黃阿娜

摘要：極限是微積分的理論基礎。研究函數(shù)的性質實質上是研究各種類型的極限，如連續(xù)，導數(shù)，定積分，級數(shù)等等。由此可見極限的重要性。由于極限的計算方法很多而繁雜，所以本文根據(jù)自己的教學實踐，力求對高職高等數(shù)學課程里計算一元函數(shù)極限的方法進行一個基本的總結。

關鍵詞：連續(xù)性四則運算重要極限無窮小量無窮大量

型型

極限是高等數(shù)學中的一個重要的基本概念，是研究微積分學的重要工具。微積分中的許多重要概念都是用極限來表述的，一些重要的性質和法則也是通過極限方法推得的。因此，掌握極限的思想與方法是學好微積分學的基礎，也是學好工科類學科知識前提條件。這樣才能更好地工學結合，使得學生在今后的工作中受益。

求函數(shù)極限時，要根據(jù)函數(shù)的特性選擇求函數(shù)極限的適當方法。

1 求一元函數(shù)極限的基本方法

1.1 利用連續(xù)性求極限

①設f（x）在x=a連續(xù)，按定義則有：fx=fa。

因此對連續(xù)函數(shù)求極限就是用代入法求函數(shù)值。

②一切初等函數(shù)在它的定義域上連續(xù)。因此，若fx是初等函數(shù)，a屬于它的定義域，則fx=fa。

③設gx=A，若補充定義g（a）=A，則gx在 x=a連續(xù)。若又有y=f（u）在u=A連續(xù)，則由復合函數(shù)的連續(xù)性得f（g（x））=f（gx）=f（A）。

1.2 利用四則運算法則

設fx=A，gx=B，則

[fx±gx]=A±B，[fx·gx]=A·B，

=（B≠0），fx=AB（A>0）

1.3 利用重要極限

常用的兩個重要極限公式是：

=1

1+=e

1.4 利用無窮小、無窮大的性質

①無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小。

②無窮小與無窮大的倒數(shù)關系。

2 求一元函數(shù)未定型極限的方法

2.1 型極限的求法

①因式分解或通分。

②分子，分母同除以一個代數(shù)式。

③根式有理化。

④變量替換。

⑤等價無窮小代換。

求函數(shù)極限，如能恰當采用等價無窮小代換，可以起到變難為易，化繁為簡的作用。等價無窮小代換：設α～α′，β～β′，且lim存在，則lim=lim（其中α，β，α′，β′均為無窮小）。

應用等價無窮小應注意的地方：只能用分子，分母整個部分去代換，或是把函數(shù)化成積的形式施行無窮小代換。在和，差式中，就不能代換。因為無窮小的和或是差是比原先更高階的無窮小。

⑥利用羅必達法則

定理（型，x→a+0）

若 （1）函數(shù)f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定義 （δ>0），并且

fx=0，gx=0

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）上存在，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

則==A

2.2 型的解法

定理 （，x→a+0）

若（1） 函數(shù)函數(shù)f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定義 （δ>0），并且

fx=∞，gx=∞

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）都可導，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

則==A

極限是數(shù)學分析中最基本，重要的概念之一；極限在實際應用中有很廣泛的應用，因此掌握求極限的方法十分重要。

總之，求極限的方法很多，函數(shù)的類型也很多，但求極限總的指導思想是根據(jù)函數(shù)特征選擇適當求法，在熟練掌握各種極限求法的基礎上，按照極限求法的思考順序來考慮，就可準確地找到適當?shù)那蠓ǎ箚栴}得到圓滿的解決。

參考文獻：

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