1教學(xué)預(yù)設(shè)

11教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)

（1）通過《幾何畫板》動(dòng)態(tài)演示割線“逼近”切線的過程，讓學(xué)生認(rèn)識平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系，知道其關(guān)系就是指平均變化率的幾何意義；

（2）通過實(shí)驗(yàn)探究，幫助學(xué)生歸納出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知道函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)f（x）的圖象在處的切線的斜率，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法；

（3）通過函數(shù)的圖象直觀地感知導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在刻畫函數(shù)性質(zhì)中的作用.

12標(biāo)準(zhǔn)解析

（1）內(nèi)容解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的幾何意義，指的是平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系、曲線的切線的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其核心是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解它關(guān)鍵就是要在平均變化率的幾何意義的基礎(chǔ)上通過逼近的思想來理解學(xué)生已經(jīng)學(xué)過平均變化率的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的概念，本節(jié)課的內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展由于它是從形上理解導(dǎo)數(shù)的概念，所以在本學(xué)科有重要的地位，并有代數(shù)與幾何溝通的作用，是本學(xué)科導(dǎo)數(shù)部分的核心內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是從割線出發(fā)，理解切線定義，從而獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：

體會(huì)并概括導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法.

（2）學(xué)情診斷：在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，產(chǎn)生這一問題的原因是其中“以直代曲”思想的理解要解決這一問題，就要通過對曲線的直觀觀察來體會(huì)，其中關(guān)鍵是利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：

發(fā)現(xiàn)、感知、概括導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

（3）教學(xué)對策：本節(jié)課是導(dǎo)數(shù)的幾何意義的探究課第一，注重探究活動(dòng)的流程設(shè)置自然本節(jié)課圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題”兩個(gè)教學(xué)重心展開首先，教師從復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率——瞬時(shí)變化率”的研究思路，運(yùn)用逼近的思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義——“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率” 第二，注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)實(shí)施環(huán)節(jié)的設(shè)置設(shè)計(jì)的問題圍繞“怎樣想到導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率”而進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“提出問題（從數(shù)的角度研究了導(dǎo)數(shù)后，從形的角度如何研究導(dǎo)數(shù)？）——尋求想法——實(shí)施想法——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——給出定義——應(yīng)用定義解釋現(xiàn)象（如何估計(jì)切線的斜率）”這一完整的探究活動(dòng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是水到渠成的第三，充分利用《幾何畫板》輔助探究教師恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用《幾何畫板》進(jìn)行動(dòng)畫演示，讓學(xué)生從直觀上強(qiáng)烈感受到由割線逼近切線、產(chǎn)生切線的過程，再從理性的角度思考“切線產(chǎn)生”的深層原因，較好地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和分析能力.

（4）教學(xué)流程：

設(shè)置情境→探究問題→例題剖析→概括小結(jié)→課后延伸

2教學(xué)簡錄

21創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)探究

讓學(xué)生回憶導(dǎo)數(shù)的概念及其本質(zhì)（承上啟下，自然過渡）

師：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么？寫出它的表達(dá)式.

生：導(dǎo)數(shù)f′（x0）的本質(zhì)是函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率，即：

評析教師不能替代學(xué)生的思維活動(dòng)，學(xué)生將大腦中已有的經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號，有利于學(xué)生思維能力的有效提高，為學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”，感知導(dǎo)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ).

評析教師引導(dǎo)學(xué)生：數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法要研究“形”，自然要結(jié)合“數(shù)”.

22問題探究，知識形成

師：若從圖形（形）的角度來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)從哪兒入手呢？

生：研究導(dǎo)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式.

生（齊）：分三步：

第一步：求Δy；

第二步：求平均變化率ΔyΔx；

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生：這是從“數(shù)”的角度來求導(dǎo)數(shù)，若從“形”的角度探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，類比以上方法，也可以分三個(gè)步驟：

師：第一步：Δy的幾何意義是什么？

生：Δy是x0+Δx與x0所對應(yīng)的函數(shù)值的差量.

師：很好，那么第二步：平均變化率

師：第二步：當(dāng)Δx→0時(shí)，割線PPn有什么變化？

評析由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的過渡，比較考察學(xué)生的觀察能力，動(dòng)手能力與獨(dú)立思考能力，很快，有幾個(gè)學(xué)生又畫了三條直線（其中橫坐標(biāo)在x0+Δx與x0之間）

師：很好，那么當(dāng)Δx→0時(shí)，于是點(diǎn)P，Pn之間的差距越來越小，Pn一直，一直這樣靠近P，最后會(huì)……

生（齊）：重合.

師：那么直線PPn？

生（齊）：變成一條切線了.

師：大家真不錯(cuò)，確實(shí)，當(dāng)Δx→0時(shí)，割線PPn有一個(gè)無限趨近的確定位置，這個(gè)確定位置上的直線叫做曲線在x=x0處的切線.

評析教師用《幾何畫板》展示動(dòng)態(tài)過程，引導(dǎo)學(xué)生回顧過程.

（2）知識形成（課件展示）

結(jié)論當(dāng)Δx→0時(shí)，割線PPn→切線PT，則割線PPn的斜率→切線PT的斜率.

由數(shù)形結(jié)合，得

師：割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？

評析動(dòng)手實(shí)踐，探索發(fā)現(xiàn)使學(xué)生經(jīng)歷探究“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的過程以獲得情感體驗(yàn)，建構(gòu)“導(dǎo)數(shù)及其幾何意義”的知識結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確理解 “導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，掌握“數(shù)形結(jié)合，類比探討”的數(shù)學(xué)思想方法.

師：怎樣求曲線在某點(diǎn)處的切線方程？即基本步驟.

生：基本步驟分三步：（課件展示）

①求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③利用點(diǎn)斜式求切線方程.

思想拓展

利用課件作出三個(gè)切點(diǎn)附近的近景，而且由小放到大，類似于放大鏡的效果，讓學(xué)生觀察切點(diǎn)附近曲線與直線的位置關(guān)系.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，它們越來越靠近，幾乎重合此時(shí)，教師點(diǎn)出：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)P附近，曲線f（x）可以用在點(diǎn)P處的切線近似代替，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲（以簡單的對象刻畫復(fù)雜的對象）（動(dòng)畫演示：通過信息技術(shù)將函數(shù)曲線某一點(diǎn)附近的圖象放大得到一個(gè)近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越象直線；大多數(shù)函數(shù)曲線就一局部范圍來看，大致可看作直線，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”）

評析適時(shí)、有效地采用計(jì)算機(jī)等多媒體輔助教學(xué)，可以不僅加強(qiáng)學(xué)生對“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”形象、直觀的理解，還能將學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐（感知體驗(yàn)）與抽象思維（深層內(nèi)化）有效結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生的思維能力訓(xùn)練，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量.

23例題剖析，加強(qiáng)理解

例1如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h（t）=-49t2+65t+10的圖象，根據(jù)圖象請描述、比較曲線h（t）在t0，t1，t2附近的變化情況.

從中小結(jié)出：（板書）

1點(diǎn)附近的增減——導(dǎo)數(shù)的正負(fù)——過該點(diǎn)切線的斜率正負(fù)；

2增減快慢——導(dǎo)數(shù)的絕對值大小——過該點(diǎn)切線的斜率絕對值的大小——曲線在該點(diǎn)附近的陡峭程度.

評析要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（同桌討論、描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)），體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法.

例2如下圖，它表示人體血管中的藥物濃度c=f（t）（單位：mg/mL）隨時(shí)間t（單位：min）變化的函數(shù)圖象根據(jù)圖象，估計(jì)t=02，04，06，08（min）時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出（精確到01）

藥物濃度瞬時(shí)變化率f′（t）

評析要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（說出如何估計(jì)切線斜率），進(jìn)一步體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法.

表格的呈現(xiàn)有助于觀察導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、可幫助學(xué)生猜想并據(jù)此畫出導(dǎo)函數(shù)圖象的大致形狀；其次，列表是函數(shù)的表示方法之一（列表、圖象、解析式），幫助學(xué)生體會(huì)“當(dāng)x變化時(shí)， f′（x） 便是x的一個(gè)函數(shù)”，使學(xué)生自然而然地理解導(dǎo)函數(shù)概念.

師：從求函數(shù)f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x=x0時(shí)，f′（x）是一個(gè)確定的數(shù)，（“光滑曲線在其上一點(diǎn)P處切線”只有一條），這樣，當(dāng)x變化時(shí)， f′（x） 便是x的一個(gè)函數(shù)，稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù) 請同學(xué)們看書本導(dǎo)函數(shù)的定義

（注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).）

提出思考（學(xué)生先討論、交流、總結(jié)，教師然后完善）

24抽象概括，歸納小結(jié)

（先讓學(xué)生小結(jié)，再由教師完善）

（1）抽象概括

由例2抽象概括出導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）的概念：

評析體驗(yàn)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化過程，領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的辯證思想.

（2）歸納小結(jié)

由學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)：

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問題，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法；

（3）導(dǎo)函數(shù)（簡稱“導(dǎo)數(shù)”）的概念：

25作業(yè)布置，課后延伸

課本第10頁習(xí)題A組： 第3、4、5題.

3教學(xué)反思

以本課的“核心概念、思想方法”為主軸，以“問題串”來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，用問題來引導(dǎo)學(xué)習(xí)，力爭讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中：充分感受用切線定義的直觀本質(zhì)；平均變化率（曲線的割線斜率）與瞬時(shí)變化率（一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，曲線上一點(diǎn)處的切線斜率）的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，直觀獲得導(dǎo)數(shù)幾何意義；體會(huì)以直代曲思想方法的應(yīng)用.

成功之處：在本節(jié)課教學(xué)中，一是注重以學(xué)生為主體，每一個(gè)知識、每一個(gè)發(fā)現(xiàn)，總設(shè)法由學(xué)生自己得出，課堂上給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間；二是在例題講解時(shí)，注重審題（分析關(guān)鍵的詞句）和解題反思；三是使用信息技術(shù)讓學(xué)生直觀感知無限逼近過程，直觀定義切線，能很好地借助圖形直觀對概念進(jìn)行辨析，使學(xué)生理解切線定義的直觀本質(zhì)；重視對概念的深度剖析，使學(xué)生對核心概念切線定義的理解能一步到位.

改進(jìn)之處：剛開始學(xué)生不是很進(jìn)入狀態(tài)，雖任教的學(xué)生在年級段屬中上程度，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，但數(shù)學(xué)語言的表達(dá)及數(shù)形結(jié)合的能力、讀表的能力仍有不足作為探究課，如果時(shí)間控制不好，那么課堂結(jié)尾就顯得倉促，所以時(shí)間要注意調(diào)配另外，有些學(xué)生對如何畫出過該點(diǎn)的切線有點(diǎn)困難，此時(shí)，教師應(yīng)給予示范.

4教學(xué)點(diǎn)評

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了“變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識的基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義它能通過直觀具體的形象幫助學(xué)生消除對極限的神秘感，深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵和意義，形成對于變量與常量之間相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的認(rèn)識，感受和體驗(yàn)辯證思維活動(dòng)的過程，它對于學(xué)生深化數(shù)形結(jié)合認(rèn)識，了解辯證思維的方式具有十分典型和重要的功能本課的設(shè)計(jì)和教學(xué)較好地反映了以上意圖，較好地體現(xiàn)出高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的教學(xué)理念，主要特色如下：

41教學(xué)思路清晰，學(xué)習(xí)重點(diǎn)突出

本節(jié)課圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題”兩個(gè)教學(xué)重心展開.

首先，教師從復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率——瞬時(shí)變化率”的研究思路，運(yùn)用逼近的思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義——“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”.

完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師點(diǎn)明，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在研究實(shí)際問題時(shí)，某點(diǎn)附近的曲線可以用過此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達(dá)到“以簡單的對象刻畫復(fù)雜對象”的目的，并通過兩個(gè)例題的研究，讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，并感受導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性.

42設(shè)問合乎情理，探究活動(dòng)自然

本節(jié)課，教師十分注意提問的藝術(shù)，設(shè)計(jì)的問題圍繞“怎樣想到導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率”而進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“提出問題（從數(shù)的角度研究了導(dǎo)數(shù)后，從形的角度如何研究導(dǎo)數(shù)？）——尋求想法——實(shí)施想法——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——給出定義——應(yīng)用定義解釋現(xiàn)象（如何估計(jì)切線的斜率）”這一完整的探究活動(dòng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是水到渠成的.

43注重學(xué)法引導(dǎo)，揭示研究方法

無論是復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義，還是研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，教師都很注重對數(shù)學(xué)思考和解決問題基本方法的教學(xué).

44巧用信息技術(shù)，強(qiáng)化直觀感知

由于研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義時(shí)應(yīng)用了“逼近”的思想，在學(xué)生動(dòng)手畫出一系列特殊位置的割線后，教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用《幾何畫板》進(jìn)行動(dòng)畫演示，讓學(xué)生從直觀上強(qiáng)烈感受到由割線逼近切線、產(chǎn)生切線的過程，再從理性的角度思考“切線產(chǎn)生”的深層原因，較好地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和分析能力另外，在解釋“以直代曲”思想時(shí)，利用幾何畫板將曲線某一點(diǎn)附近的圖象放大，讓學(xué)生直觀感受到“以直代曲”的合理性和有效性，加深了學(xué)生對這一重要思想的認(rèn)識.

作者簡介楊瑞強(qiáng)，男，1979年生，中學(xué)一級教師，黃石市優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究.近年來，在省級數(shù)學(xué)專業(yè)雜志上發(fā)表文章五十余篇.