1引子

縱觀湖北省近幾年高考題的壓軸題一般都是將不等式和函數(shù)問題相結(jié)合，其特點(diǎn)在于：第一問是求函數(shù)極值，第二問是利用第一問的結(jié)論，通過參量代換，證明一個(gè)局部不等式，第三問是利用第二問的局部不等式證明一個(gè)難度較大的不等式利用參量代換（用換元法來“配”和“湊”相關(guān)的參量）來證明局部不等式的技巧性較強(qiáng)，難度較大，若是沒有足夠的靈活性和經(jīng)驗(yàn)，在考場(chǎng)上往往難以一擊即中若采用逆向思維，從不等式本身出發(fā)，通過適當(dāng)變形，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，通過考察函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等關(guān)系的目的，往往能夠起到出奇制勝的效果此種方法是以不等式為“本”，以構(gòu)造函數(shù)為“輔”，通過不等式來主導(dǎo)函數(shù)解決相關(guān)的問題，高考實(shí)戰(zhàn)中能“快，準(zhǔn)，狠”地攻克壓軸題本文從2013年湖北理科高考的壓軸題出發(fā)，通過兩種方法的對(duì)比，說明我們的策略的優(yōu)勢(shì)，并且將此方法應(yīng)用于相關(guān)的題目當(dāng)中進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證！

2例題賞析

點(diǎn)評(píng)本題第二問的法一是傳統(tǒng)做法，它是由第一問函數(shù)極值“衍生”出的不等式，通過令x=±1n，從而達(dá)到證明新的不等式的目的它的做法是以函數(shù)為“本”，以欲證明的不等式為“末”，采用的是“逐末用本”的策略但是就本策略而言，需要考生有較強(qiáng)的洞察力和悟性，能夠深刻把握“函數(shù)不等式”和“欲證不等式”之間的聯(lián)系而法二則是從不等式本身出發(fā)，通過簡單的變形及其構(gòu)造新的函數(shù)，很容易攻克“欲證不等式”，我們的策略最顯著的特點(diǎn)是“自然”，整個(gè)過程易想，易行，易算！并且能夠舉一反三，下面幾個(gè)例題將再次證明我們的策略的優(yōu)越性！

點(diǎn)評(píng)對(duì)于含有雙元參量的不等式問題，可以設(shè)其中一個(gè)變量為x，然后將不等式的右邊的式子移到不等式左邊，從而可以構(gòu)造函數(shù)來解決問題，如第二問的法二所示，這種方法可以作為一種常規(guī)思維固化下來，以后解題均可“依葫蘆畫瓢”，自然而簡單類似地，對(duì)于含有多元參量的不等式的證明，可以設(shè)其中一個(gè)參量為x構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求極值，亦可解決此類證明問題，如第三問所示事實(shí)上，今年湖北高考和調(diào)考試題，多可用此種方法進(jìn)行解決此外，第三問也可以用Jesen不等式來解釋：當(dāng)p>1時(shí)，f（x）=xp是下凸函數(shù)，所以

點(diǎn)評(píng)例3的第一、二問實(shí)際上是采用構(gòu)造函數(shù)的方法來證明，但是對(duì)學(xué)生基本功的要求較高，尤其在處理過程中要靈活還原，否則無法解決；第三問實(shí)際上是仿照后面例四的第三問來處理，采用數(shù)學(xué)歸納法及其構(gòu)造函數(shù)的方法，過程較為復(fù)雜，需要學(xué)生有深厚的數(shù)學(xué)功底和變形技巧本題采取的策略依然是以不等式為“本”，通過適當(dāng)變形，構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)簡單的函數(shù)，然后利用極值性解決不等式問題事實(shí)上，本題依然可以采用Jesen不等式來處理：原不等式p，q∈R，只要p>q，則（ap1+ap2+…+apmm）1p≥（aq1+aq2+…+aqmm）1q，該不等式等價(jià)于（ap1+ap2+…+apmm）qp≥aq1+aq2+…+aqmm，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xqp，易知此函數(shù)為上凸函數(shù)，所以（ap1+ap2+…+apmm）qp≥aqp·p1+aqp·p2+…+aqp·pmm=aq1+aq2+…+aqmm利用Jesen不等式很輕松證明此題，請(qǐng)讀者仔細(xì)品味此種解法和2012年湖北高考理科壓軸題的最后一問，不難發(fā)現(xiàn)，兩種解題手法有異曲同工之妙！

點(diǎn)評(píng)第二問實(shí)際上是著名的Young不等式，筆者比較欣賞的解法是法二，因?yàn)樗墙鉀Q二元不等式的一個(gè)通法，毋需像法一那樣要“湊”和“配”相關(guān)的量，在實(shí)戰(zhàn)中比較耗時(shí)！Young不等式是一個(gè)局部不等式，由Young不等式進(jìn)而可以衍生出Hlder不等式（如第三問所示），在證明過程中也需要進(jìn)行“湊”和“配”，對(duì)變形技巧要求較高此外，Young不等式亦可利用Jesen不等式進(jìn)行證明：因?yàn)閒（x）=lnx是一個(gè)上凸函數(shù)，所以ln（1pap+1qbq）≥1plnap+1qlnbq=lna+lnb=lnab此外，Hlder不等式亦可利用Jesen不等式進(jìn)行證明，請(qǐng)有興趣的讀者自己證明事實(shí)上，赫爾德不等式可以退化為Cauthy不等式，如令p=q=2，則Hlder不等式實(shí)際上就是Cauthy不等式，所以Cauthy不等式是Hlder不等式的一種特殊形式！

3總結(jié)反思

關(guān)于的二元不等式問題，可以構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)h（x）的極值性來解決該類問題例如，例4（Ⅱ）的一個(gè)變式：設(shè)0

在函數(shù)與不等式的博弈當(dāng)中，究竟誰主導(dǎo)誰，不可一概而論，而需具體問題具體分析從命題人的角度來看，利用函數(shù)的極值性可以衍生出許多“新，奇，怪，難”的不等式，此時(shí)是函數(shù)主導(dǎo)不等式，或者說由函數(shù)“衍生”出不等式但是從考生的角度來看，其思路很難和出題人的思路同步，并且在解題過程中有一種“霧里看花，水中撈月”的感覺，此時(shí)我們必須從不等式本身出發(fā)，以不等式為“本”，通過適當(dāng)變形，構(gòu)造出結(jié)構(gòu)簡單的新的函數(shù)，通過考察函數(shù)的極值性，從而“自然”攻克不等式的證明問題因此，平時(shí)我們做題需要從思想方法，變形技巧，典型模型三個(gè)方面積累有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，這樣才能在高考中立于不敗之地！此外，湖北高考?jí)狠S題往往以Bernoulli不等式，Jesen不等式，Young不等式，Cauthy不等式等為背景進(jìn)行挖掘因此，我們也需要對(duì)相關(guān)不等式有一定的了解！

作者簡介

趙亮，博士，曾經(jīng)就讀于華中科技大學(xué)國家光電實(shí)驗(yàn)室（籌），專業(yè)是光電信息工程，已經(jīng)發(fā)表了10余篇國際光學(xué)期刊，其中7篇SCI收錄，4篇EI收錄本人的研究領(lǐng)域是非線性光學(xué)，包括光孤子特性研究，四波混頻在光傳輸中的應(yīng)用，UWB信號(hào)的產(chǎn)生與傳輸研究在數(shù)理方面研究也很廣泛，主要研究領(lǐng)域有特殊函數(shù)，量子理論，數(shù)理方程等方面.