任偉和，李曉輝

（石家莊理工職業(yè)學(xué)院，河北石家莊050228）

高教論摘(4則)

分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算

任偉和，李曉輝

（石家莊理工職業(yè)學(xué)院，河北石家莊050228）

本文主要講述了分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算，并通過具體的實(shí)例討論了分段函數(shù)在極限與連續(xù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性、不定積分、定積分等方面的應(yīng)用.解決了在討論分段函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、不定積分及定積分時(shí),為什么要在分段函數(shù)的分界點(diǎn)處進(jìn)行討論以及怎樣討論的問題。

分段函數(shù)；可導(dǎo)；不定積分；定積分

1 引言

在微積分中，涉及較多的函數(shù)除了初等函數(shù)外，還有分段函數(shù).大多數(shù)有關(guān)分段函數(shù)的問題，初學(xué)者都感覺不太好處理.因此，本文通過具體的實(shí)例討論了分段函數(shù)在連續(xù)性、可導(dǎo)性以及積分中的計(jì)算。

2 分段函數(shù)的連續(xù)性

2.1 函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性

例1討論函數(shù)

綜上，

2.2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性

分析：開區(qū)間內(nèi)連續(xù)是指內(nèi)部每一點(diǎn)處均連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)指的是內(nèi)部點(diǎn)連續(xù)，左端點(diǎn)處右連續(xù)，右端點(diǎn)處左連續(xù).

3 分段函數(shù)可導(dǎo)性

用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：

(2)對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求法，先求出左右導(dǎo)數(shù)，如果左右導(dǎo)數(shù)相同，則分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值存在.

若分段函數(shù)在各開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，就用初等函數(shù)求導(dǎo)的方法分別求出它在各開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，而在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性的討論則要特別注意：①若函數(shù)在處不連續(xù)，則它在處不可導(dǎo)；②若函數(shù)在處連續(xù)，則它必須用導(dǎo)數(shù)的定義判斷函數(shù)在是否可導(dǎo)，若可導(dǎo)，則可進(jìn)一步得到它在的導(dǎo)數(shù).

4 分段函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性

該引理說明了連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)則必不可導(dǎo).因此，對(duì)分界點(diǎn)處是否可導(dǎo)應(yīng)先判斷是否連續(xù).

[注]研究分段函數(shù)可導(dǎo)性(連續(xù)性)時(shí)，分界點(diǎn)需要特別考慮.

5 分段函數(shù)的不定積分

6 分段函數(shù)的定積分

6.1 分段連續(xù)函數(shù)的定積分的計(jì)算

對(duì)分段定義連續(xù)函數(shù)的定積分，可根據(jù)定積分的性質(zhì)，對(duì)定積分區(qū)間分段計(jì)算求出.

則有下式成立：

其中令

則

6.2 分段有界非連續(xù)函數(shù)定積分的計(jì)算

定積分理論中對(duì)有界非連續(xù)函數(shù)的可積已有完整的結(jié)果.

我們應(yīng)用這些結(jié)果對(duì)有界非連續(xù)分段函數(shù)的定積分的計(jì)算進(jìn)行如下研究.

6.2.1 分段有界有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)

6.2.2 分段有界有無限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)

上可積，并求其積分值.

證明：

.........

[1]吳良獻(xiàn).數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解［M］.北京:北京科學(xué)出版社，1999

[2]鄭隆炘.高等師范數(shù)學(xué)教育研究［M］.武漢：華中科技大學(xué)出社，2001

[3]杜伯仁.高等數(shù)學(xué)習(xí)作課精編［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2001

G642.3

A

JL01-0229（2013）04-0001-06

2013-10-15

責(zé)任編輯：楊國(guó)慶

校對(duì)：李曉霞

任偉和（1984-），男，漢族，河北邢臺(tái)人，公共教學(xué)部，教師，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。