摘要

針對(duì)非線性BlackScholes方程，基于quasiShannon小波函數(shù)給出了一種求解非線性偏微分方程的自適應(yīng)多尺度小波精細(xì)積分法.該方法首先利用插值小波理論構(gòu)造了用于逼近連續(xù)函數(shù)的多尺度小波插值算子，利用該算子可以將非線性BlackScholes方程自適應(yīng)離散為非線性常微分方程組；然后將用于求解常微分方程組的精細(xì)積分法和小波變換的動(dòng)態(tài)過(guò)程相結(jié)合，并利用非線性處理技術(shù)（如同倫分析技術(shù)）可有效求解非線性BlackScholes方程.數(shù)值結(jié)果表明了該方法在數(shù)值精度和計(jì)算效率方面的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞非線性BlackScholes方程；插值小波算子；精細(xì)積分法

中圖分類號(hào)O211.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

1引言

期權(quán)又稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性金融工具.就期權(quán)其本身而言，它并不是某一獨(dú)立的證券，但它通常又是由證券衍生而來(lái)，依附于某一證券且以其為標(biāo)的資產(chǎn)，因而常稱衍生證券或金融衍生產(chǎn)品[1].因此，期權(quán)定價(jià)和標(biāo)的資產(chǎn)（股票、有價(jià)證券等）價(jià)格密切相關(guān)，而標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格往往遵循某種隨機(jī)過(guò)程.期權(quán)定價(jià)理論的研究具有一定的挑戰(zhàn)性，是持續(xù)近50年的研究熱點(diǎn).1973年，Black和Scholes在有效市場(chǎng)和股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)等一系列的假設(shè)下，運(yùn)用連續(xù)交易保值策略推導(dǎo)出了著名的BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型，并建立了看漲期權(quán)定價(jià)公式[2].與此同時(shí)，Merton也發(fā)表了類似的期權(quán)定價(jià)公式[3].該成果是金融衍生證券發(fā)展史上的里程碑，為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場(chǎng)的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎(chǔ).該定價(jià)模型和公式的創(chuàng)新之處在于期權(quán)的價(jià)格不依賴于投資人的個(gè)人偏好，把所有投資人引向同一個(gè)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率作為投資回報(bào)率的風(fēng)險(xiǎn)中性世界.但BlackScholes模型設(shè)置了太多的假設(shè)，很多假設(shè)并不符合實(shí)際情況，如無(wú)稅收和交易成本，無(wú)套利機(jī)會(huì)等[4，5].因此，近20年來(lái)非線性BlackScholes模型一直是學(xué)術(shù)界研究的重點(diǎn).在非線性BlackScholes模型中可以將很多實(shí)際因素如交易費(fèi)用[6，7]、無(wú)保護(hù)組合投資風(fēng)險(xiǎn)等影響股票價(jià)格、波動(dòng)率、漂移率和期權(quán)價(jià)格本身的因素考慮進(jìn)去[8-10].一般很難導(dǎo)出非線性BlackScholes方程的精確解析解[11].

已有的數(shù)值求解方法通常先將非線性期權(quán)定價(jià)模型變形為拋物型偏微分方程，然后采用有限差分法進(jìn)行求解[11，12].事實(shí)上，非線性BlackScholes方程變形后得到的拋物型偏微分方程的解具有明顯的激波存在.因此，相對(duì)于其他方法，自適應(yīng)多尺度方法更有利于求解該非線性偏微分方程.文獻(xiàn)[13]給出了一種多尺度插值小波方法，論文給出的數(shù)值結(jié)果體現(xiàn)了這種方法的優(yōu)越性.近年來(lái)，筆者構(gòu)造了多尺度小波插值算子，結(jié)合求解常微分方程組的精細(xì)積分法導(dǎo)出了求解非線性偏微分方程的小波精細(xì)積分法.本文的目的是將小波精細(xì)積分法應(yīng)用于求解非線性BlackScholes方程的求解中.

2非線性BlackScholes方程

2.1模型描述

歐式看漲期權(quán)持有者有權(quán)在在期權(quán)到期日（T）以執(zhí)行價(jià)格K購(gòu)買指定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)S（t），期權(quán)售賣者也有義務(wù)按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格賣出標(biāo)的資產(chǎn).因此，期權(quán)到期后的價(jià)值可表示為：V（S，T）=（S-K）+.相反，看跌期權(quán)則是期權(quán)持有者有權(quán)將標(biāo)的資產(chǎn)按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格賣給期權(quán)售賣者，因此，看跌期權(quán)到期后的價(jià)值可表示為：V（S，T）=（K-S）+.歐式期權(quán)只能在到期日進(jìn)行交易，而美式期權(quán)可以在到期日前的任意一天進(jìn)行交易.這就導(dǎo)致美式期權(quán)和歐式期權(quán)的定價(jià)公式有很大區(qū)別.

BlackScholes模型的提出使得期權(quán)定價(jià)理論獲得突破.線性BlackScholes 模型的解可表示為偏微分方程：

市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在稅收和交易成本；

股票資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)不支付紅利及其他所得（該假設(shè)可以被放棄）；

金融市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；

金融資產(chǎn)的交易可以是連續(xù)進(jìn)行的；

可以運(yùn)用全部的金融資產(chǎn)所得進(jìn)行賣空操作.

在以上假設(shè)條件下，任何資產(chǎn)均可用市場(chǎng)上的其他資產(chǎn)的投資組合進(jìn)行復(fù)制.通過(guò)將線性BlackScholes模型變形為熱傳導(dǎo)方程可以得到期權(quán)價(jià)格的解析解.

顯然，這些嚴(yán)格的假設(shè)并不符合實(shí)際情況.如果考慮交易費(fèi)用，該模型將變?yōu)閺?qiáng)非線性問(wèn)題，如退化對(duì)流擴(kuò)散方程，漂移率和波動(dòng)率同時(shí)和時(shí)間、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S以及期權(quán)價(jià)格V自身相關(guān).本研究將線性BlackScholes模型推廣為考慮交易費(fèi)用的歐式期權(quán)和美式期權(quán)的非線性模型，在這些模型中漂移率為常數(shù)而波動(dòng)率為

如果不支付紅利且波動(dòng)率為常數(shù)，美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價(jià)格相等，因此式（1）不適合用來(lái)描述美式期權(quán)的價(jià)格.式（2）中的波動(dòng)率是的函數(shù)，將需要支付的紅利考慮進(jìn)去，便可得到美式期權(quán)定價(jià)方程

數(shù)值求解結(jié)果如圖2所示.由此可見，自適應(yīng)小波數(shù)值方法可有效捕捉看漲期權(quán)價(jià)格演化過(guò)程中梯度變換加大的位置，在激波處自適應(yīng)增加配點(diǎn)數(shù).由于只是在局部增加配點(diǎn)，既保證了解函數(shù)在出現(xiàn)激波的位置處的逼近精度，也避免了非自適應(yīng)方法全局增加配點(diǎn)所帶來(lái)的計(jì)算量的增加.

此外，為驗(yàn)證該方法在分析期權(quán)定價(jià)方面的有效性，將Leland模型的小波精細(xì)積分法求解結(jié)果和線性BlackScholes方程的精確結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，其誤差如圖3所示.兩種模型得到的期權(quán)價(jià)格差異主要體現(xiàn)在執(zhí)行價(jià)格附近，隨著在執(zhí)行價(jià)格附近交易量的增大，交易費(fèi)用所帶來(lái)的期權(quán)價(jià)格波動(dòng)率的增大也體現(xiàn)出來(lái).其直接結(jié)果是非線性BlackScholes模型計(jì)算得到的期權(quán)價(jià)格在執(zhí)行價(jià)格附近更符合實(shí)際結(jié)果.這也從另外一個(gè)角度驗(yàn)證了本文所給出的方法的有效性.

計(jì)算結(jié)果如圖4所示，該圖只繪制了非線性模型和線性模型得到的計(jì)算結(jié)果的差異由該模型得到的結(jié)果相對(duì)于其他模型和線性模型得到的結(jié)果差值更小一些

3）風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整定價(jià)方法

該模型試圖尋找兩次相鄰交易時(shí)間間隔的最優(yōu)值，使交易費(fèi)和無(wú)保護(hù)組合的風(fēng)險(xiǎn)率降到最低.這種情況下的波動(dòng)率可采用以下形式

計(jì)算結(jié)果如圖5所示，該圖只繪制了非線性模型和線性模型得到的計(jì)算結(jié)果的差異.由該模型得到的結(jié)果和Leland模型相差不大.

4.2計(jì)算精度和效率對(duì)比

4.2.1小波精細(xì)積分法和有限差分法

線性BlackScholes模型具有精確解析解，因此，通過(guò)對(duì)線性模型進(jìn)行求解可以對(duì)比小波精細(xì)積分法和有限差分法的數(shù)值精度和計(jì)算效率.線性BlackScholes模型具有精確解析解可表示為

其中y是分紅率分別用有限差分法和自適應(yīng)小波數(shù)值方法對(duì)線性BlackScholes模型進(jìn)行求解，結(jié)果如圖6所示由圖6可見，盡管兩種方法在執(zhí)行價(jià)格附近的波動(dòng)都較大，但有限差分法在其他點(diǎn)處的誤差明顯較大有限差分法采用空間均勻離散方法，總離散點(diǎn)數(shù)為4 096個(gè)；自適應(yīng)小波數(shù)值方法的離散點(diǎn)數(shù)則在211-242之間動(dòng)態(tài)變化，計(jì)算量大大低于有限差分法，充分體現(xiàn)了小波數(shù)值方法的優(yōu)越性

看漲期權(quán)和線性看漲期權(quán)的差異

小波和RungeKutta方法組合也是求解非線性偏微分方程的常用方法，為說(shuō)明小波精細(xì)積分方法求解非線性常微分方程的有效性，下面對(duì)小波自適應(yīng)精細(xì)積分法和小波自適應(yīng)四階RungeKutta方法的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

采用小波精細(xì)積分法求解，誤差只出現(xiàn)在解的梯度較大執(zhí)行價(jià)格附近，其它位置的誤差幾乎為0，而RungeKutta法的誤差在其它位置也比較明顯，尤其在邊界附近比較明顯.另外注意到，即使采用精度較高的多步法，如AdamsBashforthMoulton方法，在邊界附近產(chǎn)生的誤差也非常明顯.表2給出了這三種方法的數(shù)值結(jié)果在不同時(shí)刻的最大誤差，從中可以看出，小波精細(xì)積分方法的計(jì)算精度優(yōu)于另外兩種方法.

表2Leland方程數(shù)值結(jié)果的最大誤差

5結(jié)束語(yǔ)

BlackScholes模型不但在期權(quán)定價(jià)方面得到廣泛應(yīng)用，在其他金融衍生產(chǎn)品如期貨、風(fēng)險(xiǎn)投資等領(lǐng)域也得到越來(lái)越多的應(yīng)用，隨之而來(lái)的是不同的非線性期權(quán)定價(jià)模型不斷被提出.因此，高效的數(shù)值求解方法或近似解析方法具有非常重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值.小波數(shù)值方法其實(shí)屬于一種半解析方法，充分利用了小波變換的自適應(yīng)性和精細(xì)積分方法的高精度特性.但同時(shí)注意到，非線性BlackScholes模型相對(duì)于時(shí)間參數(shù)是弱非線性方程，將弱非線性方程的處理方法（如攝動(dòng)法）引入本文方法有望進(jìn)一步提高方法的計(jì)算效率.

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