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      幾個(gè)抽象函數(shù)的簡(jiǎn)單分析

      2013-04-29 11:02:15韓登科
      新課程·上旬 2013年5期
      關(guān)鍵詞:周期抽象奇偶性

      韓登科

      摘 要:抽象函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的概念,所謂抽象函數(shù)是指沒有具體的解析式,一般以y=f(x)來表示的函數(shù),這類函數(shù)通常將函數(shù)的五大性質(zhì)與對(duì)稱性融合考查,對(duì)學(xué)生觀察、分析能力有比較高的要求,要求學(xué)生有更強(qiáng)的思維和想象能力,能夠順利地將問題從特殊轉(zhuǎn)化為一般。

      關(guān)鍵詞:抽象;奇偶性;定義域;周期

      解決抽象問題,一般要求學(xué)生有比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),相對(duì)完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力較強(qiáng)。所以歷年來,抽象函數(shù)相關(guān)問題都是比較熱門的考點(diǎn)。下面通過幾個(gè)例題,談?wù)劤橄蠛瘮?shù)的常見問題和解法。

      一、抽象函數(shù)定義域

      例1.已知y=f(x+1)定義域?yàn)椋?2,2),求函數(shù)y=f(x)+f(x+1)的定義域。

      解析:我們知道定義域指的是式子中x的范圍,而最外層括號(hào)對(duì)應(yīng)的范圍應(yīng)該是一致的,所以,我們得到如下算法,由-2

      點(diǎn)評(píng):(1)已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域即是g(x)在x∈[a,b]上的值域;(2)f[g(x)]與f[φ(x)]中g(shù)(x),φ(x)的值域相同。

      二、抽象函數(shù)的奇偶性

      例2.判斷f(x)的奇偶性:

      (1)已知f(x+y)=f(x)+f(y),(2)已知f(xy)=f(x)f(y)

      解析:(1)令y=-x,則上式可化為f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),所以得到f(0)=0,由此可以得到f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)。

      (2)令y=-1,則上式可化為f(-x)=f(x)+f(-1),令x=y=-1,可得f(1)=2f(-1),令x=y=1,可得f(1)=2f(1),所以f(1)=0,由此可以得到f(-1)=0,所以f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù)。

      點(diǎn)評(píng):已知抽象函數(shù)關(guān)系式,判斷函數(shù)的奇偶性,關(guān)鍵是判斷f(x)與f(-x)的關(guān)系,所以應(yīng)通過賦值讓關(guān)系式中只含有f(x),f(-x),其他的均應(yīng)該是常數(shù)。

      三、抽象函數(shù)的周期性

      例3.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R,都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,且f(4)=4,則f(2012)=( )

      A.0 B.-4 C.-8 D.-16

      解析:因?yàn)閥=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,也即y=f(x)是奇函數(shù)。又對(duì)于f(x+6)+f(x)=2f(3),令x=-3,則f(3)=f(-3),又因-f(3)=f(-3),所以f(3)=f(-3)=0,所以f(x+6)+f(x)=0,所以T=12,所以f(2012)=f(-4)=-f(4)=-4

      點(diǎn)評(píng):關(guān)于抽象函數(shù)周期性的幾個(gè)性質(zhì):

      (1)若f(x)=-f(x+a)或f(x)=■或f(x)=-■,則f(x)周期為2a。

      (2)若f(x)存在對(duì)稱軸x=a和x=b或者存在對(duì)稱中心(a,0),(b,0),則f(x)的周期為2a-b;若f(x)存在對(duì)稱軸x=a和對(duì)稱中心(b,0),則f(x)的周期為4a-b。

      綜上所述,我們可以發(fā)現(xiàn),抽象函數(shù)主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,只要基礎(chǔ)扎實(shí),對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解到位,其實(shí)抽象函數(shù)是很簡(jiǎn)單的。

      (作者單位 河南省新安縣第二高級(jí)中學(xué))

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