生“樂(lè)學(xué)”

學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)往往是從一個(gè)“問(wèn)號(hào)”開始的因此，教師要善于根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的情境，讓學(xué)生從中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題這樣一方面能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)投入知識(shí)的探究過(guò)程，因?yàn)榻鉀Q自己提出的問(wèn)題會(huì)讓學(xué)生真正感覺(jué)自己是課堂的主人，是學(xué)習(xí)的主人；另一方面也能培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展

案例1“向量的數(shù)量積”的定義

問(wèn)題1前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法和數(shù)乘三種運(yùn)算，接下來(lái)，大家認(rèn)為該學(xué)習(xí)哪種運(yùn)算呢？圖1

生（齊說(shuō)）：乘法、除法

師：向量與向量能否“相乘”呢？

（學(xué)生在思考、困惑）

問(wèn)題2一個(gè)物體在力F的作用下

發(fā)生了位移s，如圖1，那么該力對(duì)此

物體所做的功為多少？

生1∶W=|F||s|cosθ

問(wèn)題3從上述模型，對(duì)定義“相乘”能否帶給你一點(diǎn)啟發(fā)？

學(xué)生開始議論，不少人說(shuō)：就像做功一樣定義，向量a、b相乘：a·b=|a||b|cosθ

師：好的！我們一同來(lái)分析這樣定義是否合理？這樣“相乘”的結(jié)果是向量還是數(shù)量？

生2：數(shù)量

師：這個(gè)數(shù)與哪些量有關(guān)？

生3：與向量a、b的長(zhǎng)度和角θ的大小有關(guān)

師：那么，角θ該如何規(guī)定呢？

生4：做功的角θ是指力的方向與位移方向的夾角，作用于同一個(gè)點(diǎn)

師：說(shuō)得好而我們現(xiàn)在研究的是自由向量，該如何定義呢？

生（大部分）：也規(guī)定在同一個(gè)起點(diǎn)

教師贊賞后，師生一同具體說(shuō)明，當(dāng)θ∈[0°，90°）時(shí)，這個(gè)數(shù)為正；當(dāng)θ∈（90°，180°]時(shí)，這個(gè)數(shù)為負(fù)；當(dāng)θ=90°時(shí)這個(gè)數(shù)為0，這個(gè)數(shù)量含有了正、負(fù)、零三類實(shí)數(shù)

師：由此定義“相乘”，前后具有一致性，既有現(xiàn)實(shí)意義（物理的做功是模型之一），也比較合理

問(wèn)題4哪位同學(xué)能給這種“相乘”取個(gè)合適的名字呢？

生（大部分）：就叫“相乘”吧

生5：說(shuō)“相乘”不好（不妥），因?yàn)樗葘?shí)數(shù)的相乘多了一個(gè)cosθ，為避免混淆，可以與結(jié)果聯(lián)系起來(lái)，我覺(jué)得叫“數(shù)量乘”合適

生（幾個(gè)學(xué)生）：叫“數(shù)量積”

師：太精彩了，這兩個(gè)名稱都不錯(cuò)，為統(tǒng)一起見(jiàn)，就叫“數(shù)量積”吧！

（大家點(diǎn)頭表示贊同）

教學(xué)隨想 教師設(shè)置上述四個(gè)問(wèn)題，不斷地激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題問(wèn)題1是從數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算體系的需要，有了向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，自然要聯(lián)想到乘法和除法運(yùn)算，但是否能進(jìn)行“相乘”，對(duì)于學(xué)生而言是困難的；問(wèn)題2回顧舊知識(shí)——物理做功的模型；問(wèn)題3以上情境對(duì)于定義“相乘”能否帶給你一點(diǎn)啟發(fā)？是一句啟發(fā)式的問(wèn)句，激發(fā)學(xué)生思考，期望他們有所發(fā)現(xiàn)學(xué)生從做功的定義類比遷移到兩個(gè)向量a、b“相乘”，對(duì)學(xué)生的定義該如何檢驗(yàn)?zāi)兀恳驗(yàn)槎x無(wú)所謂對(duì)錯(cuò)，所以智慧的教師通過(guò)一組對(duì)話，與學(xué)生一同探索定義的前后一致性和合理性，對(duì)角θ進(jìn)行補(bǔ)充規(guī)定，完善了定義問(wèn)題4是讓學(xué)生給探索結(jié)果取個(gè)名稱，有學(xué)生說(shuō)，也有學(xué)生給予評(píng)價(jià)，從“相乘”運(yùn)算的本質(zhì)是數(shù)量得出“數(shù)量積”的名稱，這確實(shí)難能可貴，這是潛能得到激發(fā)的結(jié)果其實(shí)，下定義的過(guò)程就是揭示概念內(nèi)涵的過(guò)程，筆者認(rèn)為，讓學(xué)生參與定義，不僅符合學(xué)生的口味，而且記憶深刻，還能享受發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維其實(shí)，教材中有不少概念，可以讓學(xué)生參與到自我定義、自我發(fā)現(xiàn)的建構(gòu)中去，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，讓學(xué)生“樂(lè)學(xué)”

2引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生“會(huì)學(xué)”

數(shù)學(xué)知識(shí)是無(wú)數(shù)前人苦苦探索、逐步積累和完善的產(chǎn)物，它的形成是一個(gè)漫長(zhǎng)而動(dòng)態(tài)的過(guò)程而教材呈現(xiàn)給我們的往往只是濃縮的、靜態(tài)的、結(jié)論性的內(nèi)容作為教師，我們應(yīng)該盡可能再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)那曲折的探究過(guò)程，演繹數(shù)學(xué)知識(shí)那耐人尋味的形成歷程，引領(lǐng)學(xué)生積極主動(dòng)參與這激動(dòng)人心的探求之旅，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知過(guò)程與數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的統(tǒng)一，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，獲得更為寶貴的學(xué)習(xí)方法、能力，以及良好的情感體驗(yàn)

案例2 “球面距離概念”的教學(xué)片斷

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)平面上A、B兩點(diǎn)間的距離概念

生1：連結(jié)AB的線段長(zhǎng)度，如圖2所示（從A到B的最短路線）

師：長(zhǎng)方體的面上有A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)同

學(xué)們?cè)陂L(zhǎng)方體的面上畫出從A到B的路線，

如圖3所示

（學(xué)生都在面上連接A、B，并且連線中都與棱CD相交于E）

師：從A到B的路線就轉(zhuǎn)化為A→E→B，那么E的位置唯一確定嗎？

生2：不確定，有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)圖4

師：那么能否找到最短的一條線？

生3：展開表面，當(dāng)B、E、A三點(diǎn)一線時(shí)為最短

師：這個(gè)在長(zhǎng)方體面上連結(jié)AB的最短路線，也可以說(shuō)是A、B在長(zhǎng)方體面上的距離

師：（提出新問(wèn)題）如圖4所示，如果A、B是球面上的兩點(diǎn)，那么如何找到最短路線？

生4：（1）如果把球看成是地球，當(dāng)A、B在赤道上時(shí)，就是在赤道上從A到B的一段劣??；（2）如果在同一經(jīng)線上，同樣是經(jīng)線上的一段劣弧

師：如果是在某一緯度上，那么是否是緯線上的

一段劣弧？（激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生紛紛探究，有的說(shuō)是，有的舉出反例）

師：在平面上的距離是直線段，在長(zhǎng)方體表面的最短路線是表面展成平面后是直線段；球面是不能展開成平面的幾何體，通過(guò)特例我們發(fā)現(xiàn)最短路線是圓?。踊。?，那么在連接A、B的圓中，是哪個(gè)圓的劣弧最短？（再一次地激發(fā)學(xué)生的思維）

生5：在球面上任意兩點(diǎn)A、B都可以作一截面，并且截面是圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)A、B的圓中，是否有一個(gè)圓，使得連結(jié)A、B的劣弧最短？

師：我們共同來(lái)探索

經(jīng)過(guò)熱烈的討論，得到過(guò)A、B且圓心在球心的圓（稱為大圓），使得AB的劣弧長(zhǎng)最短我們把這個(gè)劣弧長(zhǎng)叫做A、B的球面距離

教學(xué)隨想案例中，教師通過(guò)“平面上A、B兩點(diǎn)間的距離”，到“長(zhǎng)方體面上A、B兩點(diǎn)的距離”，再到“球面上A、B兩點(diǎn)的距離”的求法，以舊引新、由易到難、層層深入，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不斷地觀察、類比、歸納、猜想、驗(yàn)證等過(guò)程，使“球面距離概念”的學(xué)習(xí)成為“再創(chuàng)造”的過(guò)程這樣，學(xué)生積極探索，對(duì)概念理解深刻，充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者的理念，引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生“會(huì)學(xué)”

3滲透數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生“善學(xué)”

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的橋梁數(shù)學(xué)思想方法要在概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中適時(shí)滲透，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，又能體驗(yàn)到深層的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該深入研讀教材，解壓教材，挖掘知識(shí)背后所蘊(yùn)藏的豐富的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容著力滲透，用數(shù)學(xué)的理性光輝去滋養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，使之成為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的寶貴養(yǎng)料和不竭動(dòng)力

案例3“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)片斷

求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

時(shí)，設(shè)公比為q，由通項(xiàng)公式，得

待學(xué)生閱讀課本后，教師參與學(xué)生討論.

師：課本上是如何求前n項(xiàng)和公式的？同學(xué)們概括一下.

生：用q乘（2）式兩邊，得到與（2）式有很多相同項(xiàng)的等式

（2）（3）兩式相減就可得到前n項(xiàng)和公式.

師：噢！用q乘（2）式后產(chǎn)生了與（2）式有很多相同項(xiàng)的（3）式，為何要兩式相減？

生：因?yàn)閮墒较鄿p可把相同的項(xiàng)去掉，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

師：共有多少對(duì)相同的項(xiàng)？

生：噢…，共有n-1對(duì).

師：只有用（2）、（3）兩式相減的方法才能消去相同項(xiàng)而求出Sn嗎，有沒(méi)有其他的方法？

生：還可用以下代入法：由（2）式得（3）同樣可得：

師：很好！那么，用（2）、（3）兩式相減和（2）代入 （3）這兩種方法，二者有沒(méi)有一定的聯(lián)系？

生：（通過(guò)思考、比較）這兩種方法的實(shí)質(zhì)都是在消元，都可以把所有相同的項(xiàng)消去，減少了項(xiàng)數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，這兩個(gè)方法就是我們解二元一次方程組所用的加減消元法和代入消元法.

師：太棒了！你抓住了解決問(wèn)題的本質(zhì)，基于消元的考慮，還有沒(méi)有別的方法？

生：在上面的（1）式兩邊同乘以q，得，即

觀察式（1）、（5），都含有n-1對(duì)相同的項(xiàng)，因此，可用減法消元：

師：用減法進(jìn)行消元時(shí)，你們看看有什么特點(diǎn)，怎樣來(lái)概括這種方法？

生：相同的項(xiàng)在兩個(gè)式子中的排列是錯(cuò)位的，消元做減法，故稱為“錯(cuò)位相減法”.

師：好的，“錯(cuò)位相減法”不僅能求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，而且，它的思想方法還可以解決其他的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們回想一下，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的？

生：是通過(guò)觀察、概括的方法得到的，還沒(méi)有證明.

師：是的，還需要以后用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)嚴(yán)格證明，那么，我們?cè)O(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，同學(xué)們?cè)囈辉嚕刹豢梢杂谩板e(cuò)位相減法”求an？

生：（好奇、急切、專注地）設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，即 ，

因?yàn)閍n-an-1=d（n≥2），所以將其列成兩行，使其錯(cuò)位，再相減：

師：太漂亮了，大家給點(diǎn)掌聲！我們用“錯(cuò)位相減法”把懸而未證的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了證明，使我們應(yīng)用公式更加踏實(shí)！

教學(xué)隨想 案例中，教師從教材中“求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的方法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探索了“求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的加減消元法和代入消元法，分析了兩種方法的實(shí)質(zhì)是“錯(cuò)位相減法”，很自然地用“錯(cuò)位相減法”證明了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式這樣變換思維角度，打開思維通道，滲透數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生“善學(xué)”

攀登頂峰是我們的目標(biāo)，但沿途的風(fēng)光也是不可錯(cuò)過(guò)的美景課堂是師生分享智慧、共同成長(zhǎng)的沃土，就讓我們引領(lǐng)學(xué)生在學(xué)習(xí)之路上且行且思，“樂(lè)學(xué)”、“會(huì)學(xué)”，進(jìn)而“善學(xué)”

作者簡(jiǎn)介趙緒昌（1963-）男，四川宣漢人， 中學(xué)特級(jí)教師，四川省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)和國(guó)務(wù)院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和中小學(xué)教育科學(xué)研究.