許志鋒

例 [2012年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷（理科）第21題] 已知函數(shù)f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2.

（1） 求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；

（2） 若f（x）≥x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

第（1）問(wèn)分析：

要求f（x）的解析式，必須先求出f′（1）和f（0）的值，這似乎陷入了一個(gè)邏輯循環(huán)的困境：因?yàn)閷?duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，我們一般會(huì)先確定函數(shù)的解析式，再根據(jù)其解析式求出某個(gè)具體的導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值.

觀察例題，函數(shù)f（x）的解析式中含有f′（1）， f（0），而對(duì)f（x）求導(dǎo)得到f′（x）=f′（1）ex-1-

f（0）+x，其中也含有f′（1），f（0），因此，求解的關(guān)鍵是充分利用題目所給的“半成品”f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2以及求導(dǎo)得到的解析式求出f′（1）與f（0）的值.

第（1）問(wèn)解：

對(duì)f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2求導(dǎo)可得f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x （①），把x=1代入①式可得f′（1）=f′（1）e1-1-f（0）+1，解得f（0）=1，所以f（x）=f′（1）ex-1-x+x2 （②），把x=0代入②式可得1=f′（1）e0-1-0+·02，解得f′（1）=e.所以f（x）的解析式為f（x）=ex-x+x2.

對(duì)f（x）=ex-x+x2 （x∈R）求導(dǎo)可得f′（x）=ex-1+x. 因?yàn)閑x，x均在R上單調(diào)遞增，所以f′（x）=ex-1+x在R上單調(diào)遞增.令f′（x）=0，解得x=0.因?yàn)閒′（x）在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x<0時(shí)， f′（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)， f′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

第（2）問(wèn)分析：

f（x）≥x2+ax+b即ex-x+x2≥x2+ax+b，整理得ex≥（a+1）x+b（x∈R）.這個(gè)不等式中含有兩個(gè)參數(shù)a，b，如何確定它們之間的關(guān)系，求出（a+1）b的最大值呢？

如果僅從代數(shù)的角度來(lái)解讀這個(gè)不等式，那么問(wèn)題確實(shí)會(huì)顯得比較抽象.但換個(gè)角度，如圖1所示，作出曲線y=ex與直線l：y=（a+1）x+b的圖象，分析兩者間的位置關(guān)系，似乎能找到一些“蛛絲馬跡”.我們可以據(jù)圖猜想：

（1） 由于ex≥（a+1）x+b恒成立，所以直線l：y=（a+1）x+b應(yīng)始終位于曲線y=ex的下方，且其斜率k=a+1不能小于0 （如圖1所示，直線m就不滿足題意）.

（2） 在所有始終位于y=ex下方且斜率都為k（k=a+1>0）的直線l中，與y=ex相切的那條直線l0具有最大的縱截距b.

如果以上猜想能夠得以證明，則當(dāng)（a+1）b取最大值時(shí)，a+1>0，且a+1是直線l0的斜率，b為直線l0在y軸上的截距，兩者均可用直線l0與y=ex的切點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示，再將a+1與b相乘，就能得到一個(gè)一元函數(shù).于是問(wèn)題就變成了求一元函數(shù)最大值的問(wèn)題！

第（2）問(wèn)解：

f（x）≥x2+ax+b恒成立即ex≥（a+1）x+b恒成立.

若a+1<0，則當(dāng)x趨近于-∞時(shí)，（a+1）x+b趨近于+∞，此時(shí)ex趨近于0，故ex≥（a+1）·x+b不恒成立.

當(dāng)a+1>0時(shí)，由圖1可知在曲線y=ex下方的直線l：y=（a+1）x+b有無(wú)數(shù)條，即存在無(wú)數(shù)組參數(shù)a，b使ex≥（a+1）x+b恒成立.為了求得（a+1）b的最大值，我們可以分兩步走：第一步，在所有具有相同斜率k （k=a+1>0）的直線中，求b的最大值；第二步，讓a+1變化，求（a+1）b的最大值.

如圖1所示，在所有斜率k=a+1>0且在曲線y=ex下方的直線l中，與曲線y=ex相切的那條直線“最高”，即縱截距b最大.我們可以在曲線y=ex上找到一點(diǎn)（t，et），使該點(diǎn)處的切線l0平行或重合于l.

對(duì)y=ex求導(dǎo)可得y′=ex，故點(diǎn)（t，et）處的切線斜率為y′=et，只要使et=a+1，就能使直線l0平行或重合于直線l.由直線l0過(guò)點(diǎn)（t，et）且斜率為et可得直線l0的方程為y-et=et（x-t）.令x=0，可得l0在y軸上的截距b0=et（1-t）.

經(jīng)過(guò)以上討論，我們知道，當(dāng)正數(shù)a+1確定時(shí)，若ex≥（a+1）x+b恒成立，則b有最大值b0=et（1-t），此時(shí)a+1=et.這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求et·et（1-t）的最大值了.

設(shè)h（t）=et·et（1-t），則h′（t）=e2t（1-2t）.令h′（t）=0，解得t=.當(dāng)t<時(shí)，h′（t）>0，h（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t>時(shí)，h′（t）<0，h（t）單調(diào)遞減.故h（t）max=h=，即（a+1）b的最大值為.

當(dāng)a+1=0時(shí)，（a+1）b=0<.

綜上可得，（a+1）b的最大值為.

小結(jié)： 例題難就難在出現(xiàn)了兩個(gè)參數(shù)a，b，對(duì)于制約條件ex≥（a+1）x+b，即使直線y=（a+1）x+b的斜率k=a+1確定，縱截距b仍有無(wú)數(shù)個(gè)取值.通過(guò)作圖，我們發(fā)現(xiàn)在這無(wú)數(shù)條滿足條件的直線l中，能使b最大的那條直線就是y=ex的切線.由此深入下去，可將關(guān)于兩個(gè)參數(shù)的最值問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題.在分析過(guò)程中，我們除了使用了數(shù)形結(jié)合法，還運(yùn)用了“兩個(gè)參數(shù)先定其一”的方法，即“逐步調(diào)整”的策略.綜觀整個(gè)解題過(guò)程，是圖象讓我們不再迷惘，是導(dǎo)數(shù)讓猜想獲得證明：前者引路，后者踐行.

如果一個(gè)題目中抽象的數(shù)量關(guān)系能夠通過(guò)圖象加以呈現(xiàn)，我們就可以主動(dòng)作圖，借助圖形直觀地猜想結(jié)果并設(shè)計(jì)解題程序，然后通過(guò)縝密的推理和計(jì)算來(lái)達(dá)成目標(biāo)，這就是數(shù)學(xué)家常說(shuō)的“大膽猜想，小心求證”.

如果一個(gè)函數(shù)問(wèn)題含有兩個(gè)參數(shù)，我們可以徐徐圖之，先假定其中一個(gè)參數(shù)是確定的，再觀察另一個(gè)參數(shù)的變化對(duì)問(wèn)題的解的影響.找到該參數(shù)的最優(yōu)解后，將它固定，并在這種情況下回頭討論前一個(gè)參數(shù)的變化對(duì)問(wèn)題的解的影響.

要證明一個(gè)函數(shù)不等式，如果該函數(shù)是高于二次的多項(xiàng)式，或者其解析式中除多項(xiàng)式外同時(shí)含有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)等，難以用普通方式處理，我們就可以借助導(dǎo)數(shù)討論不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性和極值，以解決問(wèn)題.