基于Tersoff-Brenner勢的航天器群圖形編隊研究*

曾志峰，湯一華，陳士櫓，徐 敏

(1.西北工業(yè)大學航天學院,西安710072; 2.航天飛行動力學技術重點實驗室,西安710072)

隨著MEMS(微機電系統)技術的發(fā)展[1], 人們把更多目光投向了微小型航天器.通過近年迅猛發(fā)展，微小型航天器已然成為大型航天器的一個有力補充.相對大型航天器，微小型航天器雖結構簡單、功能較單一，但其集群可在一定群控制律下虛擬成一大型航天器，從而實現甚至超越大型航天器的功用，其優(yōu)點可以歸結為以下幾點：1)結構簡單，2)魯棒性高，3)任務適應性、拓展性強，4)經濟.

一般地，航天器群任務可分為以下兩種，即圖形編隊任務和協同任務.前者主要通過相應群控技術將群編成靜態(tài)或動態(tài)(相對于軌道坐標系)目標構型，群體有序性體現在幾何構型的層次；而后者，群體有序性體現在任務實施的層次，諸如協同搜救和協同攻擊等任務，其幾何構型不固定隨時可能發(fā)生變化.基于圖形編隊的基礎、重要性，本文著重于此展開研究.在此領域，Izzo基于人工勢場法(APF, artificial potential field)開發(fā)了一名為速度平衡塑形技術(equilibrium shaping approach)的方法[2].此法能使群體成員僅在局部感知信息下自組織地編成目標空間構型，但由于此法利用幾何對稱性來消減方程數量求解人工勢場參數，故而只能編制特定幾何對稱性的構型.文獻[3]中，Derek采用分叉理論[4]設計全局勢場，仿真結果顯示，采用音叉式分叉場(pitchfork bifurcation)，群體成員可自發(fā)編成單圓、雙圓及圓面均布構型，且通過更改幾個分叉場參數，便可在構型間切換.與上兩方法中采用簡單成對指數函數構建局部勢場用以避免成員相撞不同，Pinciroli等人[5]利用著名分子間相互作用力經驗模型倫納德-瓊斯勢[6](LJP, Lennard-Jones potential)構造局部勢場，使成員在避撞同時編制成正六邊形局部構型(帶中心)，構型中相鄰成員間距幾乎一直(值為預先設定)，美中不足的是整個構型的外圍形狀不能精確地表現，成員較少的情況下尤是.對于以上方法，中國也進行了相關的研究，但從可以獲得的文獻看，大多集中在機器人編隊領域，而航天領域尚處在技術移植階段，相關文獻較少.姚紅、湯亞鋒把常規(guī)的人工勢場法擴展應用于航天器編隊的協同控制[7]，指出基于人工勢場法的協同控制算法計算量較小,適于多智能體的實時協同控制；分叉勢場法和倫納德-瓊斯勢法則尚未發(fā)現相關文獻.

通過分析可知，以上各個方法均有各自的優(yōu)缺點和適用范圍，從本質上講均屬于人工勢場法范疇，不同之處在于所用勢場的類型、腳本、穩(wěn)定收斂的方法以及目標構型的特點.相比之下，本文尤其關注Pinciroli C文獻[5]，從中能夠看到從分子動力學模擬角度進行群控研究的可能.與Pinciroli C文獻不同，鑒于碳氫分子，尤其是碳元素同素異形體(諸如石墨、金剛石、石墨烯、碳納米管及其它富勒烯)結構的優(yōu)良特性(作者認為其定將在未來航天群任務中有著廣闊的應用前景)，以及考慮到Tersoff-Brenner經驗勢模型在以上結構分子動力學模擬中的成功應用，首先將以該勢模型為基礎，開發(fā)出一種新穎的圖形編隊方法，其次通過實例仿真，驗證該法在航天器群任務中的可行性，最后對該法進行總結并對其發(fā)展做一些前瞻性探究.

1 方法介紹

與文獻[5]方法類似，編隊過程中，成員期望控制加速度矢量u也由三部分構成，即u=g+l+d，其中g為匯聚勢場加速度矢量，l為局部勢場加速度矢量，d為耗散加速度矢量(為敘述方便，文中g、l等亦指相應人工勢場).航天任務中，為減少能耗，可利用萬有引力來匯聚成員，與文獻[2]類似，將g分成兩部分：遠端匯聚場gfar及近端匯聚場gnear.gfar基于C-W方程[8]改造而來，自編隊過程開始絕大部分時間內成員受此勢場驅動，向目標構型中心匯聚；不過由于gfar臨近構型中心時，會因系數陣奇異導致失效，此時成員將在近端匯聚場gnear導引下進一步向構型中心匯聚.除匯聚場g外，局部塑形場l基于Tersoff-Brenner勢構建，耗散項d采用文獻[5]形式.

在介紹以上各項具體形式前，先簡介本文方法運行腳本.以目標構型中心為匯聚中心，可將其周邊區(qū)域粗分為兩大部分：遠程段和近程段.遠程段占編隊空域絕大部分，其間成員以極小能耗自初始位置匯聚到目標構型周邊，期間避免碰撞，藉此目的，此段勢場由gfar及l(fā)構成.相應地，近程段目的在于進一步匯聚成員、避碰、編制目標構型并確保過程穩(wěn)定收斂，故而此段勢場由gnear和l組成，成員兼受耗散項d作用，并在三者共同作用下，最終自發(fā)完成圖形編隊任務.

以下介紹各人工勢場及耗散項構造，假定成員均知道參考坐標系o-xyz下各自位置矢量r和速度矢量v.

1.1 全局匯聚勢場

1)遠端匯聚場gfar：設置與文獻[2]類似，與之不同的是，本文建立的是力勢場，不是文獻[2]中的速度勢場，故而文中gfar值實為基于C-W方程推導所得期望速度融合控制律所得出的控制加速度值，簡要推導整理如下：

(1)

gfar=(kI+B-1A)vg

(2)

式中：k為一正實數，仿真中適當選定；ain為航天器成員由慣性力在參考坐標系中產生的加速度矢量；I為3×3單位矢量；系數矩陣A，B-1的具體形式參見文獻[9].

2)近端匯聚場gnear：鑒于矩陣B-1在臨近目標點時會出現奇異，為繼續(xù)匯聚成員，將利用Morse勢[10]構造近端匯聚場gnear以替代gfar.先介紹起純匯聚作用的基本勢場gfree，假定匯聚目標點為r0=[x0y0z0](一般為參考系o-xyz原點)，則當前位置r的成員所受該勢場引起的加速度為

gfree=αf(r0-r)e-(r0-r)2/kf

(3)

式中：αf為增益參數；kf為作用范圍參數.當對構型朝向相位有要求時，可在gfree基礎上附加或直接替換為駐留勢場gdock.通過駐留個別成員來達到朝向相位要求.gdock形式與gfree相同，r0為所選駐留點位置，增益和作用范圍參數分別為αd、kd.

1.2 局部塑形場

本文采用Tersoff-Brenner經驗勢[11]構建的局部塑形勢場，避撞的同時使臨近成員編成局布構型.Tersoff-Brenner勢是一種半經驗多體勢模型，廣泛用于碳氫分子的分子動力學模擬，模擬碳碳原子間、碳氫原子間化學鍵作用.雖因高精度較同類型勢場模型復雜，但因模型中函數均屬短程函數，結果能迅速算出，故而在碳碳及碳氫系統的計算機模擬中發(fā)揮著舉足輕重的作用.以下介紹Tersoff-Brenner勢的具體形式.

系統中i原子的總勢矢量Ei可以表示為：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：

(9)

(10)

Gi(θijk)為原子i-j和i-k化學鍵鍵角函數.

通過對Ei求ri的偏導數就可以得到i原子所受其他原子的作用合力Fi，即

(11)

式中：n為原子數目.由于篇幅有限，偏導數具體形式請參見文獻[12].為將Tersoff-Brermer勢成功移植到航天器群任務中，將進行以下兩個處理： 其一，為計算簡便，常把系統的單位歸一化，使R(e)等于1，作為對應，航天應用中，航天器間距值為同單位制下實際間距除以期望間距所得商；其二，引入常量μ，用以調配原子鍵間力量級與實際航天器動力量級之間的差別，如此之后，對于群體中的第i個成員，局部塑形勢場引起的加速度矢量li可表達為：

li=μ(Fi/ms)

(12)

式中：ms為碳原子質量.方程(5)～(12)中其他參數參見文獻[11].

1.3 耗散項

以上匯聚勢場g和局部勢場l本質上屬保守勢場，需引入耗散項耗散虛擬能量以確保編隊收斂，這里耗散項d采用文獻[5]形式，具體表達式如下：

d=-ξv

(13)

式中：ξ為耗散系數.

2 仿 真

為驗證方法的有效性，作為先期研究，本文以金剛石結構單元帶心正四面體為航天器群圖形編隊任務的目標構型，如圖1限定朝向和相位.鑒于地球同步軌道(GEO)的巨大應用價值，本文將其作為參考軌道，當然本文方法也同樣適用于其他行星中心開普勒軌道.

首先，在GEO上建立參考坐標系o-xyz(即軌道坐標系，見圖1)，其中原點o為目標構型中心點，x軸為地心原點連線，背離地心方向；z軸與GEO軌道角動量方向保持一致，y軸與x、z軸相互垂直，三者滿足右手定則.

其次，依照方法介紹部分介紹，通過設置以目標構型中心點為球心的外、中、內三個球面(見圖1，其中router?rmiddle>rinner)，將目標構型中心點周邊空域由外到內進一步分為以下三個區(qū)域：

(1)借力匯聚層

范圍從各航天器成員初始化(o-xyz下零初速)的外球面到gfar勢場內邊界.域內gfar為主要勢場函數，航天器主要借助萬有引力飛行.需要說明的是，gfar勢場的內界包含兩個：其一為中球面，用以標定gfar的空間最大延伸范圍；其二為時間邊界tnatural，用以標定gfar的最長作用時間.

圖1 仿真示意圖(黑點代表目標構型，右上角視圖為目標構型在xy面上投影，D、O、A分別為所選朝向與相位駐留點.)

(2)自力匯聚層

范圍由gfar勢場的內邊界到內球面，gnear代替gfar繼續(xù)匯聚成員，航天器軌跡不再是萬有引力下的自然飛行軌道.

(3)塑形球域

即內球域，目標是在gnear匯聚控向基礎上，通過局部塑形勢場l使成員自動編制構型，并通過耗散項d確保編隊過程穩(wěn)定收斂.當目標構型有朝向相位要求時，可依構型特點啟用gdock.

編隊過程中以上三球層域全程施加局部塑形勢場l避撞，耗散項d僅后兩層域施加，保證快速性.

再其次，本文假定在參考系o-xyz下，各成員除知道自身位置及速度外，還可通過在軌測量或是局部通信等手段獲知自身感知球(球徑rsensor)內其它成員的位置.發(fā)動機采用連續(xù)小推力式，加速度大小限幅umax.

最后設定仿真參數開始仿真，表1列出了仿真中所用參數，Tersoff-Brenner 模塊參數參見文獻[11]中表1.為方便及減少數值誤差，仿真中各參量采用無量綱形式.其中航天動力學模塊無量綱化因子分別為：地球質量、赤道半徑、自轉角速度；Tersoff-Brenner模塊則為：碳原子質量、碳原子間平衡距離及勢阱深度.

表1 仿真中所用參數

如上分析設置后，詳細仿真結果及分析如下：

(e)yz平面視

如圖2～4所示，仿真開始后不到20000s，航天器群便穩(wěn)定收斂形成目標構型，中心成員位于參考系原點，朝向相位均滿足要求，編隊過程無成員碰撞.其中圖2(a)主要顯示航天器群在借力匯聚層的運行情形，此階段匯聚勢場為改造自C-W方程的gfar，航天器絕大部分時間在萬有引力作用下“滑翔”運行，軌跡自然順滑；圖2(b)顯示的是航天器群接近目標構型時(自力匯聚層及塑形球域)的匯聚塑形情形，該圖顯示在勢場gnear、l及耗散項d共同作用下，成員能自組織地形成期望構型，軌跡較借力匯聚層軌跡更彎折；圖2(c)～(e)依次描繪了成員終態(tài)構型在xy、xz及yz面上的投影.圖3為成員速度視圖，從零初速開始，在最初的約莫20s內，航天器速度在gfar作用下急劇升至“自然滑翔”軌道速度，此后成員循“滑翔”軌道滑向目標構型中心，直至約莫16880s左右gfar由gnear替代，經過一小段較大幅振蕩后，在gnear、l及d聯合作用下，各航天器逐步減速并近乎靜止于各目標點附近，仿真結束時刻速度量級為10-5m/s.圖4為各成員控制加速度圖，由(a)、(b)兩圖可看出，整個編隊過程中，能耗最大的地方主要有兩處：其一就是編隊開始的前約20s，發(fā)動機滿偏，使成員迅速“爬”上“滑翔”軌道，其二就是在約16880s后，對應自力匯聚層和塑形球域，此時段航天器需克服萬有引力，在gnear、l及d聯合作用下使成員穩(wěn)定收斂形成期望構型.整個編隊仿真中，航天器最大速度小于0.46m/s，加速度均未超出發(fā)動機最大允許值，平均相對到位誤差3.9932×10-4，即在本文仿真目標構型棱長為10m的情況下，各成員的平均到位誤差僅不到4mm.

(a)前200s

(b)仿真全程

(a)前200s

(b)仿真全程

需要說明的是，仿真中所用參數，尤其是勢場參數的設置很關鍵，主要應滿足兩方面要求：其一為合理性要求，目的在于消除勢場法固有的假平衡現象，其二為性能要求，目的為以最短時間最小能耗完成任務.因本文著重驗證方法的可行性，為簡便起見，仿真所用參數僅調整至合理值，故爾從圖4b中依然可看出 后段依然有小的振蕩(最大值為5.39×10-4m/s2).

由上可看出，本法能在避碰前提下自動導引航天器編成預定構型，且導引過程中各航天器僅需制導自身的位置速度，以及感應區(qū)內其它航天器的位置信息.值得說明的是，本方法同樣適用于其它行星中心開普勒軌道的圖形編隊任務，僅需依照新的C-W方程推導出gfar置換即可.另外，方法中的目標構型除了金剛石結構單元體心正四面體之外，還可為其它基本構型和基于基本構型的組裝構型.限于篇幅，僅以如下石墨結構單元正六邊形為例說明.

圖5 正六邊形構型仿真近程3D圖(五角星：航天器到達gfar勢場內邊界時位置；圓：航天器最終穩(wěn)定位置；星形：航天器目標構型位置；實線：航天器運行軌跡)

3 結束語

本文提出了一種基于Tersoff-Brenner勢的自組織圖形編隊方法，適用于行星中心開普勒軌道上的航天器群圖形編隊任務.通過GEO上的該型任務仿真顯示，航天器能在有限感知信息條件下，消耗少量的計算資源，自發(fā)地形成目標構型，且編隊過程無碰撞.顯然，此法亦可方便地移植到其它平臺群任務中，諸如機器人、無人機、無人水下潛行器等.

驗證完方法可行性，接下來的工作，一方面將重心放在大型擬碳氫分子空間結構的模擬上，如金剛石、石墨烯、碳納米管、足球烯等空間結構，相信這些結構在空間任務中將發(fā)揮奇特功用；另一方面，結合分子動力學模擬最新技術成果，研究開發(fā)出基于其他勢場模型的類分子結構的群控技術.通過以上努力擬將群控技術和分子動力學模擬技術二者結合起來，以期達到“分子構型打印機”的效果，為群控技術的發(fā)展提供一個全新的思路，即針對群任務，只需選取適合任務實現的分子構型，再基于分子構型的模擬勢場，便可群控編隊，完成任務.

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