一類重調(diào)和方程邊值問題解的奇點可去性

劉 淼， 魏公明

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

一類重調(diào)和方程邊值問題解的奇點可去性

劉 淼， 魏公明

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

給出了一類重調(diào)和方程邊值問題解的表示式，研究了其解的奇點可去性，利用判斷反常積分收斂性的方法對解的表示式作了斂散性分析，給出了該類方程在限定條件下的具體表達(dá)式，研究了相應(yīng)的解的積分表達(dá)式.將函數(shù)項冪次的取值范圍在實數(shù)域上分為3段，分別討論了每種情形下相應(yīng)積分式的斂散性，得出了其在不同參數(shù)范圍下解的奇點可去性.

重調(diào)和方程；反常積分?jǐn)可⑿?；邊值問題；奇點可去性

1 問題的提出

近年來有許多學(xué)者致力于重調(diào)和方程的研究［1-2］，對于這類問題，重調(diào)和方程解的奇點可去性研究是至關(guān)重要的內(nèi)容.1997年，Soranzo［3］研究了一類超線性雙重調(diào)和方程

正解的孤立奇點，圍繞雙重調(diào)和方程奇異解的局部行為，給出了奇點及其存在性的完整描述，此外還建立了方程的徑向?qū)ΨQ解的一個先驗估計.

2009年，Hsu［4］研究了重調(diào)和方程可去奇點，證明了多重調(diào)和方程上的一個解u在x0有一個可去奇點的充要條件.

2010年，Ghergu等［5］研究了多重調(diào)和不等式-Δmu≥0在B1（0）-｛0｝?Rn上的非負(fù)古典解u，給出在整數(shù)n≥2，m≥1情形下，解u滿足一個點點先驗界（當(dāng)x→0時）的充分必要條件，該情形下，當(dāng)x→0，u的最佳估計為u（x）=O（Γ（x））.其中，Γ是-Δ在Rn中的基本解.

近幾年來在偏微分方程這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對解的奇點可去性的研究引起普遍重視.本文在借鑒以上研究成果的同時，參閱了相關(guān)文獻(xiàn)［6-8］，利用判斷反常積分收斂性的方法對雙調(diào)和方程邊值問題

進行解的奇點可去性分析.

2 預(yù)備知識

式中，Ω?Rn為有界光滑區(qū)域；f是在適當(dāng)函數(shù)空間內(nèi)的已知函數(shù)；u表示未知的解.

假設(shè)f屬于適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間，在表達(dá)式有意義及問題（1）有解的情況下，可以在形式上將問題（1）的解u寫成用格林函數(shù)表示的公式

顯然，格林函數(shù)G（x，y）的具體表達(dá)式不容易給出，但是，若積分區(qū)域在n維單位球上，即Ω=B?Rn，在有界光滑區(qū)域上，問題（1）存在格林函數(shù)從而解u的表達(dá)式可寫為

現(xiàn)介紹Ω為n維單位球時，狄利克雷問題（1）的格林函數(shù)表達(dá)式.

在此之前，先介紹一些記號.

a.假設(shè)f，g≥0為定義在同一集合D上的兩個函數(shù).

記f?g，若對任意的x∈D，都存在c＞0，使得f（x）≤cg（x）.

給定多重調(diào)和方程邊值問題

3 主要結(jié)果

4 結(jié)論及推廣

［1］ Gazzola F，GrunauHC，SweersG.Polyharmonic Boundary Value Problems［M］.Heidelberg：Springer，2010.

［2］ Lu Guozhen，Wang Peiyong，Zhu Jiuyi.Liouvi l le-type theorems and decay estimates for solutions to higher order el l iptic equations［J］.Ann I H Poincaré-AN，2012，29（5）：653-665.

［3］ Soranzo R.Isolated singularities of positive solutions of a superl inear biharmonic equation［J］.Potential Analysis，1997，6（1）：57-85.

［4］ Hsu S Y.Removable singularity of the polyharmonic equation［J］.Nonl inear Analysis，2010，72（2）：624 -627.

［5］ Ghergu M，MoradifamA，Tal iaferroSD.Isolated singularities of polyharmonic inequal ities［J］.Journal of Functional Analysis，2011，261（3）：660-680.

［6］ Mamedov F I，HarmanaA.On the removabi l ityof isolated singular points for degeneratingnonl inear el l iptic equations［J］.Nonl inear Analysis，2009，71（12）：6290-6298.

［7］ 褚后利，魏公明.一類超線性Dirichlet問題無窮多個徑向?qū)ΨQ解的存在性［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2013，35（2）：121-125.

［8］ 張仕玉，魏公明.一類半線性橢圓型方程解的可去奇點問題［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2013，35（1）：37-40.

（編輯：石 瑛）

Re m ovability of Singularities of Solutions of Polyhar m onic Equations Boundary V alue Proble m

LIU Miao， W EI Gong-ming
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Methods for discriminating convergence and divergence of an improper integral was utilized to analysis the convergence and divergence of the representation formula of solutions of polyharmonic equations boundary value problem，The concrete formula ofthe equation was given in certain restricted conditions，The corresponding integral expressions were studied，F(xiàn)urthermore，the power offunctions was divided into three parts in real number field and the convergence and divergence ofcorresponding integralexpressions were analyzed separately in each section，Based on the above discussion，the study shows that the integral expressions of solutions are convergent if the power is greater than a certain critical value and the singularity is removable，while they are divergentif the power is less than the critical value and the singularity is nonremovable.

polyhar monic equation；convergence and divergence of im proper integral；boundary value problem；singularity removability

O 175.2

A

1007-6735（2013）05-0443-06

2012-12-20

劉 淼（1988-），女，碩士研究生.研究方向：偏微分方程.E-mai l：329165650＠qq.com