橢圓三體問題中的時(shí)間周期不變流形*

祁 瑞,徐世杰

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

相比限制性二體模型，限制性三體模型因其對空間引力資源的更深入利用，在深空探測軌道設(shè)計(jì)方面表現(xiàn)出巨大的應(yīng)用優(yōu)勢.特別是平面圓型限制性三體問題(PCR3BP，planar circular restricted 3-body problem)共線平動(dòng)點(diǎn)附近周期軌道的不變流形，以其漸近性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)分界特點(diǎn)被廣泛用于平動(dòng)點(diǎn)附近編隊(duì)飛行、低能奔月以及木星多顆衛(wèi)星探測等相關(guān)任務(wù)研究，并取得了一系列有價(jià)值的理論與工程實(shí)踐結(jié)果[1-2].然而，這些研究只適用于自治系統(tǒng)PCR3BP，對于橢圓限制性三體問題(ER3BP，elliptic restricted 3-body problem )，由于不存在合適的參考系使系統(tǒng)擺脫對時(shí)間的顯性依賴，相關(guān)研究難以推廣.

對于不變流形的計(jì)算，傳統(tǒng)的方法是用不變特征向量方向上的一條短線段來代替局部不變流形，對該線段上的點(diǎn)進(jìn)行迭代來確定全局不變流形.然而有三方面的原因會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算出的不變流形位置不精確，時(shí)間跨度很大時(shí)尤其如此.首先，局部不變流形是利用直線段來近似的；其次，點(diǎn)的數(shù)值迭代有舍入誤差；最后，進(jìn)行高次迭代時(shí)，曲線上的點(diǎn)會(huì)漸漸散開.Parker和Chua[3]給出了一個(gè)較好的算法，通過沿不變流形改變點(diǎn)的數(shù)量，使這些點(diǎn)均勻分散在流形上.對于ER3BP中的時(shí)間周期不變流形，由瞬時(shí)不變集出發(fā)采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行計(jì)算是很自然的選擇.然而，Shadden等人[4]對雙漩渦流場的研究結(jié)果表明，該時(shí)間周期系統(tǒng)的不變流形并不與瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)相連接.這說明，不變流形的傳統(tǒng)算法在ER3BP系統(tǒng)中不再適用.

在流體力學(xué)領(lǐng)域，學(xué)者采用拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCS，Lagrangian coherent structures)作為時(shí)變流場中的不變流形來研究動(dòng)力系統(tǒng)的相空間.在較早期的文獻(xiàn)中，LCS的定義比較模糊，給問題分析和算法設(shè)計(jì)造成不便.2001年，Haller[5]提出將LCS定義為有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)(FTLE，finite-time Lyapunov exponent )域中的脊.有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)是經(jīng)典Lyapunov指數(shù)的變形，用于度量系統(tǒng)對初值的敏感依賴性，最早由Lorenz引入研究大氣模型中的混沌現(xiàn)象.近年來，Gawlik[6]，Qi[7]等人將LCS引入天文動(dòng)力學(xué)的研究并取得成功.

本文首先以單擺系統(tǒng)為例闡述了LCS與穩(wěn)定、不穩(wěn)定流形之間的關(guān)系，進(jìn)而將LCS理論應(yīng)用于天體力學(xué)的研究中，以質(zhì)量比為0.1、偏心率為0.2的虛擬系統(tǒng)為例，研究了ER3BP中的時(shí)間周期不變流形，通過數(shù)值方法研究了其運(yùn)動(dòng)分界面本質(zhì)和軌道不變特性.

1 相關(guān)的基礎(chǔ)理論

1.1 橢圓限制性三體問題模型

假設(shè)天體M1和M2圍繞其公共質(zhì)心作橢圓運(yùn)動(dòng)，航天器在M1和M2的引力合力作用下運(yùn)動(dòng)，且航天器質(zhì)量足夠小以至于不會(huì)影響兩個(gè)主天體的橢圓運(yùn)動(dòng).

引入無因次量綱：長度單位DU為M2真近點(diǎn)角f達(dá)90°時(shí)的兩主天體間距；質(zhì)量單位MU為兩主天體質(zhì)量之和；時(shí)間單位TU為兩主天體軌道周期與2π的比(本文中出現(xiàn)的數(shù)量，未經(jīng)特殊聲明，均為無因次量綱.).

建立M1-M2質(zhì)心旋轉(zhuǎn)脈動(dòng)系：原點(diǎn)位于M1和M2質(zhì)心；x軸由M1指向M2；y軸由x軸在軌道平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°確定；z軸垂直于軌道面完成右手系；通過3個(gè)軸同等比例的實(shí)時(shí)伸縮，保持M1和M2質(zhì)心在x軸上靜止.

為了使ER3BP下的航天器運(yùn)動(dòng)方程與CR3BP下的方程形式相似，以f為系統(tǒng)自變量.在上述坐標(biāo)系和無因次量綱下，容易得到航天器運(yùn)動(dòng)微分方程[8]：

(1)

式中：

(2)

1.2 拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)

這里采用Haller的定義，將LCS定義為有限時(shí)間Lyapunov域中的脊線[5].粗略地說，F(xiàn)TLE就是在相流作用下，鄰近的兩點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)的平均最大分離速率，度量了系統(tǒng)對于初值的敏感依賴性.

在開區(qū)域D?Rn上考查動(dòng)力系統(tǒng)：

(3)

在相流映射φ的作用下，t0時(shí)刻的點(diǎn)x在t0+T時(shí)刻到達(dá)φ(t0+T;t0;x).假設(shè)x受到無窮小攝動(dòng)δx(0)，則該攝動(dòng)在t0+T時(shí)刻的變分為：

δx(T)=φ(t0+T;t0;x+δx(0))-φ(t0+T;t0;x)

(4)

只保留線性部分，得到：

(5)

(6)

其中，λmax是矩陣Δ的最大特征值，ξ是相應(yīng)于λmax的特征向量.

此時(shí)，定義有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)為：

(7)

從而，式(6)可改寫為：

(8)

對于整個(gè)定義域D，由式(7)對每一點(diǎn)都賦以一標(biāo)量值，這就得到了FTLE域.由動(dòng)力系統(tǒng)理論可知，不變流形位于不同側(cè)的鄰近兩點(diǎn)會(huì)以指數(shù)速率快速分離，即不變流形對應(yīng)于較大的FTLE.為此，將LCS定義為FTLE域中的脊線.分析可知，對于T>0，LCS蘊(yùn)含穩(wěn)定流形；對于T<0，LCS蘊(yùn)含不穩(wěn)定流形.

2 單擺相空間中的LCS

為了驗(yàn)證上述分析，考查單擺系統(tǒng)：

(9)

在經(jīng)典的動(dòng)力系統(tǒng)理論中，已經(jīng)得到了系統(tǒng)(9)的相圖(見圖1(a)).(±π,0)是兩個(gè)鞍點(diǎn)；(0,0)是中心.軌道a和b是連接兩個(gè)鞍點(diǎn)的異宿軌道；軌道c是環(huán)繞中心的周期解；軌道d是旋轉(zhuǎn)解.顯然，異宿軌道是單擺相空間中的運(yùn)動(dòng)分界面，將所有軌道劃分為周期解和旋轉(zhuǎn)解.

圖1 單擺系統(tǒng)的相空間及其FTLE域(T=10)

在考查的定義域內(nèi)取格點(diǎn)劃分為300×300，T=10.對每一格點(diǎn)計(jì)算Lyapunov指數(shù)，并在圖1(b)中以等高圖繪出FTLE域.在圖中可以清晰地看出脊線結(jié)構(gòu)，即LCS，它們是趨近于兩個(gè)鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形.類似地，當(dāng)取T=-10，我們可以得到不穩(wěn)定流形.

3 時(shí)間周期不變流形的性質(zhì)

在PCR3BP模型下，Koon等人[2]的研究表明，共線平動(dòng)點(diǎn)附近的不變流形管作為軌道的不變集，是穿越軌道與非穿越軌道的分界面.本節(jié)將通過數(shù)值方法驗(yàn)證，ER3BP模型下的時(shí)間周期不變流形依然具有上述性質(zhì).

下面的數(shù)值仿真研究基于系統(tǒng)參數(shù)μ=0.1和e=0.2.

3.1 時(shí)間周期不變流形是運(yùn)動(dòng)分界面

圖2 U1截面處的FTLE域(T=2,f=π/2)

從上圖中可以清楚地看到一條封閉脊線，即LCS，這是時(shí)間周期不變流形在U1截面上的截交線.如圖所示，在該截線附近隨機(jī)布置試驗(yàn)點(diǎn)陣.其中，位于不變流形截線外部的點(diǎn)以實(shí)心圓點(diǎn)表示，以其為初狀態(tài)的軌道示于圖3(a)；位于不變流形截線內(nèi)部的點(diǎn)以五角星符號表示，相應(yīng)的軌道示于圖3(b).

從圖3(a)和圖3(b)中易見，由不變流形截線外部出發(fā)的軌道在M1-M2系L1點(diǎn)區(qū)域附近折返回M1，而由截線內(nèi)部出發(fā)的軌道穿越了L1平動(dòng)點(diǎn)區(qū)域，達(dá)到了M2附近.這說明，時(shí)間周期不變流形依然是穿越軌道與非穿越軌道的分界面.

3.2 時(shí)間周期不變流形是軌道不變集

在使用流形生長法對PCR3BP中的不變流形(以穩(wěn)定流形為例)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，由Lyapunov軌道上沿穩(wěn)定流形方向的微小偏移點(diǎn)出發(fā)，反向積分得到一條位于穩(wěn)定流形上的軌道.實(shí)際上，這種處理本身已經(jīng)蘊(yùn)含了不變流形是軌道不變集的結(jié)論.

對于時(shí)間周期不變流形，由于難以直觀地表達(dá)其整體形狀，為了證明類似的結(jié)論，本文將采用一系列Poincare截面進(jìn)行采樣.

圖3 非穿越軌道和穿越軌道

該典型軌道進(jìn)入M1-M2系平動(dòng)點(diǎn)區(qū)域，并表現(xiàn)出漸近收斂于準(zhǔn)周期軌道的趨勢.考察該軌道與截面x=0.3、x=0.4和x=0.5的截交，以截交點(diǎn)處的軌道能量確定出相應(yīng)的Poincare截面：

(10)

(11)

(12)

在對應(yīng)的真近點(diǎn)角下，各截面上的FTLE域等高圖及該軌道在各截面的截交點(diǎn)繪于圖5(a)～(c)中.

由圖5(a)～(c)可以看到，在各截面上，軌道的交點(diǎn)恰好處于相應(yīng)的LCS上.這反映出，該條軌道恰好落在時(shí)間周期不變流形上，從而表明時(shí)間周期不變流形是軌道的不變集.

圖4 U1截面處的FTLE域(T=2,f=π/2)以及一條典型軌道

圖5 U2、U3和U4截面處的FTLE域

4 結(jié) 論

本文對于橢圓三體模型中的時(shí)間周期不變流形得到了如下結(jié)論：

(1)時(shí)間周期不變流形是穿越軌道與非穿越軌道的分界面；

(2)時(shí)間周期不變流形是軌道不變集；

本文中利用LCS研究時(shí)間周期不變流形的方法可以推廣到對時(shí)間任意依賴的動(dòng)力系統(tǒng)中.

參 考 文 獻(xiàn)

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[3]Parker T S, Chua L O. Practical numerical algorithms for chaotic systems[M]. New York: Springer-Verleg, 1989

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