劉智強

近日里，教研組的同事要去參加市級數(shù)學優(yōu)質課比賽，教學內容是橢圓及其標準方程第一課時.在這節(jié)課的教學改進過程中，圍繞著課題的引入、橢圓定義的發(fā)生、橢圓方程的推導、第二類橢圓標準方程的類比導出、教科書例題的使用、課堂小結的內容方式等環(huán)節(jié)的教學處理，教研組里的數(shù)學同伴展開了激烈的爭論，對一些教學環(huán)節(jié)的處理意見，公說公有理，婆說婆有理，一時爭論不息.到底怎樣的教學處理比較好？它是否具有相對一定的準則和規(guī)律？

1對于橢圓概念的教學，概念從哪里引入，如何自然地、“再創(chuàng)造”地發(fā)生在第一次教學中，教師一手拿著粗大的香腸，一手拿著閃亮的小刀，吆喝著讓學生上臺動手斜切香腸，并請大家觀看其截面圖形來引入橢圓的課題，花費了5分鐘時間，氣氛看似十分熱鬧，其實，這是胡鬧，完全沒有必要，因為對于橢圓的圖形形狀，高中學生早已經具有豐富的感性，這種切香腸的喧嘩只是教學的浪費.第二次，教師用細繩加筆尖，在黑板上畫出橢圓圖形，直接告訴學生圖形上的點所滿足的條件，給出橢圓定義，并用幾何畫板動畫顯示橢圓的扁圓程度，以此顯示來說明2a>2c.第三次，教師設計了一組問題：（1）取一條一定長的細繩，把它的兩端都固定在平面內同一點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，作出圖形.請大家思考，在這個過程中，筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？（2）如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在平面內兩點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，作出圖形.在這個過程中，筆尖（動點）滿足的幾何條件又是什么？

（3）根據你在（2）中的觀察、發(fā)現(xiàn)，類比圓的定義，提出橢圓定義？（4）在上述問題（2）中，移動筆尖，思考作出的圖形是否始終都是橢圓？請你給出條件？說明理由.

對于數(shù)學知識的發(fā)生，尤其是數(shù)學核心概念、核心思想的發(fā)生教學，重要的是要追求其數(shù)學本質的自然發(fā)生發(fā)展性.人教版《普通高中課程標準實驗教科書》的主編寄語中指出：“數(shù)學概念、數(shù)學方法、數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其它概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味”.其次要讓學生在知識發(fā)生發(fā)展的過程中多些“再創(chuàng)造”的活動.荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認為：學習數(shù)學的唯一正確方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”，就是說，由學生本人把學習的東西實現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務是為學生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導探索.從教育心理角度講，所有的新知識、只有通過學生自身“再創(chuàng)造”，使其納入自己的認知結構中，才可能成為有效的知識.再者“思維的教學”的基本方法，是以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學生的概括活動搭建平臺，千方百計地給學生提供概括的機會，鍛煉學生的概括能力，使學生學會概括.特別要注意在概括的關鍵環(huán)節(jié)上放手讓學生自主活動.

在這里老師設計了一組“問題串”，用問題來引導數(shù)學教學.在這里橢圓由圓演化而來，圓扮演了橢圓教學的“先行組織者”的角色，在這里橢圓由細繩加筆尖的運動畫得，細繩加筆尖創(chuàng)設了自主探究的情境，在這里教師的“類比圓的定義，提出橢圓定義”以及“圖形是否始終都是橢圓嗎？請你給出條件？”為學生的“再創(chuàng)造”提供了“腳手架”.

2對于橢圓標準方程的推導，是一味由教師講、還是一味讓學生做，還是師生互動、協(xié)同前進第一次教學中，教師自己一講到底，看似很順利，學生表面上“一聽就懂”，其實不會甚至“一做就錯”.第二次，教師直接就放手讓學生自己去探究推導，由于學生的化簡變形能力比較薄弱，結果花費了20多分鐘還是不能奏效.第三次，教師用問題來引導教學，采用小步走，及時啟發(fā)嘗試反饋，強調師生對話互動、強調學生的“做數(shù)學”、強調了學生的“說數(shù)學”.

對于這樣一個具體內容的教學方法的選擇，首先，要根據教材內容的特點、地位，以及學生已有的知識、認知水平，來理解教材、理解學生、進而處理教學.橢圓標準方程的推導是解析幾何的開局之篇，它涉及到解析幾何的基本知識、基本思想方法，同時對學生來說，也有許多空前的，不具備的東西，特別是方程的化簡變形.而在這里橢圓方程的推導，又是學習求曲線軌跡方程，以及式子運算變形能力訓練的重要載體，是本節(jié)教學中的重點和難點.其次，課堂教學的有效、課堂教學的好壞、課堂教學的藝術，其標準在于是否恰當.教師一味地講解注入，學生缺少體驗探究、缺少做題說題，缺少構建內化，進而不能真會.一味讓學生自由探究，學生缺少啟發(fā)引導，缺少對話互動，缺少及時糾錯，進而不能有效.課堂教學中必須注意教師主導取向的講授式與學生自主取向的活動式的結合，而且注意使用“問題引導學習”的教學 .在這里橢圓標準方程的推導教學，教師用“怎么建”，“嘗試推導”，“怎樣化簡”，“ 回顧反思”，“錯誤在哪”等，設問引導，提供“腳手架”，學生動手嘗試、玩“做數(shù)學”，教師學生對話互動，協(xié)同攀升.再次，課堂教學需要講究效率，需要追求 45分鐘的經濟和性價比.這里選擇的教學處理，既能控制時間，完成教學內容，又使學生學會、會學，以至真的會.

3對于橢圓第二類標準方程及其性質特點的教學，在方式上，是教師直接一起呈現(xiàn)全部結果，還是讓學生通過類比發(fā)現(xiàn)，表格化，逐個呈現(xiàn)

在第一次教學中，教師是比較隨意的、散狀的、直接告訴結果.第二次，教師把第二類標準方程以及性質特點，列成表格，把全部結果一起呈現(xiàn)給學生.第三次，教師設計了一組問題，（1）在如下表格中，已知橢圓第一類標準方程，請你填上其對應的圖形、a，b，c關系、焦點坐標、焦點所在軸位置.（2）如果在第一列的表格中變換已知條件，你能填寫出其它空格結果嗎？（3）如果橢圓圖形坐標建立在y軸上，請類比第一類標準方程，在表格中填上第二類標準方程對應的結果.（4）如果不用類比的方法，你是怎樣做？表格如下：

對于一個具體內容的教學處理與教法選擇，包括其呈現(xiàn)方式這樣的細節(jié)問題.還必須根據其教學目標，顯性的目標和隱性的目標.在這里，及時在推導出橢圓標準方程基礎上，進一步研究焦點在x軸上的橢圓基本特點，包括標準方程、圖形位置、a，b，c關系、焦點坐標、焦點位置等之間的聯(lián)系和轉換.并且通過類比思想方法，得到焦點在y軸上的橢圓標準方程及其基本特點.讓學生體會對稱的思想及數(shù)學的美感，學會運用類比的方法，進行觀察、歸納能力的訓練.同時，還應該講究教學內容的呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)次序.在這里，教師不是簡單地，把反映兩類標準方程及其基本特點的整張表格內容結果，直接地、全部地、一下子呈現(xiàn)給學生，而是設計了一組問題，在學生充分思考后，填空式地、逐一地把內容呈現(xiàn)出來.在這里，對教學方式作了表格化、逐一呈現(xiàn)，這樣一個小小細節(jié)的處理，卻給學生帶來了大大的思維空間和“再創(chuàng)造”的機會.在這里，通過上述四個一組的問題思考，以及對上述表格的填空，讓學生經歷橫向兩類類比、縱向圖式轉換的數(shù)學思維過程，使學生有了更多發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的機會.

4教科書上的例題是否一定必須用，怎樣規(guī)范用、變式用，教科書上例題的示范引領作用是什么

第一次教學設計中，上課教師沒有用課本上的例題，理由是這個例題太簡單，換用了其它教學輔導資料中的稍難的題目.第二次，教師用了課本上的例題，但只是口頭地、直接地給出答案，一筆帶過.第三次，教師使用了課本例題，在對其充分示范引導后，對其進行了變式和拓展.

對于教科書上例題的教學使用，必須用、規(guī)范用、變式用.首先，教科書的例題是教材核心內容程序化的展現(xiàn)，既是教師教的范例，也是這部分知識內容的“最佳原形”.其次，教科書的例題一般是在講述了某個概念和命題后給出的，其目的就是利用例題來示范引領學習者，如何運用所學新知識分析解決實際問題.包括新知識應用的示范引領，解題程序與表述規(guī)范的示范引領，以及如何解題的示范引領.教科書例題的表達簡潔、明了，為學生課后解答習題的表述提供了樣板，使其養(yǎng)成良好的書寫和表達的習慣.再者，只有在充分利用和發(fā)揮了教科書的例題的教學功能的前提下，學生在頭腦中有了“最佳原形”后，才能有效地對教科書上的例題進行變式和拓展，使之更加全面、深刻、系統(tǒng).

在這節(jié)課里，教科書上的例題1：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），，并且經過點，求它的標準方程.這是教學內容的“最佳原形”，它包含了橢圓定義，標準方程、a，b，c關系等知識內容，包括了待定系數(shù)、解析思想、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，也示范了解題程序和格式.在此基礎上，將其變式為：（1）已知兩個焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于8，求它的標準方程.（2）已知兩個焦點的距離為4，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于8，結果如何？這樣圍繞這節(jié)課的核心概念、數(shù)學核心思想，通過例題示范及變式練習，達到一題變一簇，一題串一簇、一題聯(lián)一線的境地.

到底怎樣的教學處理比較好？只有在充分理解數(shù)學、理解學生、理解教學的基礎上，圍繞數(shù)學核心概念、核心思想的本質，去設計、去選擇、去處理教學，追求自然、本質、簡約，追求精講、多做、高效，達到抓得住、講得清、做得會，才能比較好地把握教材的處理.