周志保

初中數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系到空間形式作為其研究對(duì)象，因而數(shù)形結(jié)合是一種很自然的數(shù)學(xué)思想，它可以把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，也可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形的性質(zhì)問(wèn)題，這種處理問(wèn)題的思想方法就是數(shù)形結(jié)合思想方法. 以下對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用從以形輔數(shù)和以數(shù)輔形這兩方面做一番探討.

一、數(shù)向形的轉(zhuǎn)化，利用形的直觀解題

（一）借助于數(shù)軸解絕對(duì)值一次不等式

很容易觀察出來(lái)x ≥ 3或x ≤ -1.

（二）借助于函數(shù)圖像解題

（三）構(gòu)造特殊圖形解題

試問(wèn)有多少學(xué)生三種都及格？

分析 本題若從代數(shù)的方法來(lái)解比較抽象，較難獲得答案，借助韋恩圖答案就一目了然.

解 借助韋恩圖來(lái)解，由題意可知總?cè)藬?shù)41人，即可得三科及格人數(shù)為41 - 15 = 26（人）.

（四）利用勾股定理解題

二、從形到數(shù)，揭示形中數(shù)的本質(zhì)

（一）用代數(shù)方法解決平面幾何問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1 平行四邊形ABCD中，∠DAB是銳角，且AC2·BD2 = AB4 + AD4，求證：∠A = 45°.

分析 這個(gè)題目從幾何角度來(lái)證明難度很大，因?yàn)闂l件有限且AC，BD，AB，AD又不能在同一三角形中有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就給證明帶來(lái)了困難，但借助代數(shù)中的根與系數(shù)關(guān)系和余弦定理此題便可較快解答（證明略）.

（二）用代數(shù)方法解決平面幾何問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例2 已知：△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求∠A的平分線AD的長(zhǎng).

解 第一步，簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合，在直角坐標(biāo)系下指出已知點(diǎn)A，B，C，畫出△ABC的邊及其∠A的平分線AD（如圖）.

從以上解題可知數(shù)學(xué)解題是一個(gè)富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程. 數(shù)形結(jié)合其實(shí)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮數(shù)與形的兩種信息的轉(zhuǎn)換，及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合. 正如華羅庚先生所說(shuō)的數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微！

【參考文獻(xiàn)】

[1]章士藻著.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué).南京：江蘇教育出版社，1996.

[2]張雄，李得虎，編著.數(shù)學(xué)方法論與解題研究.北京：高等教育出版社.

[3]李勇新，藤文凱，等編著.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社.