馬翠

【摘要】數(shù)和形是初等數(shù)學(xué)中被研究得最多的對象，數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特征的信息轉(zhuǎn)化。本文通過一道簡單計(jì)算題的解法來分析由數(shù)到形再由形到數(shù)的整個(gè)過程，不但對該題的解法提出了新的視角，也滲透了數(shù)形結(jié)合思想的雙向性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 平方差公式

北師大版七年級下冊《第一章 整式的運(yùn)算》的“復(fù)習(xí)題”中有這樣一道利用平方差公式簡化計(jì)算的題目：992-1。為了增加學(xué)生的興趣和鞏固利用平方差公式簡化計(jì)算的方法，在講完這道題后筆者隨堂編制了一道類似的題目：20112-20102 。在與學(xué)生們一道分析研究之后，不期而得到了許多意外的收獲，現(xiàn)整理出來與大家分享，不當(dāng)之處，還請各位老師指正。

一、解法的數(shù)形結(jié)合1.由數(shù)到形：從常規(guī)的代數(shù)解法到相應(yīng)的幾何解釋。因?yàn)轭}目涉及兩數(shù)的平方差，故有如下自然、簡單的代數(shù)解法：

解法1：20112-20102 =（2011+2010）（2011-

2010）=2011+2010=4021

在學(xué)習(xí)平方差公式時(shí)，課本上給出了其明顯的幾何背景，所以在講完這種解法后，筆者順便向?qū)W生提問，能否通過幾何圖形給出這種解法的直觀解釋。學(xué)生很快畫出了圖1.1，所求式子即為圖中所示陰影部分圖形的面積，那么如何與上述解法中的代數(shù)表征20112-20102 =2011+2010聯(lián)系起來呢？經(jīng)過提示，學(xué)生不難畫出圖1.2，于是上述解答就一目了然了。 圖1.2是將陰影部分圖形分割成兩個(gè)長方形，那么還有其他求陰影部分圖形面積的方法嗎？

2.由形到數(shù)：從已有的幾何圖形到嶄新的代數(shù)解法。

如圖1.3，學(xué)生以“迅雷不及掩耳之勢”找到了兩個(gè)新的借助圖形的算法：將陰影部分圖形分割成兩個(gè)全等的長為2010 、寬為1的長方形與一個(gè)邊長為1的正方形，即可列出算式20112-20102=2×2010 ×1+12；將陰影部分圖形分割成兩個(gè)全等的長為2011 、寬為1的長方形（邊長為1的正方形部分重疊），即可列出算式 20112-20102=2×2011×1-12。

及此，筆者追問學(xué)生，你能直接從所求算式得到上述幾何解釋的代數(shù)解法嗎？通過分析差異，學(xué)生也迅速得到了對應(yīng)的兩個(gè)代數(shù)解法：

解法2：2 0 1 12- 2 0 1 02 = （ 2 0 1 0 + 1 ）2-20102=20102+2×2010×1+12-20102==2×2010×1+12=4021

解法3：20112-20102 =20112-（2011-1）2=20112-（20112-2×2011×1+12）=2×2011×1-12=4021

決一個(gè)代數(shù)問題時(shí)，若尋找到了一個(gè)幾何解法，不妨嘗試從已有的幾何圖形出發(fā)進(jìn)行再度思考，看是否能得到新的代數(shù)解法；在解決一個(gè)幾何問題時(shí)，若探索出一個(gè)代數(shù)解法，不妨仔細(xì)分析這個(gè)代數(shù)解法，看能否得到一個(gè)從圖形上的直觀解釋。從這個(gè)角度來說，本例或可為此提供一個(gè)案例，請讀者評說。