何聲清，鞏子坤

（杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

1 問題提出

概率作為研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)，它從偶然因素和影響中尋求必然的、本質(zhì)的規(guī)律，并對(duì)這些偶然性影響給以數(shù)量的刻畫和分析．了解某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性是指既知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，又知道每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大?。ǜ怕剩?，也就是要知道相應(yīng)的隨機(jī)變量分布．對(duì)于義務(wù)教育階段的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出用實(shí)驗(yàn)、模擬、構(gòu)造樣本空間等方法計(jì)算簡(jiǎn)單等可能事件的可能性大?。ǜ怕剩1]．因而，基于精確的樣本空間判斷可能性和可能性大小，也就成為學(xué)生掌握概率知識(shí)的一個(gè)重要目標(biāo)．

Piaget和Inhelder對(duì)兒童概率概念進(jìn)行過最早、最全面的研究，并描述出了兒童概率認(rèn)知發(fā)展的3個(gè)重要階段[2]．第一階段，即前運(yùn)算階段，發(fā)生在7歲或8歲之前，該階段的兒童還沒有機(jī)遇或者概率的概念．第二階段為具體運(yùn)算階段，年齡從7、8歲到12歲左右，能區(qū)分確定性和不確定性，開始知道如何量化概率，但在計(jì)算復(fù)雜情境的概率時(shí)擁有的是一套不完整的對(duì)策．直到12歲前后，即形式思維階段開始時(shí)，兒童能將演繹邏輯與隨機(jī)概率統(tǒng)合起來，進(jìn)行比較精確的概率計(jì)算．在之后的研究中，有研究者認(rèn)為Piaget低估了兒童的認(rèn)知能力，而有的研究者認(rèn)為即便是西方發(fā)達(dá)國家，兒童的概率認(rèn)知也沒有達(dá)到Piaget的發(fā)展階段[3]．對(duì)中國而言，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》已經(jīng)降低了概率部分的要求和難度，第二學(xué)段要求認(rèn)知隨機(jī)性，第三學(xué)段才要求對(duì)可能性的大小數(shù)量化，這在一定程度上耦合了Piaget關(guān)于概率認(rèn)知?jiǎng)澐值碾A段．概率概念是在形式思維階段發(fā)展起來的，這里正是參考Piaget和Inhelder的研究成果，針對(duì)處于形式思維階段的11—14歲學(xué)生，考察其對(duì)于可能性比較的認(rèn)知發(fā)展情況，探討影響學(xué)生可能性比較認(rèn)知的因素，分析學(xué)生在可能性比較過程中的典型錯(cuò)誤認(rèn)知及其成因，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)及課堂教學(xué)中關(guān)于概率內(nèi)容的目標(biāo)定位提出若干建議．

2 方 法

2.1 被 試

被試分為11—14歲4個(gè)年齡組，每個(gè)年齡115人左右，共457人．各年齡組被試分別來自不同類型的學(xué)校：杭州市區(qū)重點(diǎn)中小學(xué)兩所（學(xué)校類型標(biāo)記為 1），城鄉(xiāng)結(jié)合地區(qū)普通中小學(xué)兩所（學(xué)校類型標(biāo)記為2）和農(nóng)村中小學(xué)兩所（學(xué)校類型標(biāo)記為 3）．每個(gè)類型學(xué)校的年齡組被試在 38人左右．按照性別不同，被試分別被標(biāo)記為1（男生）和2（女生）．根據(jù)被試父母職業(yè)，劃分1—6個(gè)類型；根據(jù)被試父母學(xué)歷，劃分1—5個(gè)水平．

2.2 設(shè)計(jì)與材料

每個(gè)被試要求完成一份相同的測(cè)試問卷，問卷配有插圖．問卷共5個(gè)題目，題目情境均是從一個(gè)不透明的盒子中摸出一個(gè)或兩個(gè)球，盒中的球大小一樣、手感相同、顏色不同．并且根據(jù)“球的顏色”、“盒中球的個(gè)數(shù)”、“摸出球的個(gè)數(shù)”3個(gè)變量，使5道題呈現(xiàn)良好的銜接和梯度．具體問題見表1．

2.3 程序及計(jì)分

實(shí)驗(yàn)以筆試形式在班級(jí)統(tǒng)一進(jìn)行，限定答題時(shí)間，由本校老師監(jiān)考，并向被試強(qiáng)調(diào)本次測(cè)試是正規(guī)考試，要求被試認(rèn)真作答．另外，考慮到影響學(xué)生可能性比較水平的某些可能相關(guān)因素，測(cè)試材料除了要求被試認(rèn)真填寫學(xué)校、年級(jí)、出生年月、性別等信息之外，還在測(cè)試最后設(shè)置家庭信息欄，要求被試填寫父母職業(yè)和父母學(xué)歷信息．

研究只考慮被試對(duì)每一題的第3小題的作答情況，根據(jù)學(xué)生的語言解釋，將學(xué)生對(duì)于可能性大小的比較按低到高分為4個(gè)水平：主觀判斷，記0分；基于部分樣本空間，記1分；基于模糊的樣本空間，記2分；基于精確的樣本空間，記3分．

3名研究人員依據(jù)計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)被試的答案單獨(dú)打分，一致性達(dá)到97%．

2.4 關(guān)于可能性大小比較的4個(gè)水平劃分標(biāo)準(zhǔn)及其解釋

關(guān)于被試對(duì)于可能性大小比較的水平劃分，研究人員根據(jù)被試每題第3問的語言解釋做出斷定．主觀判斷：被試的解釋反映個(gè)人喜好、唯心主義、經(jīng)驗(yàn)主義等；基于部分樣本空間：被試能夠基于樣本空間解決可能性大小的比較問題，但不能構(gòu)建精確的樣本空間；基于模糊的樣本空間：這是一類基于特殊部分樣本空間的情形，由于其具有很強(qiáng)的普遍性和研究意義，故單獨(dú)作為一個(gè)水平，并且認(rèn)為這種水平高于一般的基于部分樣本空間水平．這個(gè)水平主要是針對(duì)第 4和第5題而言的，包括被試構(gòu)建的兩種樣本空間情形，即“黑球、黑球，白球、白球，黑球、白球”和“黑球、黑球，白球、白球，黑球、白球，白球、黑球”這兩種情形；基于精確的樣本空間，被試能夠明確指出各種可能性的概率（精確量化），對(duì)可能性大小進(jìn)行判斷．

3 結(jié) 果

3.1 關(guān)于測(cè)試題目的結(jié)構(gòu)效度

問卷共有4套題目，各套題之間的得分相關(guān)都達(dá)到了顯著水平（0.130~0.656之間），說明5道題的內(nèi)部一致性很高，問卷具有良好的結(jié)構(gòu)效度（見表2）．

表2 各測(cè)試題之間的相關(guān)性

3.2 11—14歲學(xué)生可能性比較認(rèn)知水平的發(fā)展趨勢(shì)及特征

3.2.1 11—14歲學(xué)生可能性比較的總體認(rèn)知水平

總體來看，11—12歲學(xué)生的可能性比較總體認(rèn)知水平呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，13歲開始出現(xiàn)停滯甚至下降趨勢(shì)（見圖1）．

圖1 11—14歲學(xué)生可能性比較的總體認(rèn)知水平

表1 11—14歲學(xué)生可能性比較調(diào)查問卷

以學(xué)生的年齡為自變量，以學(xué)生的可能性比較的總體認(rèn)知水平為因變量，進(jìn)行單因素方差分析，初步結(jié)果表明，Levene(3, 210)=5.548，P<0.001．也就是說，不同自變量分組的方差不齊，沒有通過方差齊性檢驗(yàn)．“無法滿足方差齊性假設(shè)并非方差分析最致命的問題，特別是多個(gè)樣本組大小相等時(shí)．如果多個(gè)樣本組的大小不等，則推薦使用 Welch方差分析．”[4]進(jìn)而選擇使用 Welch方差分析，Welch(3,104.373)=13.514，P<0.001．表明，在可能性比較方面，不同年齡學(xué)生間存在顯著性差異．

由于沒有通過方差齊性檢驗(yàn)，于是選擇了 Dunnett T3方法進(jìn)行多重比較檢驗(yàn)，結(jié)果如表 3所示．結(jié)果表明，11—12歲之間，11—13歲之間，13—14歲之間差異不顯著（P>0.05）．其余年齡之間的差異非常顯著（P<0.05）．

表3 11—14歲學(xué)生可能性認(rèn)知總體水平的多重比較

由此進(jìn)一步得出，學(xué)生在11—12階段關(guān)于可能性認(rèn)知，處于緩慢發(fā)展階段；12—13歲，處于倒退發(fā)展階段；13—14歲，處于停滯發(fā)展階段．

3.2.2 不同情境下11—14歲學(xué)生可能性比較的認(rèn)知水平發(fā)展趨勢(shì)及其特征

考察不同情境下11—14歲學(xué)生可能性比較的認(rèn)知水平發(fā)展趨勢(shì)及其特征，為此統(tǒng)計(jì)了每一題不同年齡的平均水平．結(jié)果表明，對(duì)于第1、2題，各年齡段的平均水平基本持平并且水平均值接近“3”．由此看出，對(duì)于各年齡段學(xué)生來說，“摸出一個(gè)球”（即單一樣本）情境下的可能性比較，學(xué)生能夠構(gòu)建良好的樣本空間，對(duì)可能性大小做出判斷，且在11歲時(shí)就基本達(dá)到基于精確的樣本空間水平．

考察第3、4、5題，即“摸出兩個(gè)球”情境下的可能性比較，學(xué)生的平均水平明顯偏低，這也是導(dǎo)致其總體水平偏低的原因．

圖2 11—14歲學(xué)生“摸出兩個(gè)球”情境下的可能性比較的平均水平

綜上得出，11—14歲學(xué)生在“摸出一個(gè)球”情境下的可能性比較的水平均達(dá)到“掌握”的水平；在“摸出兩個(gè)球”情境下的可能性比較總體水平偏低，說明學(xué)生的組合認(rèn)知可能是其對(duì)可能性大小進(jìn)行比較的一個(gè)影響因素；并且在“摸出兩個(gè)球”情境中11—14歲學(xué)生經(jīng)歷了從發(fā)展到停滯發(fā)展甚至倒退發(fā)展的過程，這也反映了其總體水平的發(fā)展趨勢(shì)；學(xué)生在第3題的平均水平高于第4、5題，說明重復(fù)樣本對(duì)學(xué)生構(gòu)造樣本空間造成困擾．

3.2.3 重復(fù)樣本條件下“摸出兩個(gè)球”情境時(shí)可能性比較的認(rèn)知水平

進(jìn)一步考察重復(fù)樣本條件下“摸出兩個(gè)球”情境時(shí)可能性比較的水平，為此統(tǒng)計(jì)了第4、5兩題學(xué)生可能性比較的4種水平的百分比（見表4）．?dāng)?shù)據(jù)顯示：對(duì)于在重復(fù)樣本條件下“摸出兩個(gè)球”情境時(shí)的可能性比較，有相當(dāng)一部分甚至過半學(xué)生只能憑借主觀判斷可能性的大小，另外有相當(dāng)一部分學(xué)生處于構(gòu)造模糊的樣本空間判斷可能性大小的水平；相對(duì)于從同一總體抽取組合樣本（第4題），學(xué)生對(duì)于從不同總體分別抽取一個(gè)球再組合樣本的情況（第5題）更易于構(gòu)建精確的樣本空間．

3.3 11—14歲學(xué)生可能性比較認(rèn)知水平的個(gè)體差異

研究同時(shí)考察了影響個(gè)別差異的各種可能因素，如學(xué)校類型、被試性別、家庭背景情況（父母學(xué)歷、父母職業(yè)）．又由于第1、2題各年齡平均水平均接近基于精確的樣本空間水平，故主要研究第3、4、5題的情況．

以學(xué)校類型（城市、城鄉(xiāng)、農(nóng)村）為自變量，以“‘摸出兩個(gè)球’情境下的可能性比較水平”為因變量，進(jìn)行單因素方差分析，結(jié)果表明，F(xiàn)學(xué)校(2, 440)=4.353，P<0.05．表明，不同學(xué)校之間“摸出兩個(gè)球情境下”的可能性比較水平存在顯著性差異，進(jìn)一步的多重比較顯示：城市地區(qū)學(xué)校和城鄉(xiāng)結(jié)合地區(qū)學(xué)校、城市地區(qū)學(xué)校和農(nóng)村地區(qū)學(xué)校學(xué)生的可能性比較水平均存在顯著差異．

表4 各地區(qū)學(xué)校學(xué)生第4第5兩題學(xué)生各水平百分比

分別以爸爸學(xué)歷、媽媽學(xué)歷為自變量，以學(xué)生第3、4、5題平均水平為因變量，進(jìn)行方差分析．結(jié)果表明，Welch爸爸學(xué)歷(4, 72.310)=6.532，P<0.001，表明爸爸的不同學(xué)歷之間有著顯著性差異．進(jìn)一步的多重比較表明，小學(xué)、初中與大學(xué)、研究生之間有著顯著性差異，其它之間差異不顯著．Welch媽媽學(xué)歷(4, 76.147)=6.562，P<0.001，表明媽媽的不同學(xué)歷之間有著顯著性差異．進(jìn)一步的多重比較表明，初中與大學(xué)、研究生之間有著顯著性差異，其它之間差異不顯著．

考察父母不同職業(yè)學(xué)生可能性比較水平的差異，進(jìn)行方差分析，

表示通過方差齊性檢驗(yàn)．方差分析表明：F爸爸職業(yè)=1.696，Sig=0.139；F媽媽職業(yè)=1.794，Sig=0.133，表明父母的不同職業(yè)學(xué)生的可能性比較水平無顯著差異．

考察不同性別學(xué)生可能性比較水平的差異，進(jìn)行方差分析，Levene性別(1, 211)=3.296，P=0.071，表示通過方差齊性檢驗(yàn)．方差分析表明：F性別=1.926，Sig=0.167，表明不同性別學(xué)生的可能性比較水平無顯著差異．

綜上分析表明：學(xué)生關(guān)于可能性的比較水平存在學(xué)校類型的顯著差異，城市地區(qū)的學(xué)生其可能性比較水平高于城鄉(xiāng)結(jié)合地區(qū)和農(nóng)村地區(qū)的學(xué)生；從學(xué)歷角度，低學(xué)歷家庭背景（小學(xué)、初中）與高學(xué)歷家庭背景（大學(xué)、研究生）之間存在顯著性差異；父母職業(yè)背景之間的差異不顯著；學(xué)生性別之間的差異不顯著．

4 討 論

4.1 11—14歲學(xué)生可能性比較認(rèn)知水平的發(fā)展趨勢(shì)和特點(diǎn)

研究根據(jù)被試解決可能性大小比較的問題時(shí)是否基于樣本空間、基于什么樣的樣本空間，區(qū)分出被試可能性比較的4個(gè)水平，并以此為依據(jù)考察11—14歲學(xué)生可能性比較水平的發(fā)展趨勢(shì)和特點(diǎn)．

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在11—12歲階段關(guān)于可能性認(rèn)知，處于緩慢發(fā)展階段；12—13歲，處于倒退發(fā)展階段；13—14歲，處于停滯發(fā)展階段；對(duì)于單一樣本可能性的比較，11歲學(xué)生基本能夠達(dá)到較高水平；對(duì)于需要組合知識(shí)解決的可能性大小的比較，學(xué)生的平均水平明顯下降，說明學(xué)生的組合知識(shí)是可能性比較能力的一個(gè)影響因素．特別地，在“摸出兩個(gè)球”情境下，重復(fù)樣本干擾學(xué)生構(gòu)造樣本空間，學(xué)生傾向于構(gòu)造模糊的樣本空間甚至主觀判斷；較之于同一總體，不同總體條件下“摸出兩個(gè)球”更易構(gòu)造樣本空間．

4.2 11—14歲學(xué)生可能性比較認(rèn)知水平發(fā)展中的個(gè)體差異

學(xué)生的可能性比較水平存在學(xué)校類型的差異，并且城市地區(qū)學(xué)校的學(xué)生總體水平高于城鄉(xiāng)結(jié)合地區(qū)和農(nóng)村地區(qū)的學(xué)生，這反映了教師的素質(zhì)、教學(xué)條件對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要影響．基于此，研究者通過對(duì)中小學(xué)各段教材概率部分的研究，發(fā)現(xiàn)盡管教材中涉及生活中的概率實(shí)例，但這些實(shí)例大部分來自于城市生活，對(duì)于農(nóng)村地區(qū)學(xué)生來說，很難做到聯(lián)系實(shí)際．

父母的學(xué)歷是影響學(xué)生可能性比較水平的影響因素，低學(xué)歷家庭背景（小學(xué)、初中）與高學(xué)歷家庭背景（大學(xué)、研究生）之間存在顯著性差異；父母職業(yè)背景之間的差異不顯著；學(xué)生性別之間的差異不顯著．這說明較優(yōu)越的家庭教育質(zhì)量可能對(duì)學(xué)生隨機(jī)認(rèn)識(shí)、概率思維的發(fā)展有一定的促進(jìn)作用．

4.3 學(xué)生在可能性比較過程中的典型錯(cuò)誤認(rèn)知

首先，缺乏對(duì)可能性大小的客觀存在性的認(rèn)識(shí)，采取主觀判斷的方式解決可能性大小的問題．如表4呈現(xiàn)的第4、5兩題有近半數(shù)學(xué)生采取了主觀判斷．其中以下3類情況最常見：第一，一些學(xué)生認(rèn)為“概率不能被預(yù)言”[5~7]，答題時(shí)選擇“不知道”，給出的解釋是“因?yàn)闆]摸之前，誰也不知道結(jié)果”，認(rèn)為只有事件發(fā)生才能知道．第二，一些學(xué)生持“等可能偏見”[5~7]，答題時(shí)選“可能性一樣大”，他們的解釋是“每種結(jié)果都可能出現(xiàn)”，甚至有的學(xué)生明確指出“每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是50%”．第三，對(duì)于第4題，相當(dāng)一部分學(xué)生選擇“可能性一樣大”，而他們的解釋是“黑球和白球一樣多”．同理，第5題，相當(dāng)一部分學(xué)生選擇“黑白可能性大”，而他們的解釋是“黑球比白球多”．諸如此類，學(xué)生試圖從球的數(shù)量上解決“摸兩個(gè)球”情境下的概率問題，這說明這部分學(xué)生還不能構(gòu)造樣本，不能基于樣本空間比較事件可能性的大小．

其次，重復(fù)樣本條件下傾向于構(gòu)造模糊的樣本空間．如表4呈現(xiàn)的第4、5兩題有相當(dāng)一部分學(xué)生只能基于模糊的樣本空間判斷可能性大?。热绲?題，學(xué)生給出的列舉結(jié)果是“黑球、黑球，白球、白球，黑球、白球”或“黑球、黑球，白球、白球，黑球、白球，白球、黑球”．這不僅說明組合知識(shí)是可能性比較能力的一個(gè)影響因素，也表明在重復(fù)樣本情境下，學(xué)生的組合知識(shí)存在困擾．

4.4 對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材編制及課堂教學(xué)的建議

（1）對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的建議．

如果以 20%左右的兒童能夠掌握，作為萌芽標(biāo)準(zhǔn)；以50%左右的兒童能夠掌握，作為開始理解標(biāo)準(zhǔn)；以80%左右的兒童能夠掌握，作為掌握的標(biāo)準(zhǔn)[8]．那么，對(duì)于單一樣本情境下的可能性比較，11歲的學(xué)生已經(jīng)達(dá)到完全掌握的水平；對(duì)于需要組合知識(shí)解決的可能性比較水平的問題，學(xué)生難于擺脫重復(fù)樣本的干擾，各年級(jí)均未達(dá)到理解的水平（見表 4）．因而，限于組合知識(shí)的不完備，不可以對(duì)學(xué)生概率的定量化有過高要求．基于此，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)其實(shí)驗(yàn)稿所做的修訂，是基本合理的．

（2）組合知識(shí)先于概率量化階段的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“樣本”概念的理解．

學(xué)生的組合知識(shí)是影響可能性大小比較的重要因素，這已經(jīng)得到了眾多研究的支撐[2，9]．Piaget還認(rèn)為，兩個(gè)條件對(duì)概率概念的發(fā)展很重要：一是構(gòu)建排列組合運(yùn)算的能力，二是建立個(gè)體案例與總體分布（本質(zhì)上是樣本空間）的關(guān)系的能力[2]．研究進(jìn)一步表明：重復(fù)樣本干擾學(xué)生組合，從而干擾學(xué)生構(gòu)造精確的樣本空間．新課程標(biāo)準(zhǔn)提出用實(shí)驗(yàn)、模擬、構(gòu)造樣本空間等方法計(jì)算簡(jiǎn)單等可能事件的可能性大?。ǜ怕剩?，基于精確的樣本空間判斷可能性和可能性大小也就成為學(xué)生掌握概率知識(shí)的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)．基于此，組合知識(shí)一定程度上可視為學(xué)生可能性比較的“預(yù)備知識(shí)”，應(yīng)先于概率知識(shí)的學(xué)習(xí)．

其次，在“概率”概念的教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“樣本”概念的理解尤為重要[10~11]．一方面，“樣本”描述的是從所研究的對(duì)象的全體（即總體）中抽取的部分個(gè)體，而一個(gè)事件的所有樣本即構(gòu)成“樣本空間”．許多學(xué)生之所以不能構(gòu)造精確的樣本空間，是因?yàn)閷?duì)“樣本”概念的理解偏差，比如第3題第2問：“摸出的球有幾種可能的情況”，有學(xué)生回答“綠球、白球、黑球”，學(xué)生不明白該題的每一個(gè)樣本（情況）包含兩個(gè)球．另外，研究者還發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生不能構(gòu)造樣本，對(duì)可能性大小進(jìn)行比較時(shí)完全憑主觀判斷，比如第 4題的第3問，部分學(xué)生認(rèn)為“可能性一樣大”，給出的理由是“因?yàn)楹谇蚝桶浊蛞粯佣唷保硪环矫?，“樣本”?duì)了解總體有重要意義，即具有抽樣意義，可以通過樣本檢驗(yàn)或了解總體．可見，在“概率”概念的教學(xué)中，加強(qiáng)“樣本”概念的教學(xué)十分重要而且必要的．

（3）針對(duì)性地消除學(xué)生已有錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，建立正確的概率直覺．

各年級(jí)學(xué)生在不同程度上對(duì)概率的認(rèn)識(shí)受到錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)的影響．比如，一些學(xué)生選擇“無法比較這兩個(gè)可能性的大小”，認(rèn)為“機(jī)會(huì)不能被預(yù)言和量化，機(jī)會(huì)或可能性和運(yùn)氣沒什么差別，這種現(xiàn)象根本沒有什么規(guī)律可循，想要度量或者預(yù)測(cè)機(jī)會(huì)或可能性是完全不可能的、毫無意義的”．還有一些學(xué)生存在“等可能偏見”，認(rèn)為“隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果都有50%的機(jī)會(huì)發(fā)生”或“每一個(gè)事件的可能性都是相同的”，這些學(xué)生雖然對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的“等可能性”有一定認(rèn)識(shí)，但認(rèn)識(shí)是模糊不清的，往往把“等可能性”泛化，而不注意“可能結(jié)果”的劃分依據(jù)的不同．逐步消除錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，建立正確的概率直覺是概率教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)．誠然，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須讓學(xué)生親自經(jīng)歷對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的探索過程，應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的親身體驗(yàn)[12]．然而，不應(yīng)該夸大實(shí)驗(yàn)（或游戲）的價(jià)值，盡量規(guī)避不必要的實(shí)驗(yàn)（或游戲）．比如，研究者在訪談部分持“等可能偏見”觀點(diǎn)的學(xué)生時(shí)，試圖糾正他們的錯(cuò)誤觀念，組織了一次實(shí)驗(yàn)：在一個(gè)不透明的盒子里放有3顆白球、兩顆黑球，從中摸出一個(gè)球，摸出那種顏色球的可能性大？學(xué)生有放回地摸10次并記錄結(jié)果，統(tǒng)計(jì)顯示5次摸出的是白球，5次摸出的是黑球．學(xué)生不僅沒能更正錯(cuò)誤觀念，反而加深了其“等可能偏見”的頑固性．要在“思想實(shí)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進(jìn)行必要的實(shí)驗(yàn)．并且，應(yīng)該明確實(shí)驗(yàn)（或游戲）的真正目的——不是通過實(shí)驗(yàn)（或游戲）來驗(yàn)證概率的大小，而是讓學(xué)生親歷實(shí)驗(yàn)，從中獲得數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)體驗(yàn)，從而修正自己的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)隨機(jī)性及隨機(jī)思想，建立正確的概率直覺．

[1] 教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2011．

[2] Piaget J, Inhelder B. The Origin of the Idea of Chance in Children [M]. New York: Norton, 1975.

[3] Green D. Probability Concepts in 11-16 Year Old Pupils 2nd Edition [M]. Centre for Advancement of Mathematical Education in Technology, University of Technology, Loughborough, 1982.

[4] 李文玲，張厚粲．教育與心理定量研究方法與統(tǒng)計(jì)分析[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2008．

[5] 李俊．中小學(xué)概率的教與學(xué)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2003．

[6] 李?。P(guān)于“可能性大小無法比較”的一項(xiàng)調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2003，（6）：28-32．

[7] 李俊．學(xué)習(xí)概率中認(rèn)知的發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）：1-5．

[8] 沈家鮮，劉范．5—17歲兒童和青少年容積概念發(fā)展的研究[J]．心理學(xué)報(bào)，1984，（2）：155-164．

[9] Fischbein E. Schemata and Intuition in Combinatorical Reasoning [M]. Educational Studies in Mathematics, 1997.

[10] 王秀軍．中學(xué)生對(duì)樣本概念理解的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（2）：71-72．

[11] 王秀軍．對(duì)中學(xué)生自發(fā)抽樣知識(shí)的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（3）：67-69．

[12] 章飛．義務(wù)教育階段概率有關(guān)知識(shí)的內(nèi)容定位與教材實(shí)施[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（1）：48．