周小青

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）課程總目標(biāo)圍繞關(guān)鍵詞“問題”，在原來分析問題和解決問題的基礎(chǔ)上，增加了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。這就要求教師更加重視學(xué)生的問題意識(shí)培養(yǎng)，在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，不斷提高解決問題的能力。我以下面一道題為例談?wù)劥朔矫孀约旱捏w會(huì)。

一、問題描述

在一次畢業(yè)班考試題中有道題：“圖書館共進(jìn)兩批書。第一批圖書本數(shù)比第二批多10%，如果從第一批拿80本到第二批，這時(shí)第一批本數(shù)與第二批本數(shù)之比是3∶4，圖書館這兩批圖書共進(jìn)了多少本？”學(xué)生的解題錯(cuò)誤率高，出現(xiàn)了各種各樣的錯(cuò)誤解法：

（1）解：設(shè)第二批圖書進(jìn)了x本。

x+10%x-+80=

（2）1.1x-+80=

（3）80×3+2=242（本） 80×2+60=220（本）

242+220=462（本）

（4）80÷（-）=500（本）

（5）解：設(shè)第二批為x本。

80÷10%=800（本）

800：x=3：4

3x=4×800

x=3200÷3

x=1066

（6）80÷（4-3）×4=320（本） 80÷（4-3）×3=240（本）

320+240=560（本）

這些錯(cuò)誤解法的背后暴露了學(xué)生在遇到綜合性問題時(shí)存在的障礙，即學(xué)生無法理清數(shù)量間的關(guān)系，即使認(rèn)真閱讀題目后還是無從下手；也暴露了教師在教學(xué)中存在的問題，即教師習(xí)慣就題講題，指導(dǎo)時(shí)不夠重視學(xué)生審題、解題方法指導(dǎo)及自我反思能力的培養(yǎng)，學(xué)生解題思路較為單一，喜歡套用公式機(jī)械地解答，看不到條件與問題間最本質(zhì)的聯(lián)系，對(duì)于條件間的聯(lián)系不能靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

二、原因何在

此題綜合性強(qiáng)、表達(dá)方式與平時(shí)不太相同，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。當(dāng)學(xué)生在審題時(shí)，數(shù)學(xué)問題與自己的圖式知識(shí)相匹配時(shí)，也就是自己所熟悉的題目，學(xué)生能很快借助已有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行解答；當(dāng)數(shù)學(xué)問題與自己的圖式不相匹配時(shí)，學(xué)生解題就發(fā)生了困難，往往束手無策，無從下手。需要學(xué)生對(duì)已有解題思路進(jìn)行調(diào)整，這一過程中學(xué)生的分析問題與解決問題的能力影響了學(xué)生是否順利完成結(jié)構(gòu)的重組。一般對(duì)學(xué)生造成解題的障礙主要有：隱藏條件、條件與問題之間的關(guān)系較為復(fù)雜、多余條件的干擾、題目表述方式的改變、條件中過多無用信息的干擾，學(xué)生無法準(zhǔn)確找到有用的信息等。

此題學(xué)生無法理清數(shù)量間的關(guān)系、認(rèn)真閱讀題目后還是無從下手。具體表現(xiàn)在：

（1）數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生無法簡(jiǎn)單地用第一批圖書數(shù)量加第二批圖書數(shù)量求出圖書總數(shù)；無法簡(jiǎn)單地從兩批圖書數(shù)量的關(guān)系中找到兩批圖書的數(shù)量；關(guān)系結(jié)構(gòu)不是學(xué)生熟悉的表達(dá)方式，給學(xué)生的解答帶來了困難：想用方程解答，找不到相等關(guān)系；想用“比”來解答，不知道第一批和第二批的數(shù)量如何表示；想用算術(shù)解，找不到相對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

（2）不知該設(shè)什么為單位“1”。此題中設(shè)不變量為單位“1”較為簡(jiǎn)單，而平時(shí)老師教學(xué)中不是讓學(xué)生根據(jù)題目中的具體情況找到單位“1”，而是機(jī)械性地歸納為在含有分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)的句子中找、比字后面的那個(gè)量看做單位“1”設(shè)為x，第一批圖書本數(shù)比第二批多10%，把第二批看做單位“1”，而又難以找到數(shù)量間的關(guān)系。

（3）不知該從何下手進(jìn)行解答。在分?jǐn)?shù)解決問題中，學(xué)生喜歡套用從題中給的具體數(shù)量入手，找到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，單位“1”的量是已知的，用乘法列式；單位“1”的量未知的就是用除法或方程；對(duì)于數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單的題目學(xué)生能快速解答，而此題中數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，學(xué)生一下子找不到數(shù)量之間的關(guān)系，更不知從何下手。

三、解決對(duì)策

基于以上的問題與分析，我認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)過程中，要重視學(xué)生分析問題、解決問題時(shí)的方法指導(dǎo)。

1.尋找解題的突破口

（1）重視關(guān)鍵句，幫助學(xué)生理解題意。在學(xué)生找不到方法時(shí)，再把關(guān)鍵句讀一遍，關(guān)鍵句往往是解題的突破口。比如此題中的圖書館共進(jìn)兩批書，對(duì)第一批圖書本數(shù)比第二批多10%、第一批本數(shù)與第二批本數(shù)之比是3∶4進(jìn)行重點(diǎn)思考，找到第一批、第二批、總數(shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)而找到第一批（或第二批）變化前后之間的聯(lián)系。

（2）重視畫圖，幫助理清數(shù)量關(guān)系。畫線段圖是最常用、實(shí)用的方法。利用畫圖，可化抽象為具體，化難為易，幫助學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想。比如，此題通過線段圖能把第一批、第二批及總數(shù)之間的關(guān)系較好地顯示出來。

（3）題目分解，找準(zhǔn)切入點(diǎn)。從條件入手，分解成幾道簡(jiǎn)單的題目，從而找到問題與條件之間的關(guān)系。解決問題中，往往是由幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)組成的綜合題目，解題時(shí)可以還原成簡(jiǎn)單題目。比如：

第一，從圖書館共進(jìn)兩批書，判斷不變量為總數(shù)，第一批圖書本數(shù)比第二批多10%，學(xué)生找到單位“1”為總數(shù)，第一批、第二批各用了總數(shù)的幾分之幾。

第二，這時(shí)第一批本數(shù)與第二批本數(shù)之比是3∶4，由比轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)。

第三，再把前后兩者的變化與“如果從第一批拿80本到第二批”聯(lián)系起來，學(xué)生抓住知識(shí)間的關(guān)系，很快就找到了解題思路。教師要有意識(shí)地在幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系處進(jìn)行點(diǎn)撥，幫助學(xué)生找到相關(guān)知識(shí)聯(lián)結(jié)點(diǎn)。

（4）進(jìn)行聯(lián)想，轉(zhuǎn)化解題方向。數(shù)學(xué)解題的思維過程實(shí)質(zhì)上是已知和未知之間一系列的聯(lián)想過程。上題中由購(gòu)進(jìn)兩批圖書，聯(lián)想到：第一，不管圖書怎么放，總數(shù)不變，可設(shè)不變量為單位“1”，這也是解題的關(guān)鍵。第二，由第一批比第二批多10%聯(lián)想到第一批與第二批的比是11：10，進(jìn)而得出第一批、第二批各占了總數(shù)的、。同理，變化后第一批與第二批的比是3∶4，想到第一批、第二批各占總數(shù)的、。第三，由第一批原來占總數(shù)的變成現(xiàn)在占總數(shù)的（或第二批為原來的變?yōu)楝F(xiàn)在占總數(shù)的），與第一批拿80本給第二批聯(lián)系起來，找到相對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

總之，此題可以利用聯(lián)想找到分?jǐn)?shù)、比之間的關(guān)系并進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

2.教師重視平時(shí)的對(duì)比教學(xué)，在教學(xué)中培養(yǎng)思維靈活性

教師在平時(shí)的教學(xué)中，要充分預(yù)設(shè)學(xué)生在解題中的困難及點(diǎn)撥的方式，特別是練習(xí)或講評(píng)時(shí)要能加強(qiáng)對(duì)比練習(xí)，講評(píng)時(shí)不能就題講題，應(yīng)在比較中突出本質(zhì)。比如一套課桌180 元，桌子比椅子貴，桌子和椅子單價(jià)各是多少錢？學(xué)生用了各種解法：方程解、算術(shù)解、轉(zhuǎn)化成比的應(yīng)用。講評(píng)完后可進(jìn)行比較歸納：此題有什么特點(diǎn)？三種方法的解題思路是怎么找到的？這樣學(xué)生就能把關(guān)注點(diǎn)再次落在關(guān)鍵句上：桌子比椅子貴，可轉(zhuǎn)化為桌子和椅子的比是5：4；桌子價(jià)格與椅子價(jià)格分別占了一套桌椅價(jià)格的、。此外，教師還可再問：在不改變桌子和椅子的價(jià)格關(guān)系時(shí)，這句關(guān)鍵句還可怎么改？這樣的一道題借助發(fā)現(xiàn)問題與提出問題兩個(gè)抓手幫助學(xué)生抓住本質(zhì)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，達(dá)到一題多練，拓展了學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

3.重視進(jìn)行多種方式的基本訓(xùn)練

在解題時(shí)，數(shù)學(xué)審題的過程就是弄清楚數(shù)學(xué)問題的已知條件，這些條件之間有什么樣的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言替換文字信息，以及數(shù)學(xué)題目中的字、詞、句、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表等信息本身的含義和隱藏的含義，所需解答的問題能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其表達(dá)出來。審題的過程是學(xué)生把文本翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)為主的語(yǔ)言。解題過程是一個(gè)綜合的思維過程，教師對(duì)于題中的重點(diǎn)問題可設(shè)計(jì)有針對(duì)性的訓(xùn)練。可設(shè)計(jì)如下訓(xùn)練：

（1）說的訓(xùn)練，提高解讀能力。數(shù)學(xué)解題實(shí)際上就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化過程，教師可進(jìn)行單方面的練習(xí)。比如行程問題、分?jǐn)?shù)問題等，通過所出示的圖或表，讓學(xué)生說出題意，幫助學(xué)生看清數(shù)量間的本質(zhì)聯(lián)系，增強(qiáng)表象。

（2）建立數(shù)學(xué)模型，獲得數(shù)學(xué)基本思想。2011年版課標(biāo)提出使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。教學(xué)中要抓住本質(zhì)，逐步幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型，獲得數(shù)學(xué)基本思想。比如簡(jiǎn)化的思想、方程的思想、優(yōu)化的思想、對(duì)應(yīng)思想等。利用數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生較快地找到了解決問題的方法。

（3）多角度思考問題，培養(yǎng)問題意識(shí)。教師平時(shí)可結(jié)合具體題目，單從問題入手，讓學(xué)生進(jìn)行思維發(fā)散，提出解題的思路，給出相關(guān)條件，讓學(xué)生提出問題。這樣的訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和解決問題的靈活性。

總之，將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖像語(yǔ)言，有利于用圖像的直觀性來找到簡(jiǎn)捷的解題途徑；將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成文字語(yǔ)言，有利于弄清其實(shí)質(zhì)。在審題中，對(duì)最初的數(shù)學(xué)問題空間的表征進(jìn)行判斷，當(dāng)此種表征難以解決問題或繁雜時(shí)，則轉(zhuǎn)換或選擇另一種表征形式。教師要重視學(xué)生良好審題習(xí)慣的培養(yǎng)，做到認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵句，注意挖掘隱含條件，學(xué)會(huì)尋找解決問題的突破口，利用各種方式幫助理解題意，并學(xué)會(huì)從不同角度發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，從而更好地解決問題，提高學(xué)生的問題解決能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。